3.9: Ejercicios de salvia

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Estos ejercicios tratan de sentirse cómodos trabajando con grupos en Sage. Las hojas de trabajo de Sage tienen amplias capacidades para hacer nuevas celdas con texto cuidadosamente formateado, incluyen soporte para la sintaxis L a T e X para expresar matemáticas. Entonces, cuando una pregunta pide explicación o comentario, haz una nueva celda y comunícate claramente con tu audiencia.

1

Crear los grupos CyclicPermutationGroup (8) y DihedralGroup (4) y nombrar a estos grupos C y D, respectivamente. En breve entenderemos mejor estas construcciones, pero por ahora solo entiende que ambos objetos que creas son en realidad grupos.

2

Comprueba que C y D tengan el mismo tamaño usando el método.order (). Determine qué grupo es abeliano y cuál no, mediante el método .is_abelian ().

3

Utilice el método.cayley_table () para crear la tabla Cayley para cada grupo.

4

Escribe una discusión muy bien formateada identificando diferencias entre los dos grupos que son discernibles en las propiedades de sus tablas Cayley. Es decir, ¿qué diferencia tienen estos dos grupos que se pueden “ver” en las mesas Cayley? (En el cuaderno de Sage, un clic de Shift-clic en una barra azul traerá un mini-procesador de palabras, y puede usar signos de dólar para incrustar matemáticas formateadas usando la sintaxis T e X).

5

Para C ubicar el único subgrupo de orden\(4\text{.}\) El grupo D tiene tres subgrupos de orden\(4\text{.}\) Seleccione uno de los tres subgrupos de D que tenga una estructura diferente a la del subgrupo que obtuvo de C.

El método.subgroups () te dará una lista de todos los subgrupos para ayudarte a comenzar. Una mesa Cayley te ayudará a notar la diferencia entre los dos subgrupos. ¿Qué propiedades de estas tablas utilizó para determinar la diferencia en la estructura de los subgrupos?

6

El método.subgroup (elt_list) de un grupo creará el subgrupo más pequeño que contenga los elementos especificados del grupo, cuando se le den los elementos como una lista elt_list. Usa este comando para descubrir la lista más corta de elementos necesarios para recrear los subgrupos que encontraste en el ejercicio anterior. La comparación de igualdad, ==, se puede utilizar para probar si dos subgrupos son iguales.