4.9: Ejercicios de salvia

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Este grupo de ejercicios trata sobre el grupo de unidades mod\(n\text{,}\)\(U(n)\text{,}\) que a veces es cíclico, a veces no. Hay algunos comandos en Sage que responderán algunas de estas preguntas muy rápidamente, pero en lugar de usarlas ahora, solo usa las técnicas básicas descritas. La idea aquí es simplemente trabajar con elementos, y listas de elementos, para discernir la estructura subgrupal de estos grupos.

Las hojas de trabajo de Sage tienen amplias capacidades para hacer nuevas celdas con texto cuidadosamente formateado, incluyen soporte para la sintaxis L a T e X para expresar matemáticas. Entonces, cuando una pregunta pide explicación o comentario, haz una nueva celda y comunícate claramente con tu audiencia. Continuar con esta práctica en conjuntos de ejercicios posteriores.

1

Ejecuta la sentencia R = Enteros (40) para crear el conjunto [0,1,2,... ,39] Este es un grupo bajo mod de suma\(40\text{,}\) que ignoraremos. En cambio nos interesa el subconjunto de elementos que tienen un inverso bajo multiplicación mod\(40\text{.}\) Determina qué tan grande es este subgrupo ejecutando el comando R.unit_group_order (), y luego obtener una lista de estos elementos con R.list_of_elements_of_multiplicative_ grupo ().

2

Puede crear elementos de este grupo coaccionando enteros regulares en U, como con la instrucción a = U (7). (No confundas esto con nuestra notación matemática\(U(40)\text{.}\)) Esto le dirá a Sage que quieres ver\(7\) como un elemento de\(U\text{,}\) sujeto a las operaciones correspondientes. Determinar los elementos del subgrupo cíclico de\(U\) generado por\(7\) con una comprensión de lista de la siguiente manera:

Cuál es el orden de\(7\) en\(U(40)\text{?}\)

3

El grupo\(U(49)\) es cíclico. Usando solo los comandos de Sage descritos anteriormente, usa Sage para encontrar un generador para este grupo. Ahora usando solamente teoremas sobre la estructura de los grupos cíclicos, describa cada uno de los subgrupos de\(U(49)\) especificando su orden y dando un generador explícito. No repita ninguno de los subgrupos —es decir, presentar cada subgrupo exactamente una vez. Puedes usar Sage para verificar tu trabajo en los subgrupos, pero tu respuesta sobre los subgrupos debe basarse únicamente en teoremas y ser un párrafo muy bien escrito con una tabla, etc.

4

El grupo no\(U(35)\) es cíclico. Nuevamente, usando solo los comandos de Sage descritos anteriormente, usa cálculos para proporcionar evidencia irrefutable de esto. ¿Cuántos de los\(16\) diferentes subgrupos de\(U(35)\) puedes enumerar?

5

Nuevamente, usando solo los comandos Sage descritos anteriormente, explore la estructura de\(U(n)\) para diversos valores de\(n\) y vea si puede formular una conjetura interesante sobre alguna propiedad básica de este grupo. (Sí, esta es una pregunta muy abierta, pero esta es, en última instancia, el verdadero poder de explorar las matemáticas con Sage).