12: El Grupo Círculo
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Antes de definir el grupo de círculo, primero discutimos algunos aspectos geométricos del campo de los números complejos. Un elemento típico\(z\) de\(\mathbb{C}\) se escribirá\(z = x + yi\) donde\(s, y \in \mathbb{R}\). Nos identificamos\(z = x+yi\) con el punto\((x,y)\) en el plano. Así el valor absoluto\(|z|\) de\(z\) se define por\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.\] Note que ya que también\(z\overline{z} = x^2 + y^2\) tenemos:\[|z| = \sqrt{z\overline{z}}.\]
Problema 12.1 Probarlo para\(z,w \in \mathbb{C}\)
- \(|zw| = |z||w|\),
- \(|z| \ge 0\), y
- \(|z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0\).
Sabemos por geometría analítica que\(|z|\) representa la distancia desde\(z\) el origen\(0\) en el plano. El ángulo dirigido\(\theta\) que el segmento de\(0\) a\(z\) hace con el lado positivo del\(x\) eje -se llama argumento o ángulo polar de\(z\). Como en las coordenadas polares escribimos\(r = |z|\). Entonces tenemos\[x = r \cos \theta,\]\[y = r \sin \theta,\] y \[\begin{align} \label{polarform} z = r (\cos\theta + i \sin\theta)\end{align}\]Desde la trigonometría sabemos que cada número complejo distinto de cero\(z\) puede escribirse de manera única en la forma (12.5) para números reales\(r\) y\(\theta\) satisfactorios \(r > 0\)y\(0 \le \theta < 2\pi\).
Suponemos que los estudiantes están familiarizados con la función exponencial\(x~\mapsto~e^x\) donde\(x \in \mathbb{R}\). Extendemos la definición de esta función de\(\mathbb{R}\) a\(\mathbb{C}\).
Para\(z \in \mathbb{C}\) let\(z = x + yi\) where\(x,y \in \mathbb{R}\), definimos la función exponencial\(z \mapsto e^z\) por\[e^z = e^{x+yi} = e^x(\cos y + i \sin y.)\] en particular, si\(\theta \in \mathbb{R}\) tenemos\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta .\]
De lo anterior tenemos de inmediato lo siguiente:
Cada número complejo distinto de cero\(z\) puede escribirse de manera única en la forma\[\begin{aligned} z = re^{i\theta}\end{aligned}\] donde\(r = |z| > 0\) y\(0 \le \theta < 2\pi\). \(\blacksquare\)
Tenga en cuenta que la expresión\(e^{i\theta}\) está bien definida para todos\(\theta \in \mathbb{R}\).
Vamos\(z_1 = r_1 e^{i\theta_1}\) y\(z_2 = r_2 e^{i\theta_2}\) dónde\(r_i \ge 0\) y\(\theta_i\) son números reales. Entonces\[z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}. \rule{6pt}{6pt}\]
Problema 12.2 Utilizar las identidades de suma para el seno y el coseno para probar el Teorema 12.2.
Obsérvese que, en palabras, el Teorema 12.2 dice: El argumento del producto es la suma de los argumentos de los factores y el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos de los factores. . Esto generaliza fácilmente vía inducción a lo siguiente: Si\(z_j= r_je^{i \theta_j}\),\(j = 1, \dots, n\) son números complejos entonces\[z_1z_2\cdots z_n = r_1r_2\cdots r_n e^{(i\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n)}.\] Tomando\(r_j = 1\) para todos\(j\) obtenemos el siguiente teorema famoso:
Para todos\(\theta \in \mathbb{R}\) y\(n \in \mathbb{Z}\), tenemos\[(\cos (\theta) + i\sin (\theta) )^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta),\] equivalentemente,\[(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}. \rule{6pt}{6pt} \blacksquare\]
Definimos\[\mathbb{T}= \{ z \in \mathbb{C}\, | \, |z| = 1 \};\]\(\mathbb{T}\) es un grupo con respecto a la multiplicación en\(\mathbb{C}\) y se llama el grupo círculo.
Tenga en cuenta que geométricamente\(\mathbb{T}\) es el conjunto de números complejos que están a una distancia 1 del origen, es decir, sus puntos son exactamente los puntos en el círculo unitario\(x^2 + y^2 = 1\).
Problema 12.3 Mostrar que cada elemento\(z \in \mathbb{T}\) puede ser escrito de manera única en la forma\(z = e^{i\theta}\) donde\(0 \le \theta< 2\pi\).
Problema 12.4 Demostrar que\(\mathbb{T}\) es un subgrupo de\(U(\mathbb{C})\).
Problema 12.5
(a) Demostrar que el mapeo\(\varphi:\mathbb{T}\to\mathbb{C}\) definido por\(\varphi(\theta) = e^{i\theta}\) es un homomorfismo desde\((\mathbb{R},+)\) el grupo círculo\(\mathbb{T}\).
(b) Demostrar que por cada punto\(z \in \mathbb{T}\) hay infinitamente muchos\(\theta\in \mathbb{R}\) tales que\(\varphi(\theta) = z\).
Recordemos que en\ (\ mathbb {R, _N, _Z, _Q}\) _y_\(\mathbb{C}\) "href=” /librerías/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_caplitos/10:_axiomático_tratamiento_de/ (/MathBB%7Br, _N, _Z, _Q%7D/) _y/ (/MathBB%7BC%7D/) #Problem +10.15">Problema 10.15 demostramos que los números complejos pueden ser representado como ciertas\(2 \times 2\) matrices sobre los números reales. Por lo que no debería sorprender que los grupos de círculo también puedan ser representados por ciertas\(2 \times 2\) matrices sobre los números reales. Resulta que este conjunto de matrices también tiene otro nombre que damos en la siguiente definición.
Definir\[SO(2) = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right ) \ | \ \theta\in \mathbb{R} \right \}.\]\(SO(2)\) es un subgrupo de\(SL(2,\mathbb{R})\) y se llama el grupo ortogonal especial de grado 2.
Para\(\theta\in \mathbb{R}\), definir\[R(\theta) = \left ( \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array} \right )\]
Con esta definición tenemos\(SO(2,\mathbb{R}) = \{ R(\theta) \, | \, \theta\in \mathbb{R} \}\).
Problema 12.6 Demostrar (a) que\(R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1+\theta_2)\), (b)\(R(0)\) es la matriz de\(2 \times 2\) identidad, y (c)\(R(\theta)^{-1} = R(-\theta)\). Concluir que\(SO(2,\mathbb{R})\) es un subgrupo de\(GL(2,\mathbb{R})\).
Problema 12.7 Demostrarlo\(SO(2,\mathbb{R}) \cong \mathbb{T}\).
Problema 12.8 Demostrar que si representamos un punto\(p=(x,y)\) en el plano por una\(2\times 1\) matriz\(\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right ]\) entonces el punto\(R(\theta) p\) dado por el producto de la matriz\[R(\theta)p = \left [ \begin{array}{cr} \cos\theta& -\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]\] se obtiene rotando\(p\) a través \(\theta\)radianes en sentido antihorario sobre el origen. [Pista usa la representación\((x,y) = (r\cos \theta, r \sin \theta)\) de coordenadas polares del punto\(p\).]
El problema anterior también justifica referirse al grupo círculo como el grupo de rotaciones del plano.
Ahora determinamos el orden de un elemento\(e^{i\theta} \in \mathbb{T}\).
Un elemento\(z = e^{i\theta} \in \mathbb{T}\) tiene orden finito si y sólo si\(\theta= \frac k n \pi\) para algunos\(n \in N\) y\(k \in \mathbb{Z}\), es decir, si y sólo si\(\theta\) es un múltiplo racional de\(\pi\).
Prueba Primero recordamos de la trignometría que\((\cos \alpha, \sin \alpha) = (1,0)\) si y solo si\(\alpha = 2\pi k\) para algún entero\(k\). Usando notación exponencional, esto dice que\(e^{i\alpha} = 1\) si y solo si\(\alpha = 2\pi k\) para algún entero\(k\).
Supongamos que\(e^{i\theta}\) tiene orden finito. Entonces por el Teorema de De Moivre tenemos\(e^{in\theta} = 1\) y por la observación anterior,\(n \theta= 2 \pi k\) para algún entero\(k\). Resolviendo para\(\theta\) vemos que\(\theta= \frac {2k}{n} \pi = \frac {k'}{n} \pi\) donde\(k' = 2k\). Es decir,\(\theta\) es un múltiplo racional de\(\pi\). Por el contrario, supongamos que\(\theta= \frac k n \pi\) para algunos\(n \in N\) y\(k \in \mathbb{Z}\). Entonces\[(e^{i\theta})^{2n} = e^{i(\theta{2n})} = e^{i \frac k n 2n \pi} = e^{ik2\pi} = 1.\] Esto demuestra que el orden de\(e^{i\theta}\) es finito y como mucho\(2n\). \(\blacksquare \)
Problema 12.9 Mostrar que el orden del elemento\(e^{i\sqrt{2}\pi}\) en\(\mathbb{T}\) es infinito. ¿Qué pasa con el elemento\(e^{i\sqrt{2}}\)? (Para este último se puede suponer que eso\(\pi\) es trascendental.)
Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Se dice que un elemento\(z \in \mathbb{C}\) es una\(n\) -ésima raíz de unidad si\(z^n = 1\).
Problema 12.10 Demostrar que para\(n \in \mathbb{N}\) el conjunto \[\begin{align} \label{roots_of_unity} \{z \in \mathbb{C}\, | \, z^n = 1 \}\end{align}\]es un subgrupo de\(U(\mathbb{C})\).
El conjunto (12.17) de todas las raíces\(n\) -ésima de la unidad es un subgrupo de\(U(\mathbb{C})\) llamado el grupo de\(n\) -ésima raíces de la unidad.
Figura 12.1: Las raíces 12 de la unidad (= los vértices del 12-gon regular).
Problema 12.11 Demostrar que\(z \in \mathbb{C}\) es una\(n\) -ésima raíz de unidad si y solo si\(z\) es un elemento en\(\mathbb{T}\) de orden finito\(k\) donde\(k \, | \, n\).
Para\(n \in \mathbb{N}\) definir\[\zeta_n = e^{i\frac {2 \pi}n}.\]
El grupo de\(n\) -ésimo raíces de la unidad es cíclico de orden\(n\). Un generador del grupo es\(\zeta_n\)
Prueba Del teorema de De Moivre es claro que\((\zeta_n)^n = 1\). Tenga en cuenta que los poderes\[(\zeta_n)^k = e^{i k \frac {2 \pi}n}, \quad k = 0, 1, \dots , n-1\] son los vértices del\(n\) -gon regular centrados en el origen. De ahí\((\zeta_n)^k \neq 1\) para\(0 < k < n\). Esto lo demuestra\(o(\zeta_n) = n\).
Ahora, supongamos que esa\(z\) es cualquier\(n\) -ésima raíz de unidad. Tenga en cuenta que\(|z|^n = |z^n| =1\). Es decir,\(|z|\) es un número real positivo cuya\(n\) -ésima potencia es 1. De ello se deduce que\(|z|\) debe ser igual a 1. De ahí\(z = e^{i\theta}\). Por el argumento en la prueba del Teorema 12.4 ya que\(z^n = 1\), tenemos\(\theta= k\frac {2 \pi}n\). Esto demuestra que\(z = e^{i k \frac {2 \pi}n} = (\zeta_n)^k\), y por lo tanto yace en el subgrupo\(\langle\,\zeta_n\,\rangle\) generado por\(\zeta_n\). \(\blacksquare\)
Problema 12.12 Mostrar que\(z \in \mathbb{T}\) si y solo si\(z^{-1} = \overline{z}\).
Problema 12.13 Mostrar que si\(z = e^{i\theta}\) entonces\(\overline{z} = e^{-i \theta}\).
Problema 12.14 Usa la fórmula para\(R(\theta)\) para encontrar las coordenadas del punto\((1,1) \in \mathbb{R}^2\) después de que se haya girado en\(30^o\) sentido antihorario sobre el origen. Haz lo mismo para\(60^o\). Expresar las coordenadas de la respuesta como números racionales y/o radicales, no funciones trigonadas.
Problema 12.15 Demostrar que el grupo\(\langle \, \zeta_n \, \rangle\) es isomórfico al grupo\(\mathbb{Z}_n\) bajo módulo de adición\(n\).
Problema 12.16 Para cada uno\(n \in\{1,2,3,4,6,8 \}\) encontrar todas las\(n\) -ésima raíces de la unidad\((\zeta_n)^k\) para\(k \in \{0,1,\cdots, n-1\}\). Expresarlos en la forma\(a + bi\) donde\(a\) y\(b\) son números reales que no involucran funciones trigonométricas. También esbozar la ubicación en el plano de las\(n\) -raíces de la unidad para cada uno\(n\).
Problema 12.17 Demuéstralo\(\langle \, e^{i\pi\sqrt{2}} \, \rangle \cong \mathbb{Z}\).