3.1: Transformación de Lorentz y fuerza Lorentz
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La principal importancia del álgebra de Pauli es proporcionarnos un escalón para la teoría de los espacios espinores a los que nos dirigimos en la Sección 5. Sin embargo, es útil detenerse en este punto para demostrar que el formalismo ya desarrollado nos proporciona un marco eficiente para aspectos limitados, pero importantes, de la electrodianmia clásica (CED).
Hemos visto en la página 26 que el efecto sobre el campo eléctrico sobre una carga de prueba, un “impulso”, puede considerarse como una transformación activa de Lorentz, por lo que el campo es proporcional a la “velocidad angular hiperbólica”\(\dot{μ}\).
Esto es en estrecha analogía con la conocida relación entre el campo magnético y la frecuencia del ciclotrón, es decir, una “velocidad angular circular”\(\dot{\phi}\). Estos resultados se habían obtenido en condiciones muy especiales. El álgebra de Pauli es muy adecuado para declararlos en mucha mayor generalidad.
La estrecha conexión entre el álgebra del grupo Lorentz y la del campo electromagnético, es bien conocida. Sin embargo, en lugar de desarrollar los dos álgebras por separado y señalar el isomorfismo de los resultados, utilizamos las propiedades matemáticas del grupo Lorentz desarrollado en la Sección 3 y las traducimos al lenguaje de la electrodinámica. La definición del campo electromagnético que implica este procedimiento es, por supuesto, hipotética, y recurrimos a la experiencia para conocer sus alcances y límites. La comprensión adecuada de la limitación de esta concepción es particularmente importante, ya que sirve para identificar la dirección para la profundización de la teoría. La definición operativa estándar del campo electromagnético implica el uso de una carga de prueba. En consecuencia asumimos la existencia de partículas que pueden actuar en tal capacidad. La partícula es para portar una carga e, una masa de reposo constante m, y el efecto del campo que actúa durante el tiempo dt es manifestarse en un cambio del impulso 4 solamente, sin implicar ningún cambio en la estructura interna.
Esto significa que el campo tiene una frecuencia suficientemente baja en el resto del marco de la partícula para no afectar su estructura interna. Esto está en armonía con la exclusión temporal de la interacción radiativa ya señalada.
Deje que la carga de prueba se exponga a un campo electromagnético durante un pequeño tiempo dt. Se propone describir el cambio resultante de los cuatro momentos\(P \rightarrow P' = P+dP\) como una transformación infinitesimal de Lorentz. En esta forma preliminar el enunciado parecería trivial, ya que es válido para cualquier fuerza que no afecte a la estructura intrínseca, digamos una combinación de fuerzas gravitacionales y de fricción. Para caracterizar específicamente la fuerza de Lorentz, hay que agregar que la caracterización del campo es independiente del cuatromomento de la carga de prueba, además es independiente del marco de referencia del observador. Estas condiciones se pueden expresar formalmente en lo siguiente.
El efecto de la fuerza de Lorentz sobre una partícula (carga de prueba) se representa como la formación trans del espacio de cuatro momentos de la partícula hacia sí misma, y las transformaciones son los elementos del grupo activo de Lorentz. Además, las representaciones matriciales en diferentes marcos de Lorentz están conectadas por transformaciones de similitud. (Ver Sección 2.4.4.)
Ahora procedemos a demostrar que este postulado implica las propiedades conocidas de la fuerza Lorentz.
Primero, mostramos que una transformación infinitesimal de Lorentz efectivamente se reduce a la fuerza de Lorentz siempre que establezcamos un “diccionario” entre los parámetros de la transformación y el campo electromagnético (ver abajo Ecuación\ ref {EQ3.1.12}). Considera una transformación pura de Lorentz a lo largo de\(\hat{h}\)
\[\begin{array}{c} {p' = p \cosh \mu+p_{0} \sinh \mu} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {p_{0}' = p \sinh \mu+p_{0} \cosh \mu} \end{array}\]
donde\(\vec{p} = p \hat{h} + \vec{p}\) con\(\vec{p} \cdot \vec{h} = 0\). Para transformaciones infinitesimales\(\mu \rightarrow d\mu\):
\[\begin{array}{c} {p'-p = p_{0}d\mu} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {p_{0}'-p_{0} = pd\mu} \end{array}\]
o
\[\begin{array}{c} {\dot{\vec{p}} = p_{0} \dot{\mu} \hat{h}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\dot{p_{0}} = \vec{p} \cdot \hat{h} \dot{\mu}} \end{array}\]
Al hacer uso de
\[\begin{array}{c} {\vec{p} = mc \sinh \mu = \gamma m \vec{v}} \end{array} \label{EQ3.1.7}\]
\[\begin{array}{c} {p_{0} = mc \cosh \mu = \gamma mc} \end{array} \label{EQ3.1.8}\]
obtenemos
\[\begin{array}{c} {\dot{\vec{p}} = pmc \hat{h} \dot{\mu}} \end{array} \label{EQ3.1.9}\]
\[\begin{array}{c} {\dot{p_{0}} = pm \frac{\vec{v}}{c} \cdot \hat{h} \dot{\mu}} \end{array}\]
Volviendo a la rotación tenemos de la Ecuación 5.8 del Apéndice 5 (Ver nota en la página 51).
\[\begin{array}{c} {\vec{p}_{\perp}' = \vec{p}_{\perp} \cos \phi + \hat{u} \times \vec{p}_{\perp} \sin \phi} \end{array}\]
Para una rotación infinitesimal\(\phi \simeq d\phi\), y usando la ecuación\ ref {EQ3.1.7} obtenemos, ya que\(\vec{p}_{\parallel}' = \vec{p}_{\parallel}\) y\(\vec{p}_{\parallel} \times \hat{u} = 0\)
\[\begin{array}{c} {\vec{p}'-\vec{p} = -\vec{p} \times \hat{u} d \phi = - \gamma m \vec{v} \times \hat{u} d\phi} \end{array} \label{EQ3.1.12}\]
o,
\[\begin{array}{c} {\dot{\vec{p}} = -\gamma m \vec{v} \times \hat{u} d\phi} \end{array}\]
Con las definiciones de 2.3.28 y 2.3.29 de la página 26 escritas vectorialmente:
\[\begin{array}{c} {\vec{E} = \frac{\gamma mc}{e} \dot{\mu} \hat{h}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\vec{B} = \frac{-\gamma mc}{e} \dot{\phi} \hat{u}} \end{array} \label{EQ3.1.15}\]
Las ecuaciones\ ref {EQ3.1.8} y\ ref {EQ3.1.9} reducen a las ecuaciones de fuerza de Lorentz.
Consideremos ahora una transformación infinitesimal de Lorentz generada por
\[\begin{array}{c} {V = 1+\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \vec{\sigma}-\frac{i\phi}{2} \hat{u} \cdot \vec{\sigma}} \end{array} \label{EQ3.1.16}\]
\[\begin{array}{c} {= 1+\frac{edt}{2 \gamma mc}(\vec{E}+i\vec{B}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {= 1+\frac{edt}{2 \gamma mc}F} \end{array} \label{EQ3.1.18}\]
con
\[\begin{array}{cc} {\vec{f} = \vec{E}+i\vec{B}}&{F = \vec{f} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
Es evidente a partir de las ecuaciones\ ref {EQ3.1.15} y\ ref {EQ3.1.16} que las propiedades de transformación de V y F son (3.1.16) idénticas. Dado que la transformación de V ya se ha obtenido en la Sección 2.4.4, podemos anotar de inmediato la del campo\(\vec{f}\).
Expresemos la transformación pasiva de Lorentz del P de cuatro momentos del marco\(\sum\) inercial a\(\sum'\) como
\[\begin{array}{c} {P' = SPS^{\dagger}} \end{array}\]
donde S es unimodular. La matriz de campo se transforma mediante una transformación de similitud:
\[\begin{array}{c} {F' = SFS^{-1}} \end{array}\]
con las complejas reflexiones (entidades contragradientes) transformándose como
\[\begin{array}{c} {\bar{P}' = \bar{S}\bar{P} \bar{S}^{-1}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\bar{F}' = \bar{S}\bar{F} \bar{S}^{\dagger}} \end{array}\]
Para
\[\begin{array}{c} {S = H = \exp(-\frac{\mu}{2} \hat{h} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]
obtenemos la transformación pasiva de Lorentz para un cuadro que\(\sum_{2}\) se mueve con respecto a\(\sum_{1}\), con-la velocidad
\[\begin{array}{c} {\vec{v} = c \hat{h} \tanh \mu} \end{array} \label{EQ3.1.22}\]
\[\begin{array}{c} {F' = HFH^{-1}} \end{array}\]
Extraemos de aquí las expresiones estándar usando la descomposición familiar
\[\begin{array}{c} {\vec{f} = \vec{f}_{\parallel}+\vec{f}_{\perp} = (\vec{f} \cdot \hat{h}) \hat{h}} \end{array}\]
Obtenemos
\[\begin{array}{c} {\vec{f}_{\parallel}' = \vec{f}_{\parallel}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\vec{f}_{\perp} \cdot \vec{\sigma} = H (\vec{f}_{\perp} \cdot \vec{\sigma}) H^{-1} = H^{2} \vec{f}_{\perp} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {= (\cosh \mu-\sinh \mu \hat{h} \cdot \vec{\sigma}) \vec{f}_{\perp} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]
De ahí
\[\begin{array}{c} {\vec{f}_{\perp}' = \vec{f}_{\perp} \cosh \mu +i \sinh \mu \hat{h} \times \vec{f}_{\perp}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {= \cosh \mu (\vec{f}_{\perp}+i \tanh \mu \hat{h} \times \vec{f}_{\perp}} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {= \gamma (\vec{f}_{\perp}+i \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{f}_{\perp}} \end{array}\]
donde usamos la Ecuación\ ref {EQ3.1.22}. Insertando de la ecuación\ ref {EQ3.1.16} obtenemos
\[\begin{array}{c} {\vec{E}_{\perp}' = \gamma (\vec{E}_{\perp}+\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B}_{\perp})}\\ {\vec{B}_{\perp}' = \gamma (\vec{B}_{\perp}-\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{E}_{\perp})} \end{array} \label{EQ3.1.31}\]
\[\begin{array}{cc} {\vec{E}_{\parallel}' = \vec{E}_{\parallel}}&{\vec{B}_{\parallel}' = \vec{B}_{\parallel}} \nonumber \end{array}\]
Es interesante comparar las dos formas compactas\ ref {EQ3.1.18} y\ ref {EQ3.1.31}. Mientras que este último puede ser el más conveniente para resolver problemas específicos, el primero será el mejor escalón para la profundización de la teoría. El único Lorentz invariante del campo es el determinante, que escribimos por conveniencia con el signo negativo:
\[\begin{array}{c} {-|F| = \frac{1}{2} TrF^{2} = \vec{f}^{2} = \vec{E}^{2}-\vec{B}^{2}+2i \vec{E} \cdot \vec{B} = g^{2}e^{2} \Psi} \end{array}\]
De ahí que obtengamos las invariantes bien conocidas
\[\begin{array}{c} {I_{1} = \vec{E}^{2}-\vec{B}^{2} = g^{2} \cos 2\psi} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {I_{2} = 2\vec{E} \cdot \vec{B} = g^{2} \sin 2\psi} \end{array}\]
Distinguimos dos casos
- \(\vec{f}^{2} \ne 0\)
- \(\vec{f}^{2} = 0\)
Estos casos pueden asociarse con las clases de similitud del Cuadro 2.2. En el caso de que (i) F sea axial unimodular, porque (ii) es singular no axial. (Dado que F no tiene rastro, las otras dos entradas de la tabla no aplican.) Primero nos enajenamos del caso (ii). Un campo que tiene esta propiedad invariante de Lorentz se llama campo nulo. La matriz F genera una transformación excepcional de Lorentz (Sección 2.4.4). En este campo la configuración\(\vec{E}\) y\(\vec{B}\) son perpendiculares y son de igual tamaño. Esta es una propiedad relativisticamente invariante que es característica de las ondas planas que se discutirán en la Sección 3.2.
En el caso “normal” (i) es posible encontrar un marco canónico Lorentz, en el que los campos eléctrico y magnético están a lo largo de la misma línea, son paralelos, o antiparalelos. El tornillo Lorentz corresponde a una llave Maxwell. Se especifica por un vector unitario\(\hat{s} n\) y los valores de los campos en el marco canónico\(E_{can}\) y\(B_{can}\). La llave puede degenerar lata con\(E_{can} = 0\), o\(B_{can} = 0\). El marco canónico no es único, ya que una transformación de Lorentz\(\hat{n}\) deja invariantes los campos canónicos.
Podemos evaluar la invariante eqn:iii-8-18ab en el marco canónico y obtener
\[\begin{array}{c} {E_{can}^{2}-B_{can}^{2} = I_{1} = g^{2} \cos 2\psi} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {2E_{can}B_{can} = I_{2} = g^{2} \sin 2\psi} \end{array}\]
Se obtiene de aquí
\[\begin{array}{c} {E_{can} = g \cos \psi} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {B_{can} = g \sin \psi} \end{array}\]
El carácter invariante del campo está determinado por la relación
\[\begin{array}{c} {\frac{B_{can}}{E_{can}} = \tan \psi} \end{array}\]
que ha sido llamado su tono por Synge (op. cit. p. 333) quien discutió el problema de los marcos canónicos del campo electromagnético con el método tensorial estándar.
La definición de tono en el problema #8 es la recíproca a la que aquí se da y debe cambiarse para estar de acuerdo con la Ec. (20)