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2.7: Salvia

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    Muchas propiedades de los objetos algebraicos que estudiaremos se pueden determinar a partir de las propiedades de los enteros asociados. Y Sage tiene muchas funciones poderosas para analizar enteros.

    algoritmo de división

    El código a% b devolverá el resto tras la división de\(a\) por\(b\text{.}\) En otras palabras, el resultado es el entero único\(r\) tal que (1)\(0\leq r\lt b\text{,}\) y (2)\(a=bq+r\) para algún entero\(q\) (el cociente), como lo garantiza el Algoritmo de División (Teorema 2.9). Entonces\((a-r)/b\) será igual\(q\text{.}\) Por ejemplo,

    También es posible obtener tanto el cociente como el resto al mismo tiempo con el método .quo_rem () (cociente y resto).

    Un resto de cero indica divisibilidad. Entonces (a% b) == 0 devolverá True si se\(b\) divide\(a\text{,}\) y de lo contrario devolverá False.

    El método.divides () es otra opción.

    Divisor común más grande

    El mayor divisor común de\(a\) y\(b\) se obtiene con el comando gcd (a, b), donde en nuestros primeros usos,\(a\) y\(b\) son enteros. Posteriormente,\(a\) y\(b\) pueden ser otros objetos con noción de divisibilidad y “grandeza”, como los polinomios. Por ejemplo,

    Podemos usar el comando gcd para determinar si un par de enteros son relativamente primos.

    El comando xgcd (a, b) (“eXtended GCD”) devuelve un triple donde el primer elemento es el mayor divisor común de\(a\) y\(b\) (como con el comando gcd (a, b) anterior), pero los dos elementos siguientes son valores de\(r\) y\(s\) tal que\(ra+sb=\gcd(a,b)\text{.}\)

    Porciones del triple se pueden extraer utilizando [] (“indexación”) para acceder a las entradas del triple, comenzando por la primera como número 0. Por ejemplo, lo siguiente siempre debe devolver el resultado True, incluso si cambia los valores de a y b. Intenta cambiar los valores de a y b a continuación, para ver que el resultado siempre es Verdadero.

    Estudiar este bloque de código te ayudará en gran medida a ayudarte a aprovechar al máximo la salida de Sage. Obsérvese que = es cómo se asigna un valor a una variable, mientras que como en la última línea, == es cómo comparamos dos ítems para la igualdad.

    Primos y Factoring

    El método .is_prime () determinará si un entero es primo o no.

    El comando random_prime (a, proof=true) generará un número primo aleatorio entre\(2\) y\(a\text{.}\) Experiment ejecutando las siguientes dos celdas de cómputos varias veces. (Reemplazando proof=true by proof=false acelerará la búsqueda, pero habrá una probabilidad muy, muy, muy pequeña de que el resultado no sea primo.)

    El comando prime_range (a, b) devuelve una lista ordenada de todos los primos desde\(a\) hasta\(b-1\text{,}\) inclusive. Por ejemplo,

    Los comandos next_prime (a) y previous_prime (a) son otras formas de obtener un único número primo de un tamaño deseado. Pruébalos a continuación si tienes una celda de cómputo vacía ahí (como lo harás si estás leyendo en el Cuaderno de Sage, o estás leyendo la versión en línea). (El símbolo hash, #, se utiliza para indicar una línea de “comentario”, que no será evaluada por Sage. Así que borra esta línea, o empieza por la que está debajo de ella.)

    Además de verificar si los enteros son primos o no, o generar números primos, Sage también puede descomponer cualquier número entero en sus factores primos, como lo describe el Teorema Fundamental de la Aritmética (Teorema 2.15).

    Entonces\(2600 = 2^3\times 5^2\times 13\) y esta es la forma única de escribir\(2600\) como producto de números primos (aparte de reorganizar el orden de los primos mismos en el producto).

    Si bien Sage imprimirá una factorización muy bien, se lleva internamente como una lista de pares de enteros, siendo cada par una base (un número primo) y un exponente (un entero positivo). Estudie cuidadosamente lo siguiente, ya que es otro buen ejercicio para trabajar con la salida de Sage en forma de listas.

    La siguiente celda de cómputos revela la versión interna de la factorización pidiendo la lista real. Y te mostramos cómo podrías determinar exactamente cuántos términos tiene la factorización usando el comando length, len ().

    ¿Se pueden extraer los dos primos siguientes, y sus exponentes, de una?


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