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R: Algunas reglas de la lógica

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    Construir pruebas matemáticas es un arte que mejor se aprende viendo muchos ejemplos de pruebas y tratando de imitarlos al construir las propias pruebas. Sin embargo, hay algunas reglas de lógica y lenguaje que es útil tener en cuenta. La mayoría de estos son muy naturales y se utilizarán sin comentarios. Su plena comprensión solo viene con la experiencia. Comenzamos con algunos supuestos básicos relativos a la igualdad.

    1. \(x =x\)se sostiene para todos\(x\). [Reflexivity.]
    2. Si\(x= y\) entonces\(y=x\). [Simetría.]
    3. Si\(x=y\) y\(y=z\) entonces\(x=z\). [Transitividad.]

    Por ejemplo, si somos capaces de demostrar\(x=y\),\(y=z\),\(z=w\) y\(w=r\), entonces podemos concluir por transitividad de igualdad eso\(x=r\). La reflexividad y la simetría de la igualdad también son muy útiles. No es necesario citar estas reglas cada vez que se utilizan, pero es bueno estar al tanto de ellas (en caso de que alguien pregunte).

    Las implicaciones son cruciales para el desarrollo de las matemáticas. Una implicación es una declaración de la forma

    \[\begin{align} \mbox{ If $P$ then $Q$} \label{A1}\end{align}\]donde\(P\) y\(Q\) son declaraciones. En lugar de (A.1) a veces escribiremos

    \[\begin{align} P \Longrightarrow Q . \label{A2} \end{align}\]Se lee el enunciado (A.2), “\(P\)implica\(Q\)”. Llamamos a\(P\) la hipótesis y, a\(Q\) la conclusión de la implicación (A.2). Los estudiantes deben tener cuidado al usar esta notación. Por ejemplo, no escribas\[\nonumber {\mbox{If} \ P \Longrightarrow Q}\] cuando te refieres

    \[\begin{align} \label{implication} P \Longrightarrow Q \end{align}\]

    Para probar la implicación\(P \Longrightarrow Q\), comience asumiendo que eso\(P\) es cierto y utilice este supuesto para establecer la validez de\(Q\). A veces es más fácil probar la afirmación equivalente\[\begin{align} \label{contrapositive} \mbox{$Q$ is false} \Longrightarrow \mbox{$P$ is false} \end{align}\] Esto se llama el contrapositivo de la implicación (A.3).

    Escribimos

    \[\begin{align} P \Longleftrightarrow Q \label{A3} \end{align}\]como abreviatura para las dos declaraciones\[P \Longrightarrow Q \quad \mbox{ and } \quad Q \Longrightarrow P\] Entonces, por ejemplo, si necesitas demostrar realmente\(P \Longleftrightarrow Q\) tienes dos cosas que probar: ambas\(P \Longrightarrow Q\) y\(Q \Longrightarrow P\). Se lee el enunciado (A.5)\[\mbox{``$P$ is equivalent to $Q$''},\] o\[\mbox{``$P$ holds if and only if $Q$ holds.''}\] Y a veces usamos la abreviatura “iff” para “si y solo si”. Entonces una alternativa aceptable a (A.5) es\[\mbox{$P$ \ iff \ $Q$}\].

    Suponemos que la implicación satisface las siguientes reglas:

    1. \(P \Longrightarrow P\)se sostiene para todos\(P\). [Reflexivity.]
    2. Si\(P \Longrightarrow Q\) y\(Q \Longrightarrow R\) entonces\(P \Longrightarrow R\). [Transitividad.]

    Suponemos que la equivalencia satisface las siguientes reglas.

    1. \(P \Longleftrightarrow P\)se sostiene para todos\(P\). [Reflexivity.]
    2. Si\(P \Longleftrightarrow Q\) entonces\(Q \Longleftrightarrow P\). [Simetría.]
    3. Si\(P \Longleftrightarrow Q\) y\(Q \Longleftrightarrow R\) entonces\(P \Longleftrightarrow R\). [Transitividad.]

    A menudo usaremos estas reglas para implicación y equivalencia sin comentarios.

    Convención En las definiciones la palabra si significa si y sólo si. Compare, por ejemplo, la Definición 2.2.

    Frases importantes Además de buscar implicaciones y equivalencias, los estudiantes deben prestar mucha atención a las siguientes palabras y frases:

    1. existe
    2. hay
    3. hay
    4. para todos
    5. para cada
    6. para cada
    7. para algunos
    8. único
    9. uno y solo uno
    10. a lo sumo uno
    11. al menos uno
    12. el
    13. a, un
    14. de tal manera que
    15. implica
    16. de ahí
    17. por lo tanto

    El uso de estas frases y palabras se aclarará si es necesario a medida que avance el curso. Algunas técnicas de prueba como la prueba por contradicción y la prueba por inducción se entienden mejor con ejemplos de los cuales veremos muchas a medida que avance el curso.


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