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2.3: En Rotaciones Circulares e Hiperbólicas

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    Proponemos desarrollar un formalismo unificado para tratar con el grupo Lorentz\(\mathcal{SO}(3, 1)\) y su subgrupo\(\mathcal{SO}(3)\). Este programa se puede dividir en dos etapas. Primero, considerar una transformación de Lorentz como una rotación hiperbólica, y explotar las analogías entre las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas, y también de los exponenciales correspondientes. Esta idea simple se desarrolla en esta sección en términos de los subgrupos\(\mathcal{SO}(2)\) y\(\mathcal{SO}(1, 1)\). El resto de este capítulo está dedicado a la generalización de estos resultados a tres dimensiones espaciales en términos de formalismo matricial.

    Consideremos un vector de dos componentes en el plano euclidiano:

    \[\begin{array}{c} {\vec{x} = \vec{x}_{1}\hat{e}_{1}+\vec{x}_{1}\hat{e}_{1}} \end{array}\]

    Nos interesan las transformaciones que dejan\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) invariantes. Escribamos

    \[\begin{array}{c} {x_{1}^{2}+x_{2}^2 = (x_{1}+ix_{2}) (x_{1}-ix_{2})} \end{array}\]

    y establecer

    \[\begin{array}{c} {(x_{1}+ix_{2})' = a(x_{1}+ix_{2})} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {(x_{1}-ix_{2})' = a^{*}(x_{1}-ix_{2})} \end{array}\]

    donde la estrella significa complejo conjugado. Por invarianza tenemos

    \[\begin{array}{c} {aa^{*} = 1} \end{array}\]

    o

    \[\begin{array}{cc} {a = e^{-i\phi}} & {a^{*} = e^{i\phi}} \end{array}\]

    A partir de estas fórmulas recuperamos fácilmente las expresiones trigonométricas elementales. El Cuadro 3.1 suma mariza las presentaciones de las transformaciones rotacionales en términos de exponenciales, funciones trigonométricas e irracionalidades algebraicas que involucran la pendiente de los ejes. Poco hay que recomendar el uso de este último, sin embargo completa el paralelo con las transformaciones de Lorentz donde esta parametrización se ve favorecida por la tradición.

    Destacamos las ventajas de la función exponencial, principalmente porque se presta a la iteración, lo cual es evidente a partir de la conocida fórmula de Moivre:

    \[\begin{array}{c} {\exp(in \phi) = \cos(n \phi) + i \sin(n \phi) = (\cos(\phi) + i \sin(\phi))^n} \end{array} \label{EQ2.3.7}\]

    La misma Tabla contiene también la parametrización del grupo Lorentz en una variable espacial. La analogía entre\(\mathcal{SO}(2)\) y\(\mathcal{SO}(1,1)\) es de gran alcance y la Tabla es autoexplicativa. Sin embargo, hay una serie de puntos adicionales que vale la pena hacer.

    La invarianza de

    \[\begin{array}{c} {x_{0}^{2}-x_{3}^{2} =(x_{0}+x_{3})(x_{0}-x_{3})} \end{array}\]

    está asegurado por

    \[\begin{array}{c} {(x_{0}+x_{3})' = a(x_{1}+x_{2})} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {(x_{0}-x_{3})' = a^{-1}(x_{1}-x_{2})} \end{array}\]

    para una a arbitraria. Al establecer\(a = exp(-\mu)\) en la Tabla excluimos tácitamente los valores negativos. Admitir un valor negativo para este parámetro implicaría el intercambio de futuro y pasado. Las transformaciones de Lorentz que dejan invariable la dirección del tiempo, se denominan ortócrónicas. Hasta nuevo aviso estos son los únicos que consideraremos.

    El significado del parámetro\(\mu\) es evidente a partir de la conocida relación

    \[\begin{array}{c} {\tanh \mu = \frac{v}{c} = \beta} \end{array} \label{EQ2.3.11}\]

    donde v es la velocidad del sistema cebado\(\sum'\) medida en\(\sum\). Al ser una medida (no euclidiana) de una velocidad, a veces\(\mu\) se le llama rapidez, o parámetro de velocidad.

    Screen Shot 2020-07-07 en 2.35.55 PM.png

    Cuadro 2.1: Resumen de las transformaciones rotacionales. (Los signos de los ángulos corresponden a la interpretación pasiva.)

    Screen Shot 2020-07-07 en 2.36.43 PM.png

    Figura 2.1: Área en\((x_{0}, x_{3})\) plano.

    Nos referiremos\(\mu\) también como ángulo hiperbólico. La analogía formal con el ángulo circular\(\phi\) es evidente a partir de la Tabla. Profundizamos este paralelo mediante la observación que\(\mu\) puede interpretarse como un área en el\((x_{0}, x_{3})\) plano (ver Figura 3.1).

    Considera una hipérbola con la ecuación

    \[\begin{array}{c} {(\frac{x_{0}}{a})^{2}-(\frac{x_{3}}{b})^{2} = 1} \end{array}\]

    \[\begin{array}{cc} {x_{0} = a \cosh \mu}&{x_{3} = b \sinh \mu} \end{array}\]

    El área triangular sombreada (mostrada en la Figura 2.1) está de acuerdo con la Ecuación 1.6.2 de la Sección 1.6:

    \[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} \begin{vmatrix} {x_{3}+dx_{3}}&{x_{3}}\\ {x_{0}+dx_{0}}&{x_{0}} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}(x_{0}dx_{3}+x_{3}dx_{0}) =} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\frac{ab}{2}(\cosh \mu^2-\sinh \mu^2)d = \frac{ab}{2} d \mu} \end{array}\]

    Podríamos proceder de manera similar para el ángulo circular\(\phi\) y definirlo en términos del área de un sector circular, en lugar de un arco. Sin embargo, solo el área puede generalizarse para la hipérbola.

    Si bien las fórmulas de la Tabla 2.1 se aplican también al vector de onda y a los cuatro momentos.y se pueden utilizar en cada caso también de acuerdo con la interpretación activa, las diversas situaciones tienen sus características individuales, algunas de las cuales ahora serán encuestadas.

    Considera al principio una onda plana cuya dirección de propagación forma un ángulo\(\theta\) con la dirección\(x_{3}\) de la transformación de Lorentz. Escribimos la fase, Ecuación\ ref {EQ2.3.11} de la Sección 2.2, como

    \[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}[(k_{0}+k_{3})(x_{0}-x_{3})+(k_{0}-k_{3})(x_{0}+x_{3})]-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}} \end{array}\]

    Esta expresión es invariante si\((k_{0} \pm k_{3})\) se transforma por el mismo factor\(\exp(\pm \mu)\) que\((x_{0} \pm x_{3})\). Así tenemos

    \[\begin{array}{c} {k'_{3} = k_{3} \cosh \mu-k_{0} \sinh \mu} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {k'_{0} = -k_{3} \sinh \mu+k_{0} \cosh \mu} \end{array}\]

    Dado que\((k_{0}, \vec{k})\) es un vector nulo, es decir, k tiene longitud de fuga, establecemos

    \[\begin{array}{cc} {k_{3} = k_{0} \cos \theta}&{k'_{3} = k'_{0} \cos \theta'} \end{array}\]

    y obtenemos para la aberración y el efecto Doppler:

    \[\begin{array}{c} {\cos \theta' = \frac{\cos \theta \cosh \mu-\sinh \mu}{\cosh \mu-\cos \theta \sinh \mu} = \frac{\cos \theta-\beta}{1-\beta \cos \theta}} \end{array}\]

    y

    \[\begin{array}{c} {\frac{k_{0}}{k'_{0}} = \frac{w_{0}}{w'_{0}} = \cosh \mu - \cos \theta \sinh \mu} \end{array}\]

    Para\(\cos \theta = 1\) nosotros tenemos

    \[\begin{array}{c} {\frac{w_{0}}{w'_{0}} = \exp(-\mu) = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}} \end{array}\]

    Así, el ángulo hiperbólico está directamente conectado con el escalado de frecuencia en el efecto Doppler.

    A continuación, pasamos a la transformación del cuatroimpulso de una partícula masiva. La nueva característica es que tal partícula se puede llevar a descansar. Digamos que la partícula está en reposo en el cuadro\(\sum'\) (cuadro de reposo), que se mueve con la velocidad\(v_{3} = c \tanh^{-1} \mu\) en el cuadro\(\sum\) (cuadro de laboratorio). Así se\(v_{3}\) puede identificar como la velocidad de las partículas a lo largo\(x_{3}\).

    Resolviendo el impulso en\(\sum\):

    \[\begin{array}{c} {p_{3} = p'_{3} \cosh \mu + p'_{0} \sinh \mu} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {p_{0} = p'_{3} \sinh \mu + p'_{0} \cosh \mu} \end{array}\]

    con\(p'_{3} = 0\)\(p'_{0} = mc\),, tenemos

    \[\begin{array}{c} {p_{3} = mc \sinh \mu = \frac{mc \beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}\\ {p_{0} = mc \cosh \mu = \frac{mc}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \frac{E}{c}} \end{array} \label{EQ2.3.25}\]

    \[\begin{array}{cc} {\gamma = \cosh \mu}&{\gamma \beta = \sinh \mu} \end{array}\]

    Así hemos resuelto el problema planteado al término de la Sección 2.2.

    El punto en el argumento anterior es que logramos la transición de un estado de reposo de una partícula a un estado de movimiento, por los medios cinemáticos de transformación inercial. Evidentemente, el mismo efecto se puede lograr por medio de la aceleración debido a una fuerza, y considerar este “impulso” como una transformación activa de Lorentz. Supongamos que la partícula lleva la carga e y está expuesta a una intensidad eléctrica constante E. Obtenemos de la ecuación\ ref {EQ2.3.25} para velocidades pequeñas:

    \[\begin{array}{c} {\frac{dp_{3}}{dt} = mc \cosh \mu \frac{d \mu}{dt} \simeq mc \frac{d \mu}{dt}} \end{array}\]

    y esto concuerda con la ecuación clásica del movimiento si

    \[\begin{array}{c} {E = \frac{mc}{e} \frac{d \mu}{dt}} \end{array}\]

    Así, la intensidad eléctrica es proporcional a la velocidad angular hiperbólica.

    En estrecha analogía, un movimiento circular puede ser producido por un campo magnético:

    \[\begin{array}{c} {B = -\frac{mc}{e} \frac{d \phi}{dt} = -\frac{mc}{e} w} \end{array}\]

    Esta es la conocida relación ciclotrón.

    Los resultados anteriores son notables por varias razones. Sugieren una estrecha conexión entre la electrodinámica y el grupo Lorentz e indican cómo el método teórico grupal nos proporciona resultados generalmente obtenidos por ecuaciones de movimiento.

    Todo esto nos acerca un paso más a nuestro programa de establecer gran parte de la física dentro de un marco teórico grupal, comenzando en particular con el grupo Lorentz. Sin embargo, para llevar a cabo este programa tenemos que generalizar nuestra técnica a tres dimensiones espaciales. Para ello tenemos la opción entre dos métodos.

    El primero es representar un cuatro vector como matriz de\(4 \times 1\) columnas y operar sobre él mediante\(4 \times 4\) matrices que involucran 16 parámetros reales entre los que hay diez relaciones (ver Sección 1.5).

    El segundo enfoque es mapear cuatro vectores en\(2 \times 2\) matrices hermitianas

    \[\begin{array}{c} {P = \begin{pmatrix} {p_{0}+p_{3}}&{p_{1}-ip_{2}}\\{p_{1}+ip_{2}}&{p_{0}-p_{3}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

    y representan las transformaciones de Lorentz como

    \[\begin{array}{c} {P' = VPV^{\dagger}} \end{array}\]

    donde V y\(V^{\dagger}\) son matrices unimodulares anexas hermitianas dependiendo .solo de los seis parámetros necesarios.

    Elegimos la segunda alternativa y demostraremos que los parámetros matemáticos tienen las interpretaciones físicas simples deseadas. En particular llegaremos a generalizaciones de la relación de Moivre, Ecuación\ ref {EQ2.3.7}.

    El balance de este capítulo está dedicado a la teoría matemática de las\(2 \times 2\) matrices con aplicaciones físicas a la electrodinámica siguiendo en la Sección 4.


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