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9: Introducción a la Teoría de Anillos

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    Definición 9.1:

    Un anillo es un triple ordenado\((R, + ,\cdot)\) donde\(R\) es un conjunto y\(+\) y\(\cdot\) son operaciones binarias en\(R\) satisfacer las siguientes propiedades:

    A1

    \(a + (b+c) = (a+b)+c\)para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

    A2

    \(a+b=b+a\)para todos\(a\),\(b\) en\(R\).

    A3

    Hay un elemento\(0 \in R\) satisfactorio\(a+0=a\) para todos\(a\) en\(R\).

    A4

    Por cada\(a \in R\) hay un elemento\(b \in R\) tal que\(a+b=0\).

    M1

    \(a \cdot (b \cdot c) = ( a \cdot b ) \cdot c\)para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

    D1

    \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

    D2

    \((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\)para todos\(a\),\(b\),\(c\) en\(R\).

    Terminología Si\((R,+,\cdot)\) es un anillo, la operación binaria\(+\) se llama suma y la operación binaria\(\cdot\) se llama multiplicación. En el futuro usualmente escribiremos\(ab\) en lugar de \(a \cdot b\). El elemento\(0\) mencionado en A3 se llama el cero del anillo. Tenga en cuenta que no hemos asumido que\(0\) se comporta como un cero, es decir, no lo hemos asumido\(0\cdot a= a \cdot 0=0\) para todos\(a \in R\). Lo que dice A3 es que\(0\) es una identidad con respecto a la adición. Tenga en cuenta que negativo (como lo contrario de positivo) no tiene significado para la mayoría de los anillos. No asumimos que la multiplicación es conmutativa y no hemos asumido que existe una identidad para la multiplicación, mucho menos que los elementos tienen inversos con respecto a la multiplicación.

    Definición 9.2:

    El elemento\(b\) mencionado en A4 está escrito\(-a\) y lo llamamos menos \(a\)o el inverso aditivo de\(a\). La resta en un anillo se define por la regla\(a - b = a + (-b)\) para todos\(a\),\(b\) en\(R\).

    A menos que se indique lo contrario, a partir de ahora nos referiremos al anillo\(R\) más que al anillo\((R,+,\cdot)\). Por supuesto, si definimos un anillo, debemos decir cuáles son las operaciones binarias de suma y multiplicación.

    Problema 9.1 ¿Cómo podría un estado las propiedades A1-A4 de una manera más compacta usando definiciones anteriores?

    Definición 9.3:

    \(R\)Déjese ser un anillo. Si existe una identidad con respecto a la multiplicación, se le llama la identidad del anillo y generalmente se denota por\(1\). Si tal elemento existe, decimos que\(R\) es un anillo con identidad.

    En algunos casos, la identidad de un anillo puede ser denotada por algún símbolo distinto de\(1\) tal como\(e\) o\(I\).

    Definición 9.4:

    Decimos que un anillo\(R\) es conmutativo si la multiplicación es conmutativa. De lo contrario, se dice que el anillo no es conmutativo.

    Tenga en cuenta que la adición en un anillo es siempre conmutativa, pero la multiplicación puede no ser conmutativa.

    Definición 9.5:

    Se dice que un anillo\(R\) es un dominio integral si se mantienen las siguientes condiciones:

    1. \(R\)es conmutativo.
    2. \(R\)contiene una identidad\(1 \neq 0\).
    3. Si\(a\),\(b \in R\) y\(ab=0\) luego cualquiera\(a=0\) o\(b=0\).

    Definición 9.6

    Se dice que un anillo\(R\) es un campo si satisface las siguientes propiedades.

    1. \(R\)es conmutativo.
    2. \(R\)contiene una identidad\(1 \neq 0\).
    3. Para cada\(x \in R\) tal que\(x \ne 0\), hay\(y \in R\) tal que\(xy=1\).

    Problema 9.2 ¿Cuáles de las siguientes son anillos? Si es así, ¿cuáles tienen identidades, cuáles son conmutativas, cuáles son dominios integrales y cuáles son campos?

    1. \((\mathbb{N},+, \cdot)\).
    2. \((2 \mathbb{Z}, +, \cdot)\)donde\(2 \mathbb{Z}\) está el conjunto de enteros pares.
    3. \((\mathbb{R},+, \cdot)\).
    4. \((\mathbb{Q},+, \cdot)\).
    5. \((\mathbb{Z},+, \cdot)\).
    6. \((\mathbb{Z}_2,+, \cdot)\).
    7. \((\mathbb{Z}_3,+, \cdot)\).
    8. \((\mathbb{Z}_4,+, \cdot)\).
    9. \((M_2(\mathbb{R}),+, \cdot)\).
    10. \((M_2(\mathbb{Z}_n),+, \cdot)\).

    Definición 9.7:

    Dejar\(R\) ser un anillo con una identidad 1. Se dice que un elemento\(a \in R\) es una unidad de\(R\) si hay un elemento\(b \in R\) tal que\(ab=ba=1\). Dejamos\(U(R)\) denotar el conjunto de todas las unidades de\(R\). Si tal\(b\) existe escribimos\(b=a^{-1}\). A veces llamamos\(a^{-1}\) al inverso multiplicativo de\(a\).

    Es fácil ver que si\(R\) es un anillo con identidad 1, entonces\(U(R)\) es un grupo bajo multiplicación. Se llama el grupo de unidades de\(R\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) (The ring \(F[x]\) of polynomials in \(x\) over the field \(F\))

    \(F\)Déjese ser un campo. Un polinomio en el indeterminado (o variable)\(x\) sobre\(F\) es una expresión de la forma\[a_0 + a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n\] donde los coeficientes\(a_i\) son elementos del campo\(F\) y\(n\) pueden ser cualquier no negativo entero. Las reglas para la multiplicación y adición de polinomios son exactamente como en el álgebra de secundaria. La única excepción es que permitimos que los coeficientes sean de cualquier campo\(F\), y cuando los coeficientes se suman o multiplican, utilizamos las operaciones binarias en\(F\). Este anillo suele ser denotado por\(F[x].\) Para cada campo\(F\) el anillo\(F[x]\) es un dominio integral. Pero no\(F[x]\) es un campo ya que las únicas unidades de\(F[x]\) son las constantes distintas de cero, es decir polinomios de la forma\(a_0\) donde\(a_0\) es un elemento distinto de cero de\(F\).

    Problema 9.3 Encuentra el grupo de unidades de cada uno de los siguientes anillos:\(\mathbb{Z}\),\(\mathbb{R}\),\(M_2(\mathbb{R})\),\(\mathbb{Z}_n\).

    Definición 9.8:

    Si\(R\) es un anillo,\(a \in R\) y\(n \in \mathbb{N}\) definimos\(a^n\) por las siguientes reglas:

    \(a^1 = a\),
    \(a^n = aa \cdots a\) (\(n\)copias de\(a\)) if\(n \ge 2\).

    Si\(R\) tiene una identidad 1 y\(a\) es una unidad entonces también podemos definir:
    \(a^0 = 1\),
    \(a^{-1}\) = inversa multiplicativa de\(a\),
    \(a^{-n} = (a^{-1})^n\) para \(n \ge 2\).

    Tenga en cuenta que dado que generalmente un elemento\(a\) de un anillo no es una unidad, no podemos\(a^n\) esperar que se defina para enteros negativos.

    Problema 9.4 ¿Cuál es el anillo más pequeño? ¿Cuál es el campo más pequeño?

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(R\) ser un anillo y dejar\(a\),\(b\),\(c \in R\). Después se mantienen los siguientes.

    1. Si\(a+b = a+c\) entonces\(b=c\).
    2. Si\(a + b = 0\) entonces\(b=-a\).
    3. \(-(-a) = a\).
    4. \(-(a+b) = (-a) + (-b)\).
    5. \(a0=0\)y\(0a=0\).
    6. \(a(-b) = (-a)b=-(ab)\).
    7. \((-a)(-b) = ab\).
    8. \(a(b-c) = ab -ac\).
    9. \((b-c)a=ba-ca\).

    Problema 9.5 Demostrar Teorema 9.1.

    Problema 9.6 Mostrar que la condición 3 en la definición de dominio integral puede ser sustituida por la siguiente ley de cancelación:

    Si\(a\),\(b\),\(c \in R\),\(a \neq 0\) y\(ab=ac\) luego\(b=c\).

    Problema 9.7 Demostrar que cada campo es un dominio integral. Demostrar con el ejemplo que lo contrario de esta afirmación no es cierto.

    Problema 9.8 Demostrar que\(\mathbb{Z}_n\) es un campo si y sólo si es un dominio integral.

    Problema 9.9 Demostrar que\(\mathbb{Z}_n\) es un campo si y solo si\(n\) es un primo.

    Definición 9.9:

    Dejar\((R,+,\cdot )\) y\((S, \oplus, \odot )\) ser dos anillos. Una función\[f:R \to S\] es un homomorfismo si por todos\(a,b \in R\) tenemos\[\begin{aligned} f(a \cdot b) &=& f(a) \odot f(b) \\ f(a+b) &=& f(a) \oplus f(b).\end{aligned}\] Si también\(f\) es uno a uno y sobre llamamos\(f\) un isomorfismo. En este caso decimos\(R\) y\(S\) somos isomórficos y escribimos\(R \cong S\).

    Aunque por lo general quedará claro desde el contexto, ahora que tenemos homomorfismos tanto para grupos como para anillos, a veces diremos homomorfismo de anillo o homomorfismo grupal para ser específicos. De igual manera, para isomorfismos.

    Como en el caso de los grupos, si dos anillos son isomórficos, entonces comparten casi todas las propiedades de interés. Por ejemplo, si\(R\) y\(S\) son anillos isomorfos, entonces\(R\) es un campo si y solo si\(S\) es un campo. A continuación daremos un ejemplo no trivial de dos anillos isomórficos.

    Definición 9.10:

    Se dice que un subconjunto\(S\) de un anillo\(R\) es un subring de\(R\) si se mantienen las siguientes condiciones:

    1.

    \(0 \in S\).

    2.

    Si\(a \in S\), entonces\(-a \in S\).

    3.

    Si\(a, b \in S\), entonces\(a+b \in S\) y\(ab \in S\).

    Si\(R\) es un campo y también se mantienen las siguientes condiciones:

    4.

    \(1 \in S\).

    5.

    Si\(a \neq 0\) y\(a\in S\), entonces\(a^{-1} \in S\).

    decimos que\(S\) es un subcampo de\(R\).

    Si\(S\) es un subring (subcampo) del anillo (campo)\(R\), entonces es fácil verificar que\(S\) es en sí mismo un anillo (campo) con respecto a la suma y multiplicación en\(R\). Algunos ejemplos obvios son los siguientes.

    1. \(\mathbb{Z}\)es un subring de\(\mathbb{Q}\) y de\(\mathbb{R}\).
    2. \(\mathbb{Q}\)es un subcampo de\(\mathbb{R}\).
    3. \(2\mathbb{Z}\)es un subring de\(\mathbb{Z}\).

    Problema 9.10 Demostrar que no hay ningún elemento\(x \in \mathbb{Q}\) tal que\(x^2 = 2\).

    Problema 9.11 Supongamos que hay un elemento positivo\(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) tal que\[(\sqrt{2})^2 =2.\] Definir el siguiente subconjunto de\(\mathbb{R}\):\[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a+b\sqrt{2} \ | \ a, b \in \mathbb{Q}\}.\] Demostrar que\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) es un subcampo de\(\mathbb{R}\). (La parte complicada es mostrar que todos los elementos distintos de cero son unidades).

    Problema 9.12 Vamos\[S = \left \{ \left (\begin{array}{cr} a & b \\ 2b&a \end{array} \right ) \, : \, a,b \in \mathbb{Q}\right \}.\]

    1. Demostrar que\(S\) es un subring del anillo\(M_2(\mathbb{Q})\).
    2. \(S \cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})\)Demuéstralo.


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