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4.2: Rotación de Cuerpo Rígido

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    En las Ecuaciones 4.1.62—4.1.65 hemos introducido formalmente el concepto de tiempo como parámetro para especificar algunos tipos simples de movimiento que tienen un carácter estacionario.

    Examinamos ahora la utilidad de estos resultados considerando los movimientos inerciales de un cuerpo rígido fijado en uno de sus puntos, el llamado giroscopio.

    Podemos resumir los hechos experimentales relevantes de la siguiente manera: hay objetos de una simetría suficientemente alta (la parte superior esférica) que efectivamente muestran una rotación estacionaria e inercial alrededor de cualquiera de sus ejes. En el caso general (parte superior asimétrica) tal rotación estacionaria es posible solo alrededor de tres direcciones principales marcadas en la tríada del cuerpo.

    El punto de mayor interés para nosotros, sin embargo, es el hecho de que también existen modos de movimiento que pueden considerarse estacionarios en un sentido más débil de la palabra.

    Nos referimos a la llamada precesión. Consideraremos aquí solo la precesión regular de la parte superior métrica sym, o giroscopio, que puede visualizarse en términos de la conocida construcción geométrica desarrollada por Poinsot en 1853. El movimiento se produce dejando que un cono circular fijado en la tríada del cuerpo\(\sum_{c}\) ruede sobre un cono circular fijado en la tríada espacial\(\sum_{s}\) (ver Figura 4.2)

    El punto digno de mención es que la naturaleza biaxial de las espinoras las hace muy adecuadas para proporcionar una contraparte algebraica a esta imagen geométrica.

    Para probar este punto tenemos que hacer uso del teorema de que las velocidades angulares alrededor de diferentes ejes se pueden agregar de acuerdo a las reglas de adición vectorial. Este teorema es un simple corolario de nuestro formalismo.

    Consideremos la composición de las rotaciones infinitesimales con\(\delta \phi = \omega \delta t << 1\):

    \[\begin{array}{c} {U_{2}(\hat{u}_{2}, \frac{\omega_{2} \delta t}{2}) \approx (1-\frac{\omega_{2} \delta t}{2} \hat{u}_{2} \cdot \vec{\sigma})(1-\frac{\omega_{1} \delta t}{2} \hat{u}_{1} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.2.1}\]

    \[\begin{array}{c} {1-\frac{\delta t}{2}(\omega_{2} \hat{u}_{2}+ \omega_{1}\hat{u}_{1}) \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

    Definimos los vectores de velocidad angular

    \[\begin{array}{c} {\vec{\omega} = \omega \hat{u}} \end{array}\]

    y observe de la ecuación\ ref {EQ4.2.1} que

    \[\begin{array}{c} {\vec{\omega_{1}}+\vec{\omega_{2}} = \vec{\omega}} \end{array} \label{EQ4.2.4}\]

    En consecuencia obtenemos para la situación presentada en la Figura 4.2:

    \[\begin{array}{c} {\vec{\omega} = \dot{\gamma} \hat{e}_{3}+\dot{\alpha} \hat{x}_{3}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\omega^{2} = \dot{\alpha}^{2}+\dot{\gamma}^{2}+2\dot{\alpha}\dot{\gamma} \cos \beta} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\beta = \hat{x}_{3} \cdot \hat{e}{3}} \end{array}\]

    Podemos describir la precesión en términos espinoriales de la siguiente manera. Describimos la configuración del giroscopio en términos de la matriz unitaria\ ref {EQ4.2.10} y operamos sobre ella de derecha e izquierda con dos operadores unitarios:

    \[\begin{array}{c} {V(t) = U(\hat{x}_{3}, \frac{\dot{\alpha} t}{2}) V(0) U(\hat{e}_{3}, \frac{\dot{\gamma} t}{2})}\\ {\begin{pmatrix} {e^{-i \dot{\alpha} t/2}}&{0}\\ {0}&{e^{i \dot{\alpha} t/2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^{-i \alpha (0)/2} \cos (\beta/2) e^{-i \gamma (0)/2}}&{-e^{-i \alpha (0)/2} \sin (\beta/2) e^{i \gamma (0)/2}}\\ {e^{i \alpha (0)/2} \sin (\beta/2) e^{-i \gamma (0)/2}}&{e^{i \alpha (0)/2} \cos (\beta/2) e^{i \gamma (0)/2}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {e^{-i \dot{\gamma} t/2}}&{0}\\ {0}&{e^{i \dot{\gamma} t/2}} \end{pmatrix}} \end{array} \label{EQ4.2.8}\]

    Así

    \[\begin{array}{cc} {\alpha = \alpha(0)+\dot{\alpha}t}&{\gamma = \gamma(0)+\dot{\gamma}t} \end{array}\]

    Esta relación muestra gráficamente el carácter biaxial de la matriz V. Así, la premultiplicación corresponde a la rotación en\(\sum_{s}\) y la postmultiplicación a la en\(\sum_{c}\).

    Obsérvese que las situaciones representadas en la Figura 4.2 (a) y (b) se denominan precesiones progresivas y retrógradas respectivamente.

    El eje de rotación\(\vec{\omega}\) se encuentra instantáneamente en reposo en ambos marcos. Los componentes del vector se pueden expresar de la siguiente manera:

    \[\begin{array}{ccc} {}&{\mathcal{S} \sum_{s}}&{ \mathcal{S} \sum_{c}}\\ {(a)}&{\omega_{1} = \dot{\gamma} \sin \beta \cos \alpha}&{\omega_{1} = \dot{\alpha} \sin \beta \cos \gamma}\\ {(b)}&{\omega_{2} = \dot{\gamma} \sin \beta \sin \alpha}&{\omega_{2} = \dot{\alpha} \sin \beta \sin \gamma}\\ {(c)}&{\omega_{3} = \dot{\gamma} \sin \beta+\dot{\alpha}}&{\omega_{3} = \dot{\alpha} \sin \beta+\dot{\gamma}} \end{array} \label{EQ4.2.10}\]

    Estas expresiones se pueden derivar formalmente de la Ecuación\ ref {EQ4.2.8}. La columna izquierda de la Ecuación\ ref {EQ4.2.10} se desprende de la aplicación del operador izquierdo en un spinor ket y la columna derecha de la Ecuación\ ref {EQ4.2.10} de una operación derecha en una espinadora de barra.

    Otra forma de llegar a estos resultados es la siguiente: Las expresiones en la columna izquierda de la Ecuación\ ref {EQ4.2.10} son evidentes a partir de la regla de adición de vectores dada en\ ref {EQ4.2.4}. Las expresiones en la columna derecha de la Ecuación\ ref {EQ4.2.10} no siguen tan fácilmente desde la intuición geométrica. Sin embargo, podemos invocar la relatividad cinemática entre las dos tríadas. Una rotación de\(\sum_{c}\) con respecto a\(\sum_{s}\) puede pensarse también como la rotación inversa de\(\sum_{s}\) in\(\sum_{c}\). Así\(V_{c}\) es equivalente a

    \[\begin{array}{c} {V_{s}^{-1} = V^{\dagger} = V(-\alpha, -\beta, -\gamma)} \end{array}\]

    y llegamos de izquierda a derecha columnas en Ecuación\ ref {EQ4.2.10} por la siguiente sustitución:

    \[\begin{array}{c} {\alpha \rightarrow -\gamma} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\beta \rightarrow -\beta} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\gamma \rightarrow -\alpha} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {t \rightarrow -t} \end{array}\]

    Hasta este punto la discusión ha sido sólo descriptiva, cinemática. Tenemos que recurrir a la dinámica para responder a las preguntas más profundas en cuanto a los factores que determinan la naturaleza de la precesión en cualquier instancia en particular.

    Invocamos la relación cinemática Ecuación 4.1.62:

    \[\begin{array}{c} {\exp (-i \frac{\omega t}{2} \hat{k} \cdot \vec{\sigma} | \hat{k}, \frac{\gamma}{2} = \exp (-i \frac{\omega t}{2} | \hat{k}, \frac{\gamma}{2}} \end{array}\]

    Esta expresión ofrece una forma de generalización a la dinámica. Si en efecto esta relación describe un proceso estacionario, entonces los generadores\(\frac{i}{2} \sigma_{j}\) del operador unitario son constantes de ese movimiento. Posteriormente perseguiremos esta idea para establecer el concepto de momento angular y su cuantificación. Sin embargo, en esta etapa preliminar simplemente buscamos una ilustración elemental del formalismo, y nos basamos en los resultados estándar de la dinámica del cuerpo rígido.

    La ley dinámica consta de tres proposiciones. Primero, tenemos en\(\sum_{s}\)

    \[\begin{array}{c} {\frac{d \vec{L}_{s}}{dt} = \vec{N}} \end{array}\]

    donde N es el par externo.

    En\(\sum_{c}\) tenemos una relación constitutiva que conecta la velocidad angular y el momento angular. suponemos que la tríada del objeto se encuentra a lo largo de los ejes principales de inercia:

    \[\begin{array}{c} {L_{c1} = I_{1} \omega_{1}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {L_{c2} = I_{2} \omega_{2}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {L_{c3} = I_{3} \omega_{3}} \end{array}\]

    Finalmente, los componentes de momento angular en\(\sum_{s}\) y\(\sum_{c}\) están conectados por la relación

    \[\begin{array}{c} {\frac{d \vec{L}_{s}}{dt} = \frac{d \vec{L}_{c}}{dt}+\vec{\omega} \times \vec{L}_{c}} \end{array}\]

    Las ecuaciones 4.2.18—4.2.20 implican las ecuaciones de Euler. Dinámicamente la precesión puede provenir ya sea de un par externo, o de la anisotropía del momento de inercia (o ambos).

    Supondremos\(\vec{N} = 0\) y\(I_{1} = I_{2} \ne I_{3}\). Las ecuaciones de Euler simplificaron en consecuencia el rendimiento para la precesión como se ve en\(\sum_{c}\):

    \[\begin{array}{c} {\dot{\omega}_{c1}+i \dot{\omega}_{c2} = -i(\omega_{c1}+i \omega_{c2}) \omega_{3} \delta}\\ {I_{3} \dot{\omega}_{3} = 0} \end{array} \label{EQ4.2.21}\]

    con

    \[\begin{array}{c} {\delta = 1-\frac{I_{3}}{I_{1}}} \end{array} \label{EQ4.2.22}\]

    De la Ecuación\ ref {EQ4.2.10}, columna derecha, fila (a) y (b), obtenemos

    \[\begin{array}{c} {\dot{\omega}_{1}+i \dot{\omega}_{2} = -i \dot{\gamma} (\omega_{c1}+i \omega_{c2})} \end{array}\]

    y en comparación con\ ref {EQ4.2.21} tenemos

    \[\begin{array}{c} {\dot{\gamma} = \omega_{3} \delta = \omega_{3}(1-\frac{I_{3}}{I_{1}})} \end{array} \label{EQ4.2.24}\]

    Obtenemos de\ ref {EQ4.2.24},\ ref {EQ4.2.22} y\ ref {EQ4.2.10} (la columna derecha, fila c):

    \[\begin{array}{c} {I_{3} \omega_{3} = I_{1} \dot{\alpha} \cos \beta} \end{array} \label{EQ4.2.25}\]

    y

    \[\begin{array}{c} {\frac{\dot{\gamma}}{\dot{\alpha} \cos \beta} = \frac{I_{1}}{I_{3}}-1} \end{array}\]

    Así, la naturaleza de la precesión inercial viene determinada por la anisotropía inercial\ ref {EQ4.2.22}. En particular,

    dejar\(\cos \beta > 0\), entonces

    \[\begin{array}{cc} {I_{1} > I_{3} \rightarrow \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\alpha}} > 0}&{ see Figure 4.2-a} \end{array}\]

    \[\begin{array}{cc} {I_{1} < I_{3} \rightarrow \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\alpha}} < 0}&{ see Figure 4.2-b} \end{array}\]

    Finalmente, de la Ecuación\ ref {EQ4.2.25}\(L_{c3} = I_{3} \omega_{3} = I_{1} \dot{\alpha} \cos \beta\) y el momento angular total al cuadrado es

    \[\begin{array}{c} {L^{2} = I_{1}^{2} \dot{\alpha}^{2}} \end{array}\]

    Tenga en cuenta que\(L_{c3} = I_{1} \dot{\alpha} \cos \beta\) es la proyección del momento angular total sobre el eje de la figura. La precesión\(\gamma\) en\(\sum_{c}\) se produce si\(I_{3} \ne I_{1}\). Para mayor detalle nos referimos a [KS65].

    Observamos también que la teoría de Euler ha sido traducida al lenguaje moderno de Lie Groups por V. Arnold ([Arn66] pp 319-361). Sin embargo, en este trabajo se requieren movimientos estacionarios para tener ejes rotacionales fijos.

    Screen Shot 2020-07-29 at 6.51.43 PM.png

    Figura 4.2: Precesión progresiva (a) y retrógrada (b).


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