4.2: Grupo Multiplicativo de Números Complejos

Los números complejos se definen como

\[ {\mathbb C} = \{ a + bi : a, b \in {\mathbb R} \}\text{,} \nonumber \]

donde\(i^2 = -1\text{.}\) Si\(z = a + bi\text{,}\) entonces\(a\) es la parte real de\(z\) y\(b\) es la parte imaginaria de\(z\text{.}\)

Para sumar dos números complejos\(z=a+bi\) y solo\(w= c+di\text{,}\) agregamos las partes reales e imaginarias correspondientes:

\[ z + w=(a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\text{.} \nonumber \]

Recordando que\(i^2 = -1\text{,}\) multiplicamos números complejos al igual que los polinomios. El producto de\(z\) y\(w\) es

\[ (a + bi )(c + di) = ac + bdi^2 + adi + bci = (ac -bd) +(ad + bc)i\text{.} \nonumber \]

Cada número complejo distinto de cero\(z = a +bi\) tiene una inversa multiplicativa; es decir, existe\(z^{-1} \in {\mathbb C}^\ast\) tal que\(z z^{-1} = z^{-1} z = 1\text{.}\) si\(z = a + bi\text{,}\) entonces

\[ z^{-1} = \frac{a-bi}{ a^2 + b^2 }\text{.} \nonumber \]

El conjugado complejo de un número complejo\(z = a + bi\) se define como\(\overline{z} = a- bi\text{.}\) El valor absoluto o módulo de\(z = a + bi\) es\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}\)

Ejemplo\(4.16\)

Let\(z = 2 + 3i\) y\(w = 1-2i\text{.}\)

Solución

Entonces

\[ z + w = (2 + 3i) + (1 - 2i) = 3 + i \nonumber \]

y

\[ z w = (2 + 3i)(1 - 2i ) = 8 - i\text{.} \nonumber \]

También,

\ begin {align*} z^ {-1} & =\ frac {2} {13} -\ frac {3} {13} i\\ |z| & =\ sqrt {13}\\\ overline {z} & = 2-3i\ texto {.} \ end {alinear*}

\(Figure \text { } 4.17.\)Coordenadas rectangulares de un número complejo

Existen varias formas de representar gráficamente números complejos. Podemos representar un número complejo\(z = a +bi\) como un par ordenado en el\(xy\) plano donde\(a\) está la coordenada\(x\) (o real) y\(b\) es la coordenada\(y\) (o imaginaria). A esto se le llama la representación rectangular o cartesiana. Las representaciones rectangulares de\(z_1 = 2 + 3i\text{,}\)\(z_2 = 1 - 2i\text{,}\) y\(z_3 = - 3 + 2i\) se representan en\(Figure \text { } 4.17\).

\(Figure \text { } 4.18.\)Coordenadas polares de un número complejo

Los números complejos distintos de cero también se pueden representar usando coordenadas polares. Para especificar cualquier punto distinto de cero en el plano, basta con dar un ángulo\(\theta\) desde el\(x\) eje positivo en sentido contrario a las agujas del reloj y una distancia\(r\) desde el origen, como en\(Figure \text { } 4.18\). Podemos ver que

\[ z = a + bi = r( \cos \theta + i \sin \theta)\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto,

\[ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \nonumber \]

y

\ begin {alinear*} a & = r\ cos\ theta\\ b & = r\ sin\ theta\ texto {.} \ end {alinear*}

A veces abreviamos\(r( \cos \theta + i \sin \theta)\) como\(r \cis \theta\text{.}\) Para asegurar que la representación de\(z\) está bien definida, también requerimos que\(0^{\circ} \leq \theta \lt 360^{\circ}\text{.}\) Si la medición es en radianes, entonces\(0 \leq \theta \lt2 \pi\text{.}\)

Ejemplo\(4.19\)

Supongamos que\(z = 2 \cis 60^{\circ}\text{.}\) Entonces

\[ a = 2 \cos 60^{\circ} = 1 \nonumber \]

y

\[ b = 2 \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}\text{.} \nonumber \]

Solución

Por lo tanto, la representación rectangular es\(z = 1+\sqrt{3}\, i\text{.}\)

Por el contrario, si se nos da una representación rectangular de un número complejo, a menudo es útil conocer la representación polar del número. Si\(z = 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i\text{,}\) entonces

\[ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 } = 6 \nonumber \]

y

\[ \theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) = \arctan( - 1) = 315^{\circ}\text{,} \nonumber \]

por lo\(3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i=6 \cis 315^{\circ}\text{.}\)

La representación polar de un número complejo facilita la búsqueda de productos y potencias de números complejos. La prueba de la siguiente proposición es directa y se deja como ejercicio.

Proposición\(4.20\)

Let\(z = r \cis \theta\) y\(w = s \cis \phi\) ser dos números complejos distintos de cero. Entonces

\ [zw = r s\ cis (\ theta +\ phi)\ texto {.} \ end {ecuación*

Ejemplo\(4.21\)

Si\(z = 3 \cis( \pi / 3 )\) y\(w = 2 \cis(\pi / 6 )\text{,}\)

Solución

entonces\(zw = 6 \cis( \pi / 2 ) = 6i\text{.}\)

Teorema\(4.22\). DeMoivre

Dejar\(z = r \cis \theta\) ser un número complejo distinto de cero. Entonces

\[ [r \cis \theta ]^n = r^n \cis( n \theta) \nonumber \]

para\(n = 1, 2, \ldots\text{.}\)

Prueba

Vamos a utilizar la inducción en\(n\text{.}\) Para\(n = 1\) el teorema es trivial. Supongamos que el teorema es cierto para todos\(k\) tales que\(1 \leq k \leq n\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} z^ {n+1} & = z^n z\\ & = r^n (\ cos n\ theta + i\ sin n\ theta) r (\ cos\ theta + i\ sin\ theta)\\\ & = r^ {n+1} [(\ cos n\ theta\ cos\ theta -\ sin n\ theta\ sin\ theta) + i (\ sin n\ theta\ cos\ theta +\ cos n\ theta\ sin\ theta)]\\ & = r^ {n+1} [\ cos (n\ theta +\ theta) + i\ sin (n \ theta +\ theta)]\\ & = r^ {n+1} [\ cos (n +1)\ theta + i\ sin (n+1)\ theta]\ texto {.} \ end {alinear*}

Ejemplo\(4.23\)

Supongamos que\(z= 1+i\) y deseamos computar\(z^{10}\text{.}\)

Solución

En lugar de calcular\((1 + i)^{10}\) directamente, es mucho más fácil cambiar a coordenadas polares y calcular\(z^{10}\) usando el Teorema de DemoIVRE:

\ begin {align*} z^ {10} & = (1+i) ^ {10}\\ & =\ izquierda (\ sqrt {2}\ cis\ izquierda (\ frac {\ pi} {4}\ derecha)\ derecha) ^ {10}\\ & = (\ sqrt {2}\,) ^ {10}\ cis\ izquierda (\ frac {5\ pi} {2}\ derecha)\\ & = 32\ cis\ izquierda (\ frac {\ pi} {2}\ derecha)\\ & = 32i\ texto {.} \ end {alinear*}

El Grupo Círculo y las Raíces de la Unidad

El grupo multiplicativo de los números complejos,\({\mathbb C}^*\text{,}\) posee algunos subgrupos interesantes. Mientras que\({\mathbb Q}^*\) y no\({\mathbb R}^*\) tienen subgrupos interesantes de orden finito,\({\mathbb C}^*\) tiene muchos. Primero consideramos el grupo círculo,

\[ {\mathbb T} = \{ z \in {\mathbb C} : |z| = 1 \}\text{.} \nonumber \]

La siguiente proposición es un resultado directo de la Proposición 4.20.

Proposición\(4.24\)

El grupo círculo es un subgrupo de\({\mathbb C}^*\text{.}\)

Aunque el grupo círculo tiene orden infinito, tiene muchos subgrupos finitos interesantes. Supongamos que\(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Entonces\(H\) es un subgrupo del grupo círculo. También,\(1\text{,}\)\(-1\text{,}\)\(i\text{,}\) y\(-i\) son exactamente esos números complejos que satisfacen la ecuación\(z^4 = 1\text{.}\) Los números complejos que satisfacen la ecuación\(z^n=1\) se denominan las raíces\(n\) th de la unidad.

Teorema\(4.25\)

Si\(z^n = 1\text{,}\) entonces las\(n\) raíces de la unidad son

\[ z = \cis\left( \frac{2 k \pi}{n } \right)\text{,} \nonumber \]

donde\(k = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) además, las\(n\) raíces de la unidad forman un subgrupo cíclico\({\mathbb T}\) de orden\(n\)

Prueba

Por el teorema de Demoivre,

\[ z^n = \cis \left( n \frac{2 k \pi}{n } \right) = \cis( 2 k \pi ) = 1\text{.} \nonumber \]

Los\(z\)'s son distintos ya que los números\(2 k \pi /n\) son todos distintos y son mayores o iguales a 0 pero menores que\(2 \pi\text{.}\) El hecho de que estas sean todas las raíces de la ecuación se\(z^n=1\) desprende del Corolario 17.9, que establece que un polinomio de grado\(n\) puede tener como máximo \(n\)raíces. Dejaremos la prueba de que las\(n\) raíces de la unidad forman un subgrupo cíclico de\({\mathbb T}\) como ejercicio.

Un generador para el grupo de las raíces\(n\) th de la unidad se llama raíz primitiva\(n\) th de unidad.

Ejemplo\(4.26\)

Las 8 raíces de la unidad se pueden representar como ocho puntos igualmente espaciados en el círculo unitario (\(Figure \text { } 4.27\)).

Solución

Las primitivas 8 raíces de la unidad son

\ begin {align*}\ omega & =\ frac {\ sqrt {2}} {2} +\ frac {\ sqrt {2}} {2} i\\\ omega^3 & = -\ frac {\ sqrt {2}} {2} +\ frac {\ sqrt {2}} {2} i\\ omega^5 & = -\ frac {\ sqrt {2}} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2} i\\\ omega^7 & =\ frac {\ sqrt {2}} {2} -\ frac {\ sqrt {2}} {2} i\ text {.} \ end {alinear*}

\(Figure \text { } 4.27.\)8 raíces de la unidad