4.3: El método de los cuadrados repetidos

Computar grandes potencias puede llevar mucho tiempo. Así como cualquiera puede calcular\(2^2\) o\(2^8\text{,}\) todo el mundo sabe cómo calcular

\[ 2^{2^{1{,}000{,}000} }\text{.} \nonumber \]

No obstante, tales números son tan grandes que no queremos intentar los cálculos; además, pasado cierto punto los cálculos no serían factibles aunque tuviéramos todas las computadoras del mundo a nuestra disposición. Incluso anotar la representación decimal de un número muy grande puede no ser razonable. Podría tener miles o incluso millones de dígitos de largo. Sin embargo, si pudiéramos calcular algo así como

\[ 2^{37{,}398{,}332 } \pmod{ 46{,}389}\text{,} \nonumber \]

muy fácilmente podríamos anotar el resultado ya que sería un número entre\(0\) y\(46{,}388\text{.}\) Si queremos computar potencias módulo de manera\(n\) rápida y eficiente, tendremos que ser inteligentes. ¹

Los resultados de esta sección son necesarios solo en el Capítulo 7

Lo primero que hay que notar es que cualquier número se\(a\) puede escribir como la suma de poderes distintos de\(2\text{;}\) eso es, podemos escribir

\[ a = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}\text{,} \nonumber \]

donde\(k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_n\text{.}\) Esta es solo la representación binaria de\(a\text{.}\) Por ejemplo, la representación binaria de 57 es 111001, ya que podemos escribir\(57 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5\text{.}\)

Las leyes de los exponentes aún funcionan en\({\mathbb Z}_n\text{;}\) eso es, si\(b \equiv a^x \pmod{ n}\) y\(c \equiv a^y \pmod{ n}\text{,}\) entonces\(bc \equiv a^{x+y} \pmod{ n}\text{.}\) podemos computar\(a^{2^k} \pmod{ n}\) en\(k\) multiplicaciones computando

\ begin {reunir*} a^ {2^0}\ pmod {n}\\ a^ {2^1}\ pmod {n}\\\ vdots\\ a^ {2^k}\ pmod {n}\ texto {.} \ end {reunir*}

Cada paso implica cuadrar la respuesta obtenida en el paso anterior, dividir por\(n\text{,}\) y tomar el resto.

Ejemplo 4.28

Vamos a calcular\(271^{321} \pmod{ 481}\text{.}\) Observe que

\[ 321 = 2^0 +2^6 + 2^8; \nonumber \]

por lo tanto, la computación\(271^{ 321} \pmod{ 481}\) es lo mismo que la computación

\[ 271^{ 2^0 +2^6 + 2^8 } \equiv 271^{ 2^0 } \cdot 271^{2^6 } \cdot 271^{ 2^8 } \pmod{ 481}\text{.} \nonumber \]

Entonces bastará con computar\(271^{ 2^i } \pmod{ 481}\) donde\(i = 0, 6, 8\text{.}\) es muy fácil ver que

\[ 271^{ 2^1} = 73{,}441 \equiv 329 \pmod{ 481}\text{.} \nonumber \]

Podemos cuadrar este resultado para obtener un valor para\(271^{ 2^2} \pmod{481}\text{:}\)

\ begin {align*} 271^ {2^2} &\ equiv (271^ {2^1}) ^2\ pmod {481}\\ &\ equiv (329) ^2\ pmod {481}\\ &\ equiv 108 {,} 241\ pmod {481}\ &\ equiv 16\ pmod {481}\ text {.} \ end {align*}

Estamos utilizando el hecho de que\((a^{2^n})^2 \equiv a^{2 \cdot 2^n} \equiv a^{ 2^{n+1} } \pmod{ n}\text{.}\) Continuando, podemos calcular

\[ 271^{ 2^6 } \equiv 419 \pmod{481} \nonumber \]

y

\[ 271^{ 2^8 } \equiv 16 \pmod{481}\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto,

\ begin {align*} 271^ {321} &\ equiv 271^ {2^0 +2^6 + 2^8}\ pmod {481}\ &\ equiv 271^ {2^0}\ cdot 271^ {2^6}\ cdot 271^ {2^8}\ pmod {481}\\ &\ equiv 271\ cdot 419\ cdot 16\ pmod {481}\\ &\ equiv 1 {,} 816 {,} 784\ pmod {481}\\ &\ equiv 47\ pmod {481}\ text {.} \ end {align*}

El método de los cuadrados repetidos demostrará ser una herramienta muy útil cuando exploremos el Capítulo 7. Para codificar y decodificar mensajes de manera razonable bajo este esquema, es necesario poder calcular rápidamente grandes potencias de enteros mod\(n\text{.}\)