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# 4.1: Subgrupos cíclicos

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Muchas veces un subgrupo dependerá enteramente de un solo elemento del grupo; es decir, conocer ese elemento en particular nos permitirá computar cualquier otro elemento del subgrupo.

##### Ejemplo$$4.1$$

Supongamos que consideramos$$3 \in {\mathbb Z}$$ y miramos todos los múltiplos (tanto positivos como negativos) de$$3$$. Como conjunto, esto es

$3 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\text{.} \nonumber$

Solución

Es fácil ver que$$3 {\mathbb Z}$$ es un subgrupo de los enteros. Este subgrupo está completamente determinado por el elemento$$3$$ ya que podemos obtener todos los demás elementos del grupo tomando múltiplos de$$3\text{.}$$ Cada elemento en el subgrupo es “generado” por$$3\text{.}$$

##### Ejemplo$$4.2$$

Si$$H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}$$

Solución

entonces$$H$$ es un subgrupo del grupo multiplicativo de números racionales distintos de cero,$${\mathbb Q}^*\text{.}$$ Si$$a = 2^m$$ y$$b = 2^n$$ están en$$H\text{,}$$ entonces también$$ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}$$ está en$$H\text{.}$$ Por Proposición 3.31,$$H$$ es un subgrupo de$${\mathbb Q}^*$$ determinado por el elemento$$2\text{.}$$

##### Teorema$$4.3$$

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$a$$ ser cualquier elemento en$$G\text{.}$$ Luego el conjunto

$\langle a \rangle = \{ a^k : k \in {\mathbb Z} \} \nonumber$

es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Además,$$\langle a \rangle$$ es el subgrupo más pequeño del$$G$$ que contiene$$a\text{.}$$

Prueba

La identidad está en$$\langle a \rangle$$ ya que$$a^0 = e\text{.}$$ si$$g$$ y$$h$$ son cualesquiera dos elementos en$$\langle a \rangle \text{,}$$ entonces por la definición de$$\langle a \rangle$$ podemos escribir$$g = a^m$$ y$$h = a^n$$ para algunos enteros$$m$$ y$$n\text{.}$$ Así$$gh = a^m a^n = a^{m+n}$$ es de nuevo en$$\langle a \rangle \text{.}$$ Finalmente, si$$g = a^n$$ en $$\langle a \rangle \text{,}$$entonces la inversa también$$g^{-1} = a^{-n}$$ está en$$\langle a \rangle \text{.}$$ Claramente, cualquier subgrupo$$H$$ de$$G$$ contener$$a$$ debe contener todas las potencias de$$a$$ por cierre; de ahí,$$H$$ contiene$$\langle a \rangle \text{.}$$ Por lo tanto,$$\langle a \rangle$$ es el subgrupo más pequeño de$$G$$ que contiene$$a\text{.}$$

##### Comentario$$4.4$$

Si estamos usando la notación “+”, como en el caso de los enteros en adición, escribimos$$\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}$$

Porque$$a \in G\text{,}$$ llamamos$$\langle a \rangle$$ al subgrupo cíclico generado por$$a\text{.}$$ If$$G$$ contiene algún elemento$$a$$ tal que$$G = \langle a \rangle \text{,}$$ entonces$$G$$ es un grupo cíclico. En este caso$$a$$ es un generador de$$G\text{.}$$ Si$$a$$ es un elemento de un grupo$$G\text{,}$$ definimos el orden de$$a$$ ser el entero positivo más pequeño$$n$$ tal que$$a^n= e\text{,}$$ y escribimos$$|a| = n\text{.}$$ Si hay no es tal entero$$n\text{,}$$ decimos que el orden de$$a$$ es infinito y escribimos$$|a| = \infty$$ para denotar el orden de$$a\text{.}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Observe que un grupo cíclico puede tener más de un solo generador. Ambos$$1$$ y$$5$$ generar$${\mathbb Z}_6\text{;}$$

Solución

por lo tanto,$${\mathbb Z}_6$$ es un grupo cíclico. No todos los elementos de un grupo cíclico son necesariamente un generador del grupo. El orden de$$2 \in {\mathbb Z}_6$$ es$$3\text{.}$$ El subgrupo cíclico generado por$$2$$ es$$\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}$$

Los grupos$${\mathbb Z}$$ y$${\mathbb Z}_n$$ son grupos cíclicos. Los elementos$$1$$ y$$-1$$ son generadores para Ciertamente$${\mathbb Z}\text{.}$$ podemos generar$${\mathbb Z}_n$$ con 1 aunque puede haber otros generadores de$${\mathbb Z}_n\text{,}$$ como en el caso de$${\mathbb Z}_6\text{.}$$

##### Ejemplo$$4.6$$

El grupo de unidades,$$U(9)\text{,}$$ en$${\mathbb Z}_9$$ es un grupo cíclico.

Solución

Como conjunto,$$U(9)$$ es$$\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}$$ El elemento 2 es un generador para$$U(9)$$ desde

\ begin {align*} 2^1 & = 2\ qquad 2^2 = 4\\ 2^3 & = 8\ qquad 2^4 = 7\\ 2^5 & = 5\ qquad 2^6 = 1\ text {.} \ end {alinear*}

##### Ejemplo$$4.7$$

No todos los grupos son un grupo cíclico. Considerar el grupo de simetría de un triángulo equilátero$$S_3\text{.}$$ La tabla de multiplicación para este grupo es$$Figure \text { } 3.7$$.

Solución

Los subgrupos de$$S_3$$ se muestran en$$Figure \text { } 4.8$$. Observe que cada subgrupo es cíclico; sin embargo, ningún elemento genera todo el grupo.

$$Figure \text { } 4.8.$$Subgrupos de$$S_3$$

##### Teorema$$4.9$$

Prueba

Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico y$$a \in G$$ ser un generador para$$G\text{.}$$ Si$$g$$ y$$h$$ están en$$G\text{,}$$ entonces se pueden escribir como poderes de$$a\text{,}$$ decir$$g = a^r$$ y$$h = a^s\text{.}$$ desde

$g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g\text{,} \nonumber$

$$G$$es abeliano.

## Subgrupos de grupos cíclicos

Podemos hacer algunas preguntas interesantes sobre los subgrupos cíclicos de un grupo y los subgrupos de un grupo cíclico. Si$$G$$ es un grupo, ¿qué subgrupos de$$G$$ son cíclicos? Si$$G$$ es un grupo cíclico, ¿qué tipo de subgrupos$$G$$ posee?

##### Teorema$$4.10$$

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Prueba

Las principales herramientas utilizadas en esta prueba son el algoritmo de división y el Principio de Ordenamiento Bien. Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico generado por$$a$$ y supongamos que$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Si$$H = \{ e \}\text{,}$$ entonces trivialmente$$H$$ es cíclico. Supongamos que$$H$$ contiene algún otro elemento$$g$$ distinto de la identidad. Entonces se$$g$$ puede escribir como$$a^n$$ para algún entero$$n\text{.}$$ ya que$$H$$ es un subgrupo, también$$g^{-1} = a^{-n}$$ debe estar en$$H\text{.}$$ Dado que ya sea$$n$$ o$$-n$$ es positivo, podemos suponer que$$H$$ contiene potencias positivas de$$a$$ y$$n \gt 0\text{.}$$ Let $$m$$ser el número natural más pequeño tal que$$a^m \in H\text{.}$$ Tal$$m$$ existe por el Principio de Ordenamiento Bien.

Afirmamos que$$h = a^m$$ es un generador para$$H\text{.}$$ Debemos demostrar que cada uno$$h' \in H$$ puede escribirse como un poder de$$h\text{.}$$$$h' \in H$$ Since y$$H$$ es un subgrupo de$$G\text{,}$$$$h' = a^k$$ para algún entero$$k\text{.}$$ Usando el algoritmo de división, podemos encontrar números$$q$$ y $$r$$de tal manera que$$k = mq +r$$ donde$$0 \leq r \lt m\text{;}$$ por lo tanto,

$a^k = a^{mq +r} = (a^m)^q a^r = h^q a^r\text{.} \nonumber$

Por lo tanto,$$a^r = a^k h^{-q}\text{.}$$ ya que$$a^k$$$$h^{-q}$$ están en$$H\text{,}$$$$a^r$$ debe estar también en$$H\text{.}$$ Sin embargo,$$m$$ fue el número positivo más pequeño tal que$$a^m$$ estaba en$$H\text{;}$$ consecuencia,$$r=0$$ y así$$k=mq\text{.}$$ Por lo tanto,

$h' = a^k = a^{mq} = h^q \nonumber$

y$$H$$ es generado por$$h\text{.}$$

##### Corolario$$4.11$$

Los subgrupos de$${\mathbb Z}$$ son exactamente$$n{\mathbb Z}$$ para$$n = 0, 1, 2,\ldots\text{.}$$

##### Proposición$$4.12$$

Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico de orden$$n$$ y supongamos que$$a$$ es un generador para$$G\text{.}$$ Entonces$$a^k=e$$ si y solo si$$n$$ divide$$k\text{.}$$

Prueba

Primero supongamos que$$a^k=e\text{.}$$ Por el algoritmo de división,$$k = nq + r$$ donde de$$0 \leq r \lt n\text{;}$$ ahí,

$e = a^k = a^{nq + r} = a^{nq} a^r = e a^r = a^r\text{.} \nonumber$

Dado que el entero positivo más pequeño$$m$$ tal que$$a^m = e$$ es$$n\text{,}$$$$r= 0\text{.}$$

Por el contrario, si$$k\text{,}$$ se$$n$$ divide entonces$$k=ns$$ para algún entero$$s\text{.}$$ En consecuencia,

$a^k = a^{ns} = (a^n)^s = e^s = e\text{.} \nonumber$

##### Teorema$$4.13$$

Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico de orden$$n$$ y supongamos que$$a \in G$$ es un generador del grupo. Si$$b = a^k\text{,}$$ entonces el orden de$$b$$ es$$n/d\text{,}$$ donde$$d = \gcd(k,n)\text{.}$$

Prueba

Deseamos encontrar el entero más pequeño$$m$$ tal que$$e = b^m = a^{km}\text{.}$$ Por la Proposición 4.12, este es el entero más pequeño$$m$$ tal que$$n$$ divide$$km$$ o, equivalentemente,$$n/d$$ divide$$m(k/d)\text{.}$$ Dado que$$d$$ es el mayor divisor común de$$n$$ y$$k\text{,}$$ $$n/d$$y$$k/d$$ son relativamente primos. De ahí$$n/d$$ que para$$m(k/d)$$ dividirlo debe dividir$$m\text{.}$$ El más pequeño tal$$m$$ es$$n/d\text{.}$$

##### Corolario$$4.14$$

Los generadores de$${\mathbb Z}_n$$ son los enteros$$r$$ tales que$$1 \leq r \lt n$$ y$$\gcd(r,n) = 1\text{.}$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Examinemos el grupo$${\mathbb Z}_{16}\text{.}$$

Solución

Los números$$1\text{,}$$$$3\text{,}$$$$5\text{,}$$$$7\text{,}$$$$9\text{,}$$$$11\text{,}$$$$13\text{,}$$ y$$15$$ son los elementos de$${\mathbb Z}_{16}$$ que son relativamente primos a$$16\text{.}$$ Cada uno de estos elementos genera$${\mathbb Z}_{16}\text{.}$$ Por ejemplo,

\ begin {align*} 1\ cdot 9 & = 9 & 2\ cdot 9 & = 2 & 3\ cdot 9 & = 11\\ 4\ cdot 9 & = 4 & 5\ cdot 9 & = 13 & 6\ cdot 9 & = 6\\ 7\ cdot 9 & = 15 & 8\ cdot 9 & = 8 & 9\ cdot 9 & = 1\\ 10\ cdot 9 & = 10 & 11\ cdot 9 & = 3 & 12\ cdot 9 & = 12\\ 13\ cdot 9 & = 5 & 14\ cdot 9 & = 14 & 15\ cdot 9 & = 7\ texto {.} \ end {alinear*}

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