4.8: Salvia

Los grupos cíclicos son muy importantes, por lo que no es de sorprender que aparezcan en muchas formas diferentes en Sage. Cada uno es ligeramente diferente, y ninguna implementación es ideal para una introducción, pero juntos pueden ilustrar la mayoría de las ideas importantes. Aquí hay una guía de las diversas formas de construir, y estudiar, un grupo cíclico en Sage.

Grupos cíclicos infinitos

En Sage, los enteros\(\mathbb Z\) se construyen con ZZ. Para construir el grupo cíclico infinito como el\(3\mathbb Z\) del Ejemplo 4.1, simplemente use 3*ZZ. Como conjunto infinito, no hay mucho que puedas hacer con esto. Puede probar si los enteros están en este conjunto, o no. También puede recuperar el generador con el comando .gen ().

Grupos Cíclicos Aditivos

El grupo cíclico aditivo se\(\mathbb Z_n\) puede construir como un caso especial de una construcción Sage más general. Primero construimos\(\mathbb Z_{14}\) y capturamos su generador. A lo largo de todo, preste mucha atención al uso de paréntesis y corchetes para cuando experimente por su cuenta.

Se puede calcular en este grupo, usando el generador, o usando nuevos elementos formados coaccionando enteros en el grupo, o tomando el resultado de operaciones en otros elementos. Y podemos calcular el orden de los elementos en este grupo. Observe que podemos realizar adiciones repetidas con el atajo de tomar múltiplos enteros de un elemento.

Podemos crear, y luego calcular con, nuevos elementos del grupo coaccionando un entero (en una lista de longitud\(1\)) en el grupo. Es posible que obtengas una Advertencia de DeprecationWarning la primera vez que uses esta sintaxis si estás usando una versión antigua de Sage. La misteriosa advertencia puede ser ignorada con seguridad.

Es posible crear subgrupos cíclicos, a partir de un elemento designado para ser el nuevo generador. Desafortunadamente, para hacer esto se requiere el método.submodule () (que debería renombrarse en Sage).

El subgrupo cíclico H recién creado tiene más de un generador. Podemos probar esto construyendo un nuevo subgrupo y comparando los dos subgrupos.

Ciertamente la lista de elementos, y el generador común de (2) nos llevan a pensar que H y K son lo mismo, pero la comparación en la última línea no deja ninguna duda.

Los resultados de esta sección, especialmente Teorema\(4.13\) y Corolario\(4.14\), se pueden investigar creando generadores de subgrupos a partir de un generador de un grupo cíclico aditivo, creando los subgrupos y computando los órdenes de ambos elementos y órdenes de grupos.

Abstracto Grupos Cíclicos Multiplicativos

Podemos crear un grupo cíclico abstracto al estilo de Teorema\(4.3\), Teorema\(4.9\) y Teorema\(4.10\). En la sintaxis a continuación a es un nombre para el generador, y 14 es el orden del elemento. Observe que la notación ahora es multiplicativa, por lo que multiplicamos elementos, y los productos repetidos se pueden escribir como poderes.

Los cálculos en el grupo son similares a los anteriores, solo que con notación diferente. Ahora productos, con productos repetidos escritos como exponenciación.

Los subgrupos se pueden formar con un comando .subgroup (). Pero no trates de enumerar los contenidos de un subgrupo, te parecerá extrañamente desconocido. Además, no se implementa la comparación de subgrupos.

Una ventaja de esta implementación es la posibilidad de crear todos los subgrupos posibles. Aquí creamos la lista de subgrupos, extraemos uno en particular (el tercero) y verificamos su orden.

Grupos de permutación cíclica

Aprenderemos más sobre los grupos de permutación en el próximo capítulo. Pero mencionaremos aquí que es fácil crear grupos cíclicos como grupos de permutación, y hay una variedad de métodos disponibles para trabajar con ellos, incluso si los elementos reales se vuelven un poco engorrosos para trabajar con ellos. Como antes, observe que la notación y sintaxis es multiplicativa.

Podemos crear subgrupos, verificar sus pedidos y enumerar sus elementos.

Podría ayudar a visualizar este grupo, y el subgrupo, como rotaciones de un\(12\) -gon regular con los vértices etiquetados con los enteros\(1\) a través de\(12\text{.}\) Este no es el grupo completo de simetrías, ya que no incluye reflexiones, solo las\(12\) rotaciones.

Mesas Cayley

Como grupos, cada uno de los ejemplos anteriores (grupos y subgrupos) tienen implementadas tablas Cayley. Dado que los grupos son cíclicos, y sus subgrupos son por lo tanto cíclicos, las tablas Cayley deben tener un patrón “cíclico” similar. Tenga en cuenta que las letras utilizadas en la tabla por defecto son genéricas y no están relacionadas con las letras utilizadas anteriormente para elementos específicos, simplemente coinciden con los elementos del grupo en el orden dado por .list ().

Si los nombres reales de los elementos no son demasiado complicados, la tabla podría ser más informativa usando estos nombres.

Raíces complejas de la unidad

Los subgrupos cíclicos finitos\({\mathbb T}\text{,}\) generados por una raíz\(n\) primitiva de unidad se implementan como una construcción más general en Sage, conocido como campo ciclotómico. Si te concentras solo en la multiplicación de poderes de un generador (e ignoras los infinitamente muchos otros elementos) entonces este es un grupo cíclico finito. Ya que esto no se implementa directamente en Sage como grupo, per se, es un poco más difícil construir cosas como subgrupos, pero es un ejercicio excelente para probar. Es un buen ejemplo ya que los números complejos son una construcción concreta y familiar. Aquí hay algunos cálculos de muestra para brindarle algunas herramientas exploratorias. Consulte las notas siguientes a los cómputos.

Notas:

1. zeta14 es el nombre del generador utilizado para el campo ciclotómico, es una raíz primitiva de unidad (una raíz\(14\) th de unidad en este caso). Lo hemos capturado como w.
2. La sintaxis CDF (w) convertirá el número complejo w en la forma más familiar con partes reales e imaginarias.
3. El método .abs () devolverá el módulo de un número complejo,\(r\) como se describe en el texto. Para los elementos de\({\mathbb C}^\ast\) esto siempre deben ser iguales\(1\text{.}\)
4. El método .arg () devolverá el argumento de un número complejo,\(\theta\) como se describe en el texto. Cada elemento del grupo cíclico en este ejemplo debe tener un argumento que sea un múltiplo entero de\(\frac{2\pi}{14}\text{.}\) La sintaxis N () convierte el valor simbólico de pi en una aproximación numérica.
5. sg es una lista de elementos que forman un subgrupo cíclico de orden 7, compuesto por las primeras 7 potencias de b = w^2. Entonces, por ejemplo, la última comparación multiplica el quinto poder de b por el sexto poder de b, que sería el undécimo poder de b. Pero como b tiene orden 7, esto se reduce a la cuarta potencia.
6. Si sabes que un subconjunto de un grupo infinito forma un subgrupo, entonces puedes producir su tabla Cayley especificando la lista de elementos que quieres usar. Aquí pedimos una tabla de multiplicación, ya que esa es la operación relevante.