2.2: Los aspectos corpusculares de la luz

Como primer paso para llevar a cabo el problema que acabamos de exponer, comenzamos con una formulación precisa, aunque esquemática, de la cinemática de onda. Consideramos primero un frente de onda esférica

\[\begin{array}{c} {r_{0}^{2}-\vec{r}^{2} = 0} \end{array}\]

donde

\[\begin{array}{c} {r_{0} = ct} \end{array}\]

y\(t\) es el tiempo transcurrido desde la emisión al frente de onda instantánea.

Para describir la propagación en una dirección definida, digamos a lo largo del vector unitario\(\vec{k}\), introducimos un plano tangente apropiadamente elegido correspondiente a una onda plana monocromática

\[\begin{array}{c} {k_{0}r_{0}^{2}-\vec{k} \cdot \vec{r} = 0} \end{array}\]

con

\[\begin{array}{c} {k_{0} = w/c} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\vec{k} = \frac{2 \pi}{\lambda} \hat{k}} \end{array}\]

y

\[\begin{array}{c} {k_{0}^{2} - \vec{k}^2 = 0} \end{array}\]

donde los símbolos tienen sus significados convencionales.

A continuación postulamos que la radiación tiene un carácter granular, como ya se expresa en la Definición 1 de la Óptica de Newton! Sin embargo, en un sentido más cuantitativo se establece la condición cuántica estándar según la cual un impulso cuántico de luz con el vector de onda\((k_{0},\vec{k})\) se asocia con un cuatro impulso

\[\begin{array}{c} {(p_{0}, \vec{p}) = \hbar (k_{0}, \vec{k})} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {p_{0}^{2} - \vec{p}^2 = 0} \end{array}\]

con

\[\begin{array}{c} {p_{0} = \frac{E}{c}} \end{array}\]

donde\(E\) está la energía de la luz cuántica, o fotón.

La adecuada coordinación de las dos descripciones que involucran ondas esféricas y planas, presenta problemas a los que volveremos más adelante. En este punto es suficiente señalar que los fotones individuales tienen propiedades direccionales descritas por un vector de onda, y una onda esférica puede considerarse como un conjunto de fotones emitidos isotrópicamente desde una fuente pequeña.

Como siguiente paso en nuestro procedimiento argumentamos que el fotón como partícula debe asociarse a un grupo de objetos, como se introdujo en la Sec. 1.7. Suponiendo con Einstein que la velocidad de la luz no se ve afectada por una transformación inercial, el grupo cinemático pasivo que deja invariantes de Eq. (1) - (3) es el grupo Lorentz.

Hay pocos o ninguno de los principios en la física que están tan justificados por sus implicaciones como el principio de la invarianza de Lorentz. Nuestro objetivo es desarrollar estas implicaciones de manera sistemática.

En los primeros días de la relatividad las consecuencias de la invarianza de Lorentz involucraron principalmente efectos del orden de\((v/c)^2\), una cantidad que es pequeña para las velocidades alcanzables en ese momento. La justificación es mucho más dramática en la actualidad cuando podemos referirnos a la operación de aceleradores de alta energía que operan cerca de la velocidad de la luz.

Sin embargo, esto no es todo. La invarianza de Lorentz tiene muchas consecuencias que son válidas incluso en la física no relativista, pero clásicamente requieren una serie de postulados independientes para su justificación. En tales casos se utiliza el grupo Lorentz para lograr la economía conceptual.

En vista de esta verificación a posteriori de largo alcance de la constancia de la velocidad de la luz, no necesitamos preocuparnos indebidamente por su justificación a priori. Sin embargo, es una pregunta desconcertante, y ha dado lugar a mucha especulación: ¿cuál fue la motivación de Einstein para avanzar en este postulado?

El propio Einstein da el siguiente relato de una paradoja sobre la que pegó a los dieciséis años:

“Si persigo un haz de luz con la velocidad c (velocidad de la luz en vacío), debería observar tal haz de luz' como un campo electromagnético espacialmente oscilatorio en reposo. No obstante, parece que no existe tal cosa, ya sea sobre la base de la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell”.

En realidad, la afirmación podría incluso agudizarse: al adelantar a una ola itinerante, el fenómeno resultante simplemente llegaría a descansar, en lugar de convertirse en una onda estacionaria.

Sea como sea, si la velocidad de propagación se viera afectada por el movimiento del servidor ob, podría “transformarse”. ¿Deberíamos aceptar un cambio tan radical de una transformación inercial? Al menos en retrospectiva, sabemos que la respuesta es efectivamente no.

Obsérvese que el punto esencial en el argumento anterior es que un cuántico de luz no puede transformarse para descansar. Esta ausencia de un sistema de reposo preferido con respecto al fotón no excluye la existencia de un marco preferido definido a partir de otras consideraciones. Por lo tanto, recientemente se ha sugerido que un marco preferido se defina por el requisito de que la radiación 3K sea isotrópica en ella [Wei72].

Dado que Einstein y sus contemporáneos enfatizaron la ausencia de cualquier marco de referencia preferido, uno podría haberse preguntado si la radiación antes mencionada, o algún otro marco definido cosmológicamente, podría causar dificultades en la teoría de la relatividad.

Nuestra formulación, basada en supuestos más débiles, demuestra que tal preocupación es injustificada.

Observamos finalmente, que hasta ahora hemos considerado principalmente la cinemática de onda, sin referencia a la interpretación electrodinámica de la luz. Esto es sólo un movimiento táctico. Proponemos derivar la electrodinámica clásica (CED) dentro de nuestro esquema, en lugar de suponer su validez.

Los problemas de momento angular y polarización también se dejan para su posterior inclusión.

No obstante, estamos dispuestos a ampliar nuestro contexto siendo más explícitos con respecto a las propiedades del cuatro-impulso.

La ecuación (5) nos proporciona una definición de los cuatro momentos, pero sólo para el caso del fotón, es decir, para una partícula con masa de reposo cero y la velocidad c.

Esta relación se generaliza fácilmente a partículas masivas que pueden ponerse en reposo. Aprovechamos el hecho de que la transformación de Lorentz deja invariante el lado izquierdo de la Ecuación (5), se desvanezca o no. Por lo tanto establecemos

\[\begin{array}{c} {p_{0}^{2} - \vec{p} \cdot \vec{p} = m^{2}c^{2}} \end{array}\]

y definir la masa m de una partícula como la “longitud” invariante de los cuatro momentos según la métrica Minkowski (con\(c = 1\)).

Ahora podemos formular el postulado: Se conserva el cuatroimpulso. Este principio incluye la conservación de la energía y la de los tres componentes de impulso. Se aplicará a la interacción entre el fotón y una partícula masiva y también a los procesos de colisión en general.

Para hacer uso de la ley de conservación, necesitamos expresiones explícitas para la profundidad de velocidad de los componentes de cuatro momentos. Estos se obtendrán del estudio del grupo Lorentz.