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# 2.4: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Demostrar que

$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \nonumber$

para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 2

Demostrar que

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \nonumber$

para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 3

Demostrar que$$n! \gt 2^n$$ para$$n \geq 4\text{.}$$

## 4

Demostrar que

$x + 4x + 7x + \cdots + (3n - 2)x = \frac{n(3n - 1)x}{2} \nonumber$

para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 5

Demostrar que$$10^{n + 1} + 10^n + 1$$ es divisible$$3$$ por$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 6

Demostrar que$$4 \cdot 10^{2n} + 9 \cdot 10^{2n - 1} + 5$$ es divisible$$99$$ por$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 7

Demostrar que

$\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k\text{.} \nonumber$

## 8

Demostrar la regla de Leibniz para$$f^{(n)} (x)\text{,}$$ donde$$f^{(n)}$$ es el$$n$$ th derivado de$$f\text{;}$$ eso es, demostrar que

$(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)\text{.} \nonumber$

## 9

Utilice la inducción para demostrar que$$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n + 1} - 1$$ para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 10

Demostrar que

$\frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} \nonumber$

para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

## 11

Si$$x$$ es un número real no negativo, entonces muéstralo$$(1 + x)^n - 1 \geq nx$$ para$$n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}$$

## 12. Conjuntos de potencia

$$X$$Déjese ser un conjunto. Definir el conjunto de potencia de$$X\text{,}$$ denotado como$${\mathcal P}(X)\text{,}$$ el conjunto de todos los subconjuntos de$$X\text{.}$$ Por ejemplo,

${\mathcal P}( \{a, b\} ) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \}\text{.} \nonumber$

Por cada entero positivo$$n\text{,}$$ muestra que un conjunto con exactamente$$n$$ elementos tiene un conjunto de potencia con exactamente$$2^n$$ elementos.

## 13

Demostrar que los dos principios de inducción matemática enunciados en la Sección 2.1 son equivalentes.

## 14

Demostrar que el Principio de Ordenamiento Bien para los números naturales implica que 1 es el número natural más pequeño. Utilice este resultado para demostrar que el Principio de Ordenamiento Bien implica el Principio de Inducción Matemática; es decir, mostrar que si$$S \subset {\mathbb N}$$ tal que$$1 \in S$$ y$$n + 1 \in S$$ siempre que$$n \in S\text{,}$$ entonces$$S = {\mathbb N}\text{.}$$

## 15

Para cada uno de los siguientes pares de números$$a$$$$\gcd(a,b)$$ y$$b\text{,}$$ calcular y encontrar enteros$$r$$ y$$s$$ tal que$$\gcd(a,b) = ra + sb\text{.}$$

1. $$14$$y$$39$$
2. $$234$$y$$165$$
3. $$1739$$y$$9923$$
4. $$471$$y$$562$$
5. $$23771$$y$$19945$$
6. $$-4357$$y$$3754$$

## 16

Dejar$$a$$ y$$b$$ ser enteros distintos de cero. Si existen enteros$$r$$ y$$s$$ tales que$$ar + bs =1\text{,}$$ muestran eso$$a$$ y$$b$$ son relativamente primos.

## 17. Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\text{.} \nonumber$

Podemos definirlos inductivamente por$$f_1 = 1\text{,}$$$$f_2 = 1\text{,}$$ y$$f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n$$ para$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

1. Demostrar que$$f_n \lt 2^n\text{.}$$
2. Demostrar que$$f_{n + 1} f_{n - 1} = f^2_n + (-1)^n\text{,}$$$$n \geq 2\text{.}$$
3. Demostrar que$$f_n = [(1 + \sqrt{5}\, )^n - (1 - \sqrt{5}\, )^n]/ 2^n \sqrt{5}\text{.}$$
4. Demostrar que$$\phi = \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n + 1} / f_n = (\sqrt{5} + 1)/2\text{.}$$ La constante$$\phi$$ se conoce como la proporción áurea.
5. $$f_{n + 1}$$Demuéstralo$$f_n$$ y son relativamente primos.

## 18

Dejar$$a$$ y$$b$$ ser enteros tales que$$\gcd(a,b) = 1\text{.}$$ Dejar$$r$$ y$$s$$ ser enteros tales que$$ar + bs = 1\text{.}$$ Demostrar que

$\gcd(a,s) = \gcd(r,b) = \gcd(r,s) = 1\text{.} \nonumber$

## 19

$$x, y \in {\mathbb N}$$Déjese ser relativamente primo. Si$$xy$$ es un cuadrado perfecto,$$x$$ demuéstralo y ambos$$y$$ deben ser cuadrados perfectos.

## 20

Usando el algoritmo de división, muestra que cada cuadrado perfecto es de la forma$$4k$$ o$$4k + 1$$ para algún entero no negativo$$k\text{.}$$

## 21

Supongamos que$$a, b, r, s$$ son pares relativamente primos y que

\ begin {align*} a^2 + b^2 & = r^2\\ a^2 - b^2 & = s^2\ text {.} \ end {align*}

$$s$$Demuéstralo$$a\text{,}$$$$r\text{,}$$ y son impares y$$b$$ pares.

## 22

Let$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$ Use el algoritmo de división para probar que cada entero es congruente mod$$n$$ a precisamente uno de los enteros$$0, 1, \ldots, n-1\text{.}$$ Concluye que si$$r$$ es un entero, entonces hay exactamente uno$$s$$ en$${\mathbb Z}$$ tal que$$0 \leq s \lt n$$ y$$[r] = [s]\text{.}$$ Por lo tanto, los enteros son de hecho particionado por congruencia mod$$n\text{.}$$

## 23

Definir el mínimo común múltiplo de dos enteros distintos de cero$$a$$ y$$b\text{,}$$ denotado por$$\operatorname{lcm}(a, b)\text{,}$$ ser el entero no negativo de$$m$$ tal manera que ambos$$a$$ y$$b$$ dividir$$m\text{,}$$ y si$$a$$ y$$b$$ dividir cualquier otro entero$$n\text{,}$$ luego$$m$$ también divide$$n\text{.}$$ Demostrar que existe un múltiplo mínimo común único para dos enteros cualesquiera$$a$$ y$$b\text{.}$$

## 24

Si$$d= \gcd(a, b)$$ y$$m = \operatorname{lcm}(a, b)\text{,}$$ demostrar que$$dm = |ab|\text{.}$$

## 25

Demuestre que$$\operatorname{lcm}(a, b) = ab$$ si y solo si$$\gcd(a,b) = 1\text{.}$$

## 26

Demostrar que$$\gcd(a,c) = \gcd(b,c) =1$$ si y solo si$$\gcd(ab,c) = 1$$ para enteros$$a\text{,}$$$$b\text{,}$$ y$$c\text{.}$$

## 27

Vamos$$a, b, c \in {\mathbb Z}\text{.}$$ Demostrar que si$$\gcd(a,b) = 1$$ y$$a \mid bc\text{,}$$ luego$$a \mid c\text{.}$$

## 28

Deja$$p \geq 2\text{.}$$ Demostrar que si$$2^p - 1$$ es primo, entonces también$$p$$ debe ser primo.

## 29

Demostrar que hay un número infinito de primos de la forma$$6n + 5\text{.}$$

## 30

Demostrar que hay un número infinito de primos de la forma$$4n - 1\text{.}$$

## 31

Utilizando el hecho de que$$2$$ es primo, mostrar que no existen enteros$$p$$ y$$q$$ tal que$$p^2 = 2 q^2\text{.}$$ Demostrar que por lo tanto$$\sqrt{2}$$ no puede ser un número racional.

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