1.3: El espacio vectorial n-dimensional V (n)
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La manipulación de cantidades dirigidas, tales como velocidades, aceleraciones, fuerzas y similares, es de considerable importancia en la mecánica clásica y la electrodinámica. La necesidad de simplificar las operaciones bastante complejas condujo al desarrollo de una abstracción: el concepto de vector.
El significado preciso de este concepto está implícito en las reglas que rigen sus manipulaciones. Estas reglas se agrupan en tres categorías principales: pertenecen a
- la adición de vectores,
- la multiplicación de vectores por números (escalares),
- la multiplicación de vectores por vectores (producto interno y producto vectorial.
Si bien los problemas sutiles involucrados en 3 serán abordados en el próximo capítulo, procedemos aquí a mostrar que las reglas que caen bajo 1 y 2 encuentran su expresión precisa en la teoría abstracta de los espacios vectoriales dimensionales finitos.
Las reglas relacionadas con la adición de vectores pueden expresarse de manera concisa de la siguiente manera: los vectores son elementos de un conjunto\(V\) que forma un grupo abeliano bajo la operación de adición, brevemente un grupo aditivo.
El inverso de un vector es su negativo, el vector cero juega el papel de unidad.
Los números, o “escalares” mencionados en el inciso ii) se suelen tomar como números reales o complejos. Para muchas consideraciones que involucran espacios vectoriales no es necesario especificar cuál de estas alternativas se elige. De hecho todo lo que necesitamos es que los escalares formen un campo. Más explícitamente, son elementos de un conjunto que se cierra con respecto a dos operaciones binarias: suma y plicatura múltiple que satisfacen las leyes comunes conmutativa, asociativa y distributiva; todas las operaciones son invertibles siempre que no impliquen división por cero.
Un espacio vectorial\(V(F)\) sobre un campo F se define formalmente como un conjunto de elementos que forman un grupo aditivo que se puede multiplicar por los elementos del campo F.
En particular, consideraremos campos vectoriales reales y complejos\(V(R)\) y\(V(C)\) respectivamente.
Señalo de paso que el uso del concepto de campo abre el camino a una variedad mucho mayor de inter pretaciones, pero esto no es de interés en el contexto actual. En contraste, el hecho de que hayamos estado considerando “vector” como un concepto indefinido nos permitirá proponer en la secuela interpretaciones que van más allá de la clásica como cantidades dirigidas. Así, la definición anterior es consistente con la interpretación de un vector como un par de números que indican las cantidades de dos especies químicas presentes en una mezcla, o alternativamente, como un punto en el espacio de fase abarcado por las coordenadas y momentos de un sistema de puntos de masa.
Ahora vamos a resumir una serie de resultados estándar de la teoría de los espacios vectoriales.
Supongamos que tenemos un conjunto de vectores distintos de cero\(\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \cdots , \vec{x}_{n}\}\) en V que satisfacen la relación
\[\begin{array}{c} {\sum_{k} a_{k}\vec{x}_{k} = 0} \end{array} \label{EQ1.3.1}\]
donde los escalares\(a_{k} \in F\), y no todos ellos desaparecen. En este caso se dice que los vectores son linealmente dependientes. Si, en contraste, la relación\ ref {EQ1.3.1} implica que todos\(a_{k} = 0\), entonces decimos que los vectores son linealmente independientes.
En el primero, caso hay al menos un vector de la. set que.se puede escribir como una combinación lineal del resto:
\[\begin{array}{c} {\vec{x}_{m} = \sum_{1}^{m-1} b_{k}\vec{x}_{k}} \end{array}\]
Una base (lineal) en un espacio vectorial V es un conjunto\(E = \{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \cdots , \vec{e}_{n}\}\) de vectores linealmente independientes de tal manera que cada vector en V es una combinación lineal de la\(\vec{e}_{n}\). Se dice que la base abarca o genera el espacio.
Un espacio vectorial es dimensional finito si tiene una base finita. Es un teorema fundamental del álgebra lineal que el número de elementos en cualquier base en un espacio dimensional finito es el mismo que en cualquier otra base. Este número n es la dimensión independiente de base de V; lo incluimos en la designación del espacio vectorial:\(V(n, F)\).
Dada una base particular podemos expresar cualquiera\(\vec{x} \in V\) como una combinación lineal
\[\begin{array}{c} {\vec{x} = \sum_{1}^{n} x^{k}\vec{e}_{k}} \end{array}\]
donde las coordenadas xk están determinadas únicamente por E. Los\(x^{k}\vec{e}_{k} (k = l, 2, \cdots, n)\) se llaman los componentes de\(\vec{x}\). El uso de superíndices es sugerir un contraste entre las propiedades de transformación de las coordenadas y la base que se derivarán en breve.
El uso de bases, llamadas también sistemas de coordenadas, o marcos es conveniente para manejar vectores, por lo tanto, la adición se realiza agregando coordenadas. Sin embargo, la elección de una base particular introduce un elemento de arbitrariedad en el formalismo y esto exige contramedidas.
Supongamos que introducimos una nueva base por medio de una transformación lineal no singular:
\[\begin{array}{c} {\vec{e}_{i}' = \sum_{k} S_{i}^{k}\vec{e}_{k}} \end{array} \label{EQ1.3.4}\]
donde la matriz de la transformación tiene un determinante que no se desvanece
\[\begin{array}{c} {S_{i}^{k} \ne 0} \end{array} \label{EQ1.3.5}\]
asegurando que la\(\vec{e}_{i}\) forma un conjunto linealmente independiente, es decir, una base aceptable. Dentro del contexto de la teoría lineal esta es la transformación más general que tenemos que considerar
Aseguramos la equivalencia de las diferentes bases exigiendo que
\[\begin{array}{c} {\vec{x} = \sum x^{k} \vec{e}_{k} = \sum {x^{i}}' {\vec{e}}'_{k}} \end{array} \label{EQ1.3.6}\]
Insertando la ecuación\ ref {EQ1.3.4} en la ecuación\ ref {EQ1.3.6} obtenemos
\[\begin{array}{c} {\vec{x} = \sum {x^{i}}' (\sum_{k} S_{i}^{k}\vec{e}_{k} = \sum (\sum {x^{i}}' S_{i}^{k}) \vec{e}_{k}} \end{array}\]
y por lo tanto en conjunción con la Ecuación\ ref {EQ1.3.5}
\[\begin{array}{c} {x^{k} = \sum S_{i}^{k} {x^{i}}'} \end{array} \label{EQ1.3.8}\]
Observe la característica “vuelta” de los índices a medida que pasamos de la Ecuación\ ref {EQ1.3.4} a la Ecuación\ ref {EQ1.3.8} con un intercambio simultáneo de los roles del cuadro antiguo y el nuevo. La razón subyacente puede apreciarse mejor si el cálculo anterior se lleva a cabo en forma simbólica.
Escribamos las coordenadas y los vectores base como matrices de\(n \times 1\) columna
\[\begin{array}{cc} {X = \begin{pmatrix} {x^{1}}\\ {\vdots}\\ {x^{n}} \end{pmatrix}}&{X = \begin{pmatrix} {\vec{e}_{1}}\\ {\vdots}\\ {\vec{e}_{k}} \end{pmatrix}} \end{array}\]
La ecuación\ ref {EQ1.3.6} aparece entonces como un producto de matriz
\[\begin{array}{c} {\vec{x} = X^{T}E = X^{T}S^{-1}SE = {X'}^{T}E'} \end{array}\]
donde el superíndice significa “transposición”.
Aseguramos la consistencia mediante el ajuste
\[\begin{array}{c} {E' = SE} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {{X'}^T = X^{T}S^{-1}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {X' = S^{-1T}X} \end{array}\]
Así llegamos de manera lúcida a los resultados contenidos en las Ecuaciones\ ref {EQ1.3.4} y\ ref {EQ1.3.8}. Vemos que las representaciones “objetivas” o “invariantes” de vectores se basan en el procedimiento de transformar bases y coordenadas de lo que se denomina de manera contradictoria.
El vector\(\vec{x}\) en sí se denomina a veces un vector contravariante, para distinguirse por sus propiedades de transfor mación de los vectores covariantes que se introducirán posteriormente.
Hay otro punto a señalar en relación con la factorización de un vector en bases y coordenadas.
Los vectores con los que estaremos tratando suelen tener una dimensión como longitud, velocidad, impulso, fuerza y similares. Es importante, en tales casos, que la dimensión sea absorbida en los vectores base\(\vec{e}_{k}\). En contraste, las coordenadas\(x^k\) son elementos del campo F, cuyos productos aún están en F, son simplemente números. No es de extrañar que la multiplicación de vectores con otros vectores constituya un problema sutil. Los espacios vectoriales en los que hay provisión para tal operación se denominan álgebras; merecen un examen cuidadoso.
Por último, hay que señalar que existen casos interesantes en los que los vectores tienen un carácter dimen sionless. Se pueden construir a partir de los elementos del campo F, que están dispuestos como n-tuplas, o como\(m \times n\) matrices.
El\(n \times n\) caso es particularmente interesante, porque la multiplicación matricial convierte estos espacios vectoriales en álgebras en el sentido que acabamos de definir.