2.4: Ejercicios

Demostrar que

\[ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \nonumber \]

para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

2

Demostrar que

\[ 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \nonumber \]

para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

3

Demostrar que\(n! \gt 2^n\) para\(n \geq 4\text{.}\)

4

Demostrar que

\[ x + 4x + 7x + \cdots + (3n - 2)x = \frac{n(3n - 1)x}{2} \nonumber \]

para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

5

Demostrar que\(10^{n + 1} + 10^n + 1\) es divisible\(3\) por\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

6

Demostrar que\(4 \cdot 10^{2n} + 9 \cdot 10^{2n - 1} + 5\) es divisible\(99\) por\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

7

Demostrar que

\[ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k\text{.} \nonumber \]

8

Demostrar la regla de Leibniz para\(f^{(n)} (x)\text{,}\) donde\(f^{(n)}\) es el\(n\) th derivado de\(f\text{;}\) eso es, demostrar que

\[ (fg)^{(n)}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)\text{.} \nonumber \]

9

Utilice la inducción para demostrar que\(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n + 1} - 1\) para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

10

Demostrar que

\[ \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} \nonumber \]

para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

11

Si\(x\) es un número real no negativo, entonces muéstralo\((1 + x)^n - 1 \geq nx\) para\(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)

12. Conjuntos de potencia

\(X\)Déjese ser un conjunto. Definir el conjunto de potencia de\(X\text{,}\) denotado como\({\mathcal P}(X)\text{,}\) el conjunto de todos los subconjuntos de\(X\text{.}\) Por ejemplo,

\[ {\mathcal P}( \{a, b\} ) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \}\text{.} \nonumber \]

Por cada entero positivo\(n\text{,}\) muestra que un conjunto con exactamente\(n\) elementos tiene un conjunto de potencia con exactamente\(2^n\) elementos.

13

Demostrar que los dos principios de inducción matemática enunciados en la Sección 2.1 son equivalentes.

14

Demostrar que el Principio de Ordenamiento Bien para los números naturales implica que 1 es el número natural más pequeño. Utilice este resultado para demostrar que el Principio de Ordenamiento Bien implica el Principio de Inducción Matemática; es decir, mostrar que si\(S \subset {\mathbb N}\) tal que\(1 \in S\) y\(n + 1 \in S\) siempre que\(n \in S\text{,}\) entonces\(S = {\mathbb N}\text{.}\)

15

Para cada uno de los siguientes pares de números\(a\)\(\gcd(a,b)\) y\(b\text{,}\) calcular y encontrar enteros\(r\) y\(s\) tal que\(\gcd(a,b) = ra + sb\text{.}\)

1. \(14\)y\(39\)
2. \(234\)y\(165\)
3. \(1739\)y\(9923\)
4. \(471\)y\(562\)
5. \(23771\)y\(19945\)
6. \(-4357\)y\(3754\)

16

Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros distintos de cero. Si existen enteros\(r\) y\(s\) tales que\(ar + bs =1\text{,}\) muestran eso\(a\) y\(b\) son relativamente primos.

17. Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son

\[ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\text{.} \nonumber \]

Podemos definirlos inductivamente por\(f_1 = 1\text{,}\)\(f_2 = 1\text{,}\) y\(f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n\) para\(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

1. Demostrar que\(f_n \lt 2^n\text{.}\)
2. Demostrar que\(f_{n + 1} f_{n - 1} = f^2_n + (-1)^n\text{,}\)\(n \geq 2\text{.}\)
3. Demostrar que\(f_n = [(1 + \sqrt{5}\, )^n - (1 - \sqrt{5}\, )^n]/ 2^n \sqrt{5}\text{.}\)
4. Demostrar que\(\phi = \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n + 1} / f_n = (\sqrt{5} + 1)/2\text{.}\) La constante\(\phi\) se conoce como la proporción áurea.
5. \(f_{n + 1}\)Demuéstralo\(f_n\) y son relativamente primos.

18

Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros tales que\(\gcd(a,b) = 1\text{.}\) Dejar\(r\) y\(s\) ser enteros tales que\(ar + bs = 1\text{.}\) Demostrar que

\[ \gcd(a,s) = \gcd(r,b) = \gcd(r,s) = 1\text{.} \nonumber \]

19

\(x, y \in {\mathbb N}\)Déjese ser relativamente primo. Si\(xy\) es un cuadrado perfecto,\(x\) demuéstralo y ambos\(y\) deben ser cuadrados perfectos.

20

Usando el algoritmo de división, muestra que cada cuadrado perfecto es de la forma\(4k\) o\(4k + 1\) para algún entero no negativo\(k\text{.}\)

21

Supongamos que\(a, b, r, s\) son pares relativamente primos y que

\ begin {align*} a^2 + b^2 & = r^2\\ a^2 - b^2 & = s^2\ text {.} \ end {align*}

\(s\)Demuéstralo\(a\text{,}\)\(r\text{,}\) y son impares y\(b\) pares.

22

Let\(n \in {\mathbb N}\text{.}\) Use el algoritmo de división para probar que cada entero es congruente mod\(n\) a precisamente uno de los enteros\(0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Concluye que si\(r\) es un entero, entonces hay exactamente uno\(s\) en\({\mathbb Z}\) tal que\(0 \leq s \lt n\) y\([r] = [s]\text{.}\) Por lo tanto, los enteros son de hecho particionado por congruencia mod\(n\text{.}\)

23

Definir el mínimo común múltiplo de dos enteros distintos de cero\(a\) y\(b\text{,}\) denotado por\(\operatorname{lcm}(a, b)\text{,}\) ser el entero no negativo de\(m\) tal manera que ambos\(a\) y\(b\) dividir\(m\text{,}\) y si\(a\) y\(b\) dividir cualquier otro entero\(n\text{,}\) luego\(m\) también divide\(n\text{.}\) Demostrar que existe un múltiplo mínimo común único para dos enteros cualesquiera\(a\) y\(b\text{.}\)

24

Si\(d= \gcd(a, b)\) y\(m = \operatorname{lcm}(a, b)\text{,}\) demostrar que\(dm = |ab|\text{.}\)

25

Demuestre que\(\operatorname{lcm}(a, b) = ab\) si y solo si\(\gcd(a,b) = 1\text{.}\)

26

Demostrar que\(\gcd(a,c) = \gcd(b,c) =1\) si y solo si\(\gcd(ab,c) = 1\) para enteros\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{.}\)

27

Vamos\(a, b, c \in {\mathbb Z}\text{.}\) Demostrar que si\(\gcd(a,b) = 1\) y\(a \mid bc\text{,}\) luego\(a \mid c\text{.}\)

28

Deja\(p \geq 2\text{.}\) Demostrar que si\(2^p - 1\) es primo, entonces también\(p\) debe ser primo.

29

Demostrar que hay un número infinito de primos de la forma\(6n + 5\text{.}\)

30

Demostrar que hay un número infinito de primos de la forma\(4n - 1\text{.}\)

31

Utilizando el hecho de que\(2\) es primo, mostrar que no existen enteros\(p\) y\(q\) tal que\(p^2 = 2 q^2\text{.}\) Demostrar que por lo tanto\(\sqrt{2}\) no puede ser un número racional.