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1.5: Una breve encuesta de grupos lineales

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    El espacio vectorial lineal nos\(V (n, F)\) brinda la oportunidad de definir una serie de grupos lineales que utilizaremos en la secuela.

    Comenzamos con el grupo de transformaciones lineales no singulares definidas por las Ecuaciones 1.3.4 y 1.3.5 de la Sección 1.3 y designadas como\(\mathcal{GL}(n, R)\), para “grupo lineal general sobre el campo F.” Si se requiere que las matrices tengan determinantes unitarios, se denominan unimodulares, y el grupo es\(\mathcal{SL}(n, F)\), para grupo lineal simple.

    Consideremos ahora el grupo\(\mathcal{GL}(n, R)\) sobre el campo real, y supongamos que se define un producto interno:

    \[\begin{array}{c} {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+ \cdots + x_{n}y_{n} = X^{T}Y} \end{array} \label{EQ1.5.1}\]

    Las transformaciones que dejan esta forma invariante se denominan ortogonales. Al usar las Ecuaciones 1.3.10 y 1.3.12 de la secciónSec:VEC-Space, vemos que satisfacen la condición

    \[\begin{array}{c} {\mathcal{O}^{T} \mathcal{O} = \mathcal{I}} \end{array} \label{EQ1.5.2}\]

    donde\(\mathcal{I}\) está la matriz de unidades. Se llama al grupo correspondiente\(\mathcal{O}(n)\).

    Se deduce de\ ref {EQ1.5.2} que el determinante de\(\mathcal{O}\) es\(\det \mathcal{O} = |\mathcal{O}| = \pm 1\). Las matrices con positivo

    determinante forman un subgrupo\(\mathcal{SO}(n)\).

    Los grupos ortogonales tienen un significado geométrico importante, dejan invariantes las llamadas propiedades métricas, longitudes y ángulos. El grupo\(\mathcal{SO}(n)\) corresponde a rotaciones puras, estas operaciones pueden estar continuamente conectadas con la identidad. En contraste, las transformaciones con determinantes negativos implican la inversión, y por lo tanto espejos y rotaciones impropias. El conjunto de matrices con\(|\mathcal{O}| = -1\), no forma un grupo, ya que no contiene el elemento unidad.

    La interpretación geométrica de no\(\mathcal{GL}(n, R)\) se explica tan fácilmente. En lugar de geometría euclidiana métrica, llegamos a la geometría afín menos familiar, cuyas aplicaciones prácticas no son tan directas. Volveremos a estas cuestiones en el Capítulo VII. No obstante, en el siguiente apartado deberemos

    muestran que la interpretación geométrica del grupo de transformaciones unimodulares\(\mathcal{SL} (n, R)\) es dejar invariable el volumen.

    Pasamos ahora a una extensión del concepto de geometría métrica. Observamos primero que en lugar de requerir la invarianza de la expresión\ ref {EQ1.5.1}, podríamos haber seleccionado una forma cuadrática definida positiva arbitraria para establecer una métrica. Sin embargo, una elección adecuada de la base en nos\(V(n,R)\) lleva de vuelta a la Ecuación\ ref {EQ1.5.1}.

    Si la forma cuadrática invariante es indefinida, se reduce a la forma canónica

    \[\begin{array}{c} {x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots-x_{1}^{2}} \end{array}\]

    El grupo correspondiente de invarianza es pseudo-ortogonal denotado como\(\mathcal{O}(k, l)\).

    En esta categoría el grupo Lorentz\(\mathcal{SO}(3, 1)\) es de interés físico fundamental. En este punto aceptamos esto como un hecho, y un incentivo suficiente para que examinemos la estructura matemática de\(\mathcal{SO}(3, 1)\) la Sección 3. Ahora bien, posteriormente, en la Sección 4, revisaremos los principios físicos que son responsables del papel destacado de este grupo. La naturaleza del estudio matemático puede explicarse sucintamente de la siguiente manera.

    La\(n \times n\) matriz general sobre el campo real contiene parámetros\(n^2\) independientes. La condición\ ref {EQ1.5.2} reduce este número a\(n(n-l)/2\). Para\(n = 3\) el número de parámetros se reduce de nueve a tres, para\(n = 4\) de dieciséis a seis. El recuento de parámetros es el mismo para\(\mathcal{SO}(3, 1)\) que para\(\mathcal{SO}(4)\). Uno de los problemas prácticos involucrados en las aplicaciones de estos grupos es evitar tratar las variables redundantes, y elegir tales parámetros independientes que puedan identificarse fácilmente con cantidades geométrica y físicamente relevantes. Este es el problema que se discute en la Sección 3. Observamos que\(\mathcal{SO}(3)\) es un subgrupo del grupo Lorentz, y los dos grupos se manejan mejor dentro del mismo marco.

    Resulta que la parametrización adecuada se puede lograr mejor en términos de espacios vectoriales auxiliares definidos sobre el campo complejo. Por lo tanto concluimos nuestra lista de grupos agregando los grupos unitarios.

    Consideremos al grupo\(\mathcal{GL}(n, C)\) e impongamos una forma hermitiana invariante

    \(\sum a_{ik}x_{i}x_{k}^{*}\)

    que se puede llevar a la forma canónica

    \[\begin{array}{c} {x_{1}x_{1}^{*}+x_{2}x_{2}^{*}+\cdots+x_{k}x_{k}^{*} = X^{\dagger}X} \label{EQ1.5.4} \end{array}\]

    donde\(X^{\dagger} = X^{*T}\) está el hermitiano contiguo de X y la estrella representa el complejo conjugado. La expresión\ ref {EQ1.5.4} es invariante bajo transformaciones por matrices que satisfacen la condición

    \[\begin{array}{c} {U^{\dagger}U = \mathcal{I}} \end{array}\]

    Estas matrices se llaman unitarias, forman el grupo unitario\(\mathcal{U}(n)\). Sus determinantes tienen el valor absoluto uno. Si el determinante es igual a uno, las matrices unitarias son también, unimodulares, tenemos el grupo unitario simple\(\mathcal{SU}(n)\).


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