3.8: Salvia

Muchos de los grupos discutidos en este capítulo están disponibles para su estudio en Sage. Es importante entender que los conjuntos que forman objetos algebraicos (grupos en este capítulo) se llaman “padres” en Sage, y los elementos de estos objetos se denominan, bueno, “elementos”. Entonces cada elemento pertenece a un padre (en otras palabras, está contenido en algún conjunto). Podemos preguntar sobre las propiedades de los padres (¿finitas? ¿orden? abeliano?) , y podemos preguntar sobre las propiedades de los elementos individuales (¿identidad? inversa?). A continuación te mostraremos cómo crear algunos de estos grupos comunes y comenzar a explorar sus propiedades con Sage.

Enteros mod n

Nos gustaría trabajar con elementos de Z8. Si tuvieras que escribir un 6 en una celda de cómputos ahora mismo, ¿qué querrías decir? El entero\(6\text{,}\) el número racional\(\frac{6}{1}\text{,}\) el número real\(6.00000\text{,}\) o el número complejo\(6.00000+0.00000i\text{?}\) O tal vez realmente quieres el\(6\) mod entero\(8\text{?}\) Sage realmente no tiene idea de lo que quieres decir o quieres. Para que esto quede claro, puede “coaccionar” 6 en Z8 con la sintaxis Z8 (6). Sin esto, Sage tratará un número de entrada como 6 como un entero, la interpretación más simple posible en algún sentido. Estudia cuidadosamente lo siguiente, donde primero trabajamos con enteros “normales” y luego con enteros mod 8.

Z8 es un poco inusual como primer ejemplo, ya que tiene dos operaciones definidas, tanto de suma como de multiplicación, con suma formando un grupo, y la multiplicación no formando un grupo. Aún así, podemos trabajar con la porción de aditivo, aquí formando la mesa Cayley para la adición.

Cuando\(n\) es un número primo, la estructura multipicativa (excluyendo cero), también formará un grupo.

Los enteros mod\(n\) son muy importantes, por lo que Sage implementa tanto la suma como la multiplicación juntos. Los grupos de simetrías son un mejor ejemplo de cómo Sage implementa grupos, ya que solo hay una operación presente.

Grupos de simetrías

Las simetrías de algunas formas geométricas ya están definidas en Sage, aunque con nombres diferentes. Se implementan como “grupos de permutación” los cuales comenzaremos a estudiar detenidamente en el Capítulo 5.

Sage usa enteros para etiquetar vértices, comenzando el conteo en 1, en lugar de letras. Los elementos por defecto se imprimen usando “notación de ciclo” que veremos descrita cuidadosamente en el Capítulo 5. Aquí hay un ejemplo, tanto con las matemáticas como con el sabio. Para la parte Sage, creamos el grupo de simetrías y luego creamos la simetría\(\rho_2\) con coerción, seguido de dar salida al elemento en notación de ciclo. Entonces creamos solo la fila inferior de la notación que estamos usando para las permutaciones.

\[ \rho_2= \begin{pmatrix} A & B & C\\ C & A & B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \nonumber \]

La comprensión final de la lista merece comentario. El método.domain () da una lista de los símbolos utilizados para el triángulo del grupo de permutación y luego rho2 se emplea con sintaxis como si fuera una función (es una función) para crear las imágenes que ocuparían la fila inferior.

Con una comprensión de doble lista podemos enumerar los seis elementos del grupo en el formato de “fila inferior”. Un buen ejercicio sería emparejar cada elemento con su nombre como se da en la Figura 3.6.

Diferentes libros, diferentes autores, diferentes programas tienen diferentes ideas sobre el orden en el que escribir la multiplicación de funciones. Este libro de texto se basa en la idea de composición de funciones, por lo que esa\(fg\) es la composición\((fg)(x)=f(g(x))\) y es natural aplicar\(g\) primero. Sage toma el punto de vista opuesto y ya que escribimos\(fg\text{,}\) Sage va a entender que queremos hacer\(f\) primero. Ninguno de los dos enfoques es incorrecto, y ninguno es necesariamente superior, solo son diferentes y hay buenos argumentos para cualquiera de los dos. Cuando consultas otros libros que trabajan con grupos de permutación, primero quieres determinar qué enfoque toma. (Tenga en cuenta que esta discusión sobre la composición de funciones de Sage se limita solo a permutaciones: las funciones “regulares” en Sage componen en el orden en el que podría estar familiarizado de un curso de cálculo).

La traducción aquí entre el texto y Sage valdrá la pena practicar. Aquí retomaremos la discusión al final de la Sección 3.1, pero invertiremos el orden en cada producto para calcular al estilo Sage y reflejar exactamente lo que hace el texto.

Ahora que entendemos que Sage hace multiplicación a la inversa, podemos calcular la tabla Cayley para este grupo. El comportamiento predeterminado es simplemente nombrar elementos de un grupo como letras, a, b, c,\(\dots{}\) en el mismo orden en que el comando .list () produciría los elementos del grupo. Pero también puedes imprimir los elementos de la tabla como ellos mismos (que usa notación de ciclo aquí), o puedes dar nombres a los elementos. Usaremos u como taquigrafía para\(\mu\) y r como taquigrafía para\(\rho\text{.}\)

Debe verificar que la tabla anterior es correcta, al igual que la Tabla 3.2 es correcta. Recuerde que la convención es multiplicar una etiqueta de fila por una etiqueta de columna, en ese orden. Sin embargo, para hacer un chequeo en las dos mesas, deberá recordar la diferencia en el orden entre su libro de texto y Sage.

Cuaterniones

Sage implementa los cuaterniones, pero los elementos no son matrices, sino permutaciones. A pesar de las apariencias la estructura es idéntica. No debería importar qué versión tenga en mente (matrices o permutaciones) si construye la tabla Cayley y usa el comportamiento predeterminado de usar letras para nombrar los elementos. Como permutaciones, o como letras, puedes identificar\(-1\text{,}\)\(I\text{,}\)\(J\) y\(K\text{?}\)

Debe ser bastante obvio que a es el elemento de identidad del grupo (\(1\)), ya sea por su comportamiento en la tabla, o desde su representación de “fila inferior” como el primer elemento de la lista anterior. Y si lo prefieres, puedes pedirle a Sage una lista de sus salidas cuando se vea como una función.

Ahora\(-1\) debería tener la propiedad que\(-1\cdot -1= 1\text{.}\) Vemos que el elemento de identidad a está en la diagonal de la tabla Cayley sólo cuando calculamos d*d. Podemos verificar esto fácilmente, tomando prestado el cuarto elemento “fila inferior” de la lista anterior. Con esta información, una vez que\(I\text{,}\) localicemos podemos calcular fácilmente\(-I\text{,}\) y así sucesivamente.

A ver si puedes emparejar las letras con los ocho elementos de los cuaterniones. Ten un poco de cuidado con tus nombres, el símbolo I es usado por Sage para el número imaginario\(i=\sqrt{-1}\) (que usaremos a continuación), pero Sage silenciosamente te dejará redefinirlo para que sea lo que quieras. Lo mismo ocurre con el uso de i minúscula en Sage. Entonces llama a tus elementos de los cuaterniones algo así como QI, QJ, QK para evitar confusiones.

A medida que comenzamos a trabajar con grupos es instructivo trabajar con los elementos reales. Pero muchas propiedades de los grupos son totalmente independientes del orden que utilizamos para la multiplicación, o de los nombres o representaciones que utilizamos para los elementos. Aquí hay datos sobre los cuaterniones que podemos calcular sin ningún conocimiento de cómo se escriben o multiplican los elementos.

Subgrupos

Las mejores técnicas para crear subgrupos vendrán en futuros capítulos, pero podemos crear algunos grupos que son naturalmente subgrupos de otros grupos.

Los elementos de los cuaterniones estuvieron representados por ciertas permutaciones de los números enteros del 1 al 8. También podemos construir el grupo de todas las permutaciones de estos ocho enteros. Se pone bastante grande, así que no lo enumere a menos que quiera mucha salida! (Te reto.)

Los cuaterniones, Q, es un subgrupo del grupo completo de todas las permutaciones, el grupo simétrico\(S_8\) o S8, y Sage considera esto como una propiedad de Q.

En Sage los números complejos se conocen con el nombre CC. Podemos crear una lista de los elementos en el subgrupo descrito en el Ejemplo 3.16. Entonces podemos verificar que este conjunto es un subgrupo examinando la tabla Cayley, utilizando la multiplicación como operación.