4.4: Tríadas relativistas y espinoras. Una discusión preliminar

Hemos llegado al concepto de espinoras unitarias buscando la parametrización adecuada de una tríada euclidiana. Llegaremos a los espinores relativistas parametrizando la tríada relativista. Este no es un término estándar, pero parece apropiado designar así la configuración\(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k}\) (campos eléctricos y magnéticos, y el vector de onda) en una onda plana electromagnética monocromática en vacío.

La propagación de la luz es un problema dinámico y no estamos listos para discutirlo dentro del contexto geométrico-cinemático de este capítulo.

El propósito de esta sección es sólo mostrar que el formalismo de los espinores unitarios desarrollados hasta ahora puede extenderse a situaciones relativistas con sólo unos pocos ajustes indispensables.

Es un hecho notable que la ortogonalidad mutua de los vectores antes mencionados es una propiedad invariante de Lorentz. Sin embargo, tenemos que abandonar la normalización unitaria ya que la longitud de los vectores se ve afectada por transformaciones inerciales.

En consecuencia, configuramos el análogo relativista de las Ecuaciones 4.1.40. Consideramos primero

\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \xi | = \frac{1}{2} (k_{0}+\vec{k} \cdot \vec{\sigma} = \frac{1}{2} K} \end{array} \label{EQ4.4.1}\]

\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} | = \frac{1}{2} (k_{0}-\vec{k} \cdot \vec{\sigma} = \frac{1}{2} \bar{K}} \end{array} \label{EQ4.4.2}\]

con la normalización unitaria cambiada a

\[\begin{array}{c} {\langle \xi | \xi \rangle = \langle \bar{\xi} | \bar{\xi} \rangle = k_{0}} \end{array}\]

Las propiedades de transformación de Lorentz de las espinoras se derivan de la de K:

\[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle = V | \xi \rangle} \end{array} \label{EQ4.4.4}\]

\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi}' \rangle = \bar{V} | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\langle \xi' | = \langle \xi | V^{\dagger}} \end{array}\]

\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi}' | = \langle \bar{\xi} | V^{-1}} \end{array} \label{EQ4.4.7}\]

Si\(V = U\) es unitario, tenemos\(\bar{U} = U, U^{\dagger} = U^{-1}\).

Definamos un segundo spinor por

\[\begin{array}{c} {| \eta \rangle \langle \eta |= \frac{1}{2} (r_{0}+\vec{r} \cdot \vec{\sigma}) = \frac{1}{2} R} \end{array}\]

La invariante relativista, (2.2.3a) aparece ahora como

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr (R \bar{K}) = \frac{1}{2} Tr (| \eta \rangle \langle \eta | \bar{\xi} \rangle \langle \bar{\xi} |)}\\ {= \langle \bar{\xi} | \eta \rangle \langle \eta | \bar{\xi} \rangle = | \langle \bar{\xi} | \eta \rangle |^{2}} \end{array}\]

De las ecuaciones\ ref {EQ4.4.4} y\ ref {EQ4.4.7} se deduce que incluso la amplitud es invariante

\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi} | \eta \rangle = invariant} \end{array} \label{EQ4.4.10}\]

Explicitamente es igual a

\[\begin{array}{c} {(-\xi_{1}, \xi_{0}) \begin{pmatrix} {\eta_{0}}\\ {\eta_{1}} \end{pmatrix} = \xi_{0} \eta_{1}-\xi_{1} \eta_{0} = \begin{vmatrix} {\xi_{0}}&{\eta_{0}}\\ {\xi_{1}}&{\eta_{1}} \end{vmatrix}} \end{array} \label{EQ4.4.11}\]

Pasamos ahora a las dos últimas de las Ecuaciones 4.1.40 y escribimos por analogía

\[\begin{array}{c} {| \xi \rangle \langle \bar{\xi} | \sim (\vec{E}+i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma} = F} \end{array} \label{EQ4.4.12}\]

\[\begin{array}{c} {| \bar{\xi} \rangle \langle \xi | \sim (\vec{E}-i \vec{B}) \cdot \vec{\sigma} = -F = F^{\dagger}} \end{array} \label{EQ4.4.13}\]

Vemos que las cantidades de campo tienen, en vista de las Ecuaciones 4.4.4—4.4.7 las propiedades de transformación correctas.

La ocurrencia del mismo espinor en Ecuaciones\ ref {EQ4.4.1},\ ref {EQ4.4.2},\ ref {EQ4.4.12} y\ ref {EQ4.4.13} asegura las propiedades de ortogonalidad esperadas de la tríada.

Sin embargo, en Ecuaciones\ ref {EQ4.4.12} y\ ref {EQ4.4.13} escribimos proporcionalidad en lugar de igualdad, porque tenemos que admitir una normalización diferente para el cuatro vector y el seis vector respectivamente. No estamos listos para discutir el asunto en este momento.

Si en la Ecuación\ ref {EQ4.4.10} elegimos las dos espinoras para que sean idénticas, la invariante desaparece:

\[\begin{array}{c} {\langle \bar{\xi} | \xi \rangle = 0} \end{array}\]

Lo mismo ocurre con lo invariante del campo electromagnético:

\[\begin{array}{c} {\frac{1}{2} Tr (F \tilde{F}) = - \frac{1}{2} Tr F^{2} \simeq -\frac{1}{2} Tr (| \xi \rangle \langle \bar{\xi} | \xi \rangle \langle \bar{\xi} |)}\\ {= -(\langle \bar{\xi} | \xi \rangle)^{2} = 0} \end{array}\]

Así, a partir de una sola espinora solo podemos construir construcciones correspondientes a una onda plana. No entramos aquí en la discusión de situaciones más complicadas y notamos solamente que no podemos usar el dispositivo de tomar combinación lineal de espinores conjugados en la forma habitual\(a_{0} | \xi \rangle+a_{1} | \bar{\xi} \rangle\), porque los dos términos tienen propiedades de transformación de Lorentz contragradientes. Los escribimos, mostrando sus transformaciones Lorentz como

\[\begin{array}{c} {\begin{pmatrix} {| \xi' \rangle}\\ {| \bar{\xi}' \rangle} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {S}&{0}\\ {0}&{S} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {| \xi \rangle}\\ {| \bar{\xi} \rangle} \end{pmatrix}} \end{array}\]

Hemos llegado a espinores del tipo Dirac. Volvemos a su discusión más adelante.

Concluyamos esta sección considerando la relación del formalismo con el formalismo estándar de van der Waerden. (Véase, por ejemplo, [MTW73])

El punto de partida es la Ecuación\ ref {EQ4.4.4} aplicada a dos espinores que producen la invariante determinantal de\ ref {EQ4.4.11}. El primer aspecto característico de la teoría es la regla para elevar los índices:

\[\begin{array}{c} {\eta_{1} = \eta^{0} , \eta_{0} = -\eta^{1}} \end{array}\]

De ahí que la invariante aparezca como

\[\begin{array}{c} {\xi_{0} \eta_{0}+\xi_{1} \eta_{1}} \end{array}\]

La motivación para escribir lo invariante en esta forma es armonizar la presentación con el formalismo tensor stan dard. En contraste, nuestra expresión\ ref {EQ4.4.10}, es una extensión del formalismo bra-ket de la mecánica cuántica no relativista, que también es bastante natural para el álgebra lineal de espacios vectoriales complejos.

Una segunda característica distintiva está relacionada con el método de complexificación. Van der Waerden toma el complejo conjugado de la matriz V tomando el conjugado complejo de sus elementos, mientras que tratamos con el conjugado hermitiano\(V^{\dagger}\) y el conjugado complejo\(\bar{V}\).

Desde el punto de vista práctico tendemos a desarrollar espinores unitarios y relativistas en una forma lo más objetiva posible unida.