1.4: ¿Cómo multiplicar vectores? Consideraciones heurísticas

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Al evaluar los diversos métodos de multiplicación de vectores con vectores, se inicia con un análisis crítico del procedimiento de cálculo vectorial elemental basado en el uso conjunto del producto interno o escalar y el producto vectorial.

El primero de ellos es fácilmente generalizado a\(V(n, R)\), y nos referimos a la literatura para mayor detalle. En contraste, el producto vectorial está ligado a tres dimensiones, y para generalizarlo, tenemos que reconocer que se usa comúnmente en dos contextos, para realizar funciones completamente diferentes.

Primero para actuar como operador de rotación, para proporcionar el incremento\(\delta \vec{a}\) de un vector\(\vec{a}\) debido a una rotación por un ángulo\(\delta \theta\) alrededor de un eje\(\hat{n}\):

\[\begin{array}{c} {\delta \vec{a} = \delta \theta \hat{n} \times \vec{a}} \end{array} \label{EQ1.4.1}\]

Aquí\(\delta \theta \hat{n}\) hay un operador adimensional que transforma un vector en otro vector en el mismo espacio.

Segundo, proporcionar un “área”, cuya dimensión es producto de la dimensión de los factores. Además del caso geométrico, también tenemos constructos tales como el momento angular

\[\begin{array}{c} {\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}} \end{array} \label{EQ1.4.2}\]

El producto está aquí “exterior” al espacio vectorial original.

Hay una interesante historia detrás de este doble papel del producto vectorial. El álgebra vectorial de Gibbs surgió del intento de reconciliar y simplificar dos ingeniosos, pero complicados álgebras geométricas que se avanzaron casi simultáneamente en la década de 1840. La teoría de cuaterniones de Sir William Rowan Hamilton se adapta a los problemas de rotación en espacios tridimensionales y cuatridimensionales, mientras que Ausdehnungslehre (Teoría de las Extensiones) de Hermann Grassman trata de volúmenes en espacios de un número arbitrario de dimensiones. La dicotomía corresponde a la de las Ecuaciones\ ref {EQ1.4.1} y\ ref {EQ1.4.2}.

El carácter complementario de los dos cálculos no fue reconocido en su momento, y los adherentes de los dos métodos estaban en feroz competencia. Gibbs encontró la manera de salir de la dificultad al eliminar todos los elementos complicados y polémicos de ambos cálculos y al reducirlos a su núcleo común. El resultado es nuestro conocido cálculo vectorial elemental con su producto vectorial de doble propósito que parecía adecuado para tridimensional/espacio.

Irónicamente, el cálculo gibbsiano llegó a ser ampliamente aceptado en un momento en que el mérito de las rotaciones cuatridimensionales de Hamilton estaba siendo reivindicado en el contexto del mundo cuatridimensional de Einstein-Minkowski.

Si bien es posible adaptar cuaterniones para tratar con el grupo Lorentz, es más práctico utilizar en su lugar el álgebra de matrices complejas de dos por dos, el llamado álgebra de Pauli, y los vectores complejos (espinores) sobre los que operan estas matrices. Estos métodos son descendientes del álgebra cuaterniónica, pero son más generales, y más acordes con las técnicas mecánicas cuánticas. Pasaremos a su desarrollo en el próximo Capítulo.

En los últimos años, también se han revivido algunas de las ideas de Grassmann y el cálculo exterior es ahora una técnica estándar de geometría diferencial (formas diferenciales, cálculo de colectores). Estos asuntos son relevantes para la geometría del espacio de fase, y los discutiremos más adelante.