5.5: Salvia

Una buena parte del apoyo de Sage para la teoría de grupos se basa en las rutinas de GAP (Grupos, Algoritmos y Programación) en www.gap-system.org, que se incluye en cada copia de Sage. Se trata de un paquete maduro de código abierto, que data de 1986. (Referencia hacia adelante aquí a la consola GAP, etc.)

Como hemos visto, los grupos pueden describirse de muchas maneras diferentes, como conjuntos de matrices, conjuntos de números complejos o conjuntos de símbolos sujetos a relaciones definitorias. Una forma muy concreta de representar grupos es a través de permutaciones (uno a uno y sobre funciones de los enteros\(1\) a través de\(n\)), utilizando la composición de funciones como la operación en el grupo, como se describe en este capítulo. Sage tiene muchas rutinas diseñadas para trabajar con grupos de este tipo y también son una buena manera para que aquellos que aprenden teoría de grupos adquieran experiencia con las ideas básicas de la teoría de grupos. Por ambas razones, nos concentraremos en este tipo de grupos.

Grupos y elementos de permutación

La forma más fácil de trabajar con elementos de grupo de permutación en Sage es escribirlos en notación de ciclo. Dado que estos son productos de ciclos disjuntos (que conmutan), no necesitamos preocuparnos por el orden real de los ciclos. Si escribimos (1,3) (2,4) probablemente entendemos que es una permutación (¡el tema de este capítulo!) y sabemos que podría ser un elemento de\(S_4\text{,}\) o quizás un grupo simétrico en más símbolos que sólo 4. Sage no puede comenzar tan fácilmente y necesita un poco de contexto, así que coaccionamos una cadena de caracteres escritos con notación de ciclo en un grupo simétrico para hacer elementos de grupo. Aquí hay algunos ejemplos y algunos cálculos de muestra. Recuerda que Sage y tu texto difieren en cómo interpretar el orden de componer dos permutaciones en un producto.

Si los siguientes tres ejemplos parecen confusos, o “al revés”, entonces ahora sería un excelente momento para revisar la discusión de Sage sobre el orden de composición de permutación en la subsección Grupos de simetrías.

Hay formas alternas de crear elementos de grupo de permutación, que pueden ser útiles en algunas situaciones, pero no son tan útiles en el uso cotidiano.

La segunda versión de\(\sigma\) es una lista de “tuplas”, que requiere muchas comas y estas deben estar encerradas en una lista. (Una tupla de longitud uno debe escribirse como (4,) para distinguirla del uso de paréntesis para agrupar, como en 5* (4).) La tercera versión utiliza la “fila inferior” de la notación de dos filas más engorrosa introducida al comienzo del capítulo; es una lista ordenada de los valores de salida de la permutación cuando se considera como una función.

Entonces vemos que a pesar de tres procedimientos de entrada diferentes, todas las versiones de\(\sigma\) print de la misma manera, y más reso en realidad son iguales entre sí. (Esta es una diferencia sutil: qué es un objeto en Sage versus cómo se muestra un objeto).

Podemos ser aún más cuidadosos con la naturaleza de nuestros elementos. Observe que una vez que comencemos a Sage, puede promover el producto\(\tau\sigma\) en el grupo de permutación más grande. Podemos “promover” elementos en grupos de permutación más grandes, pero es un error tratar de calzar un elemento en un grupo simétrico demasiado pequeño.

Es un error tratar de coaccionar una permutación con demasiados símbolos en un grupo de permutación que emplea muy pocos símbolos.

Mejor que trabajar solo con elementos del grupo simétrico, podemos crear una variedad de grupos de permutación en Sage. Aquí hay una muestra para empezar:

Cuadro 5.30. Algunos grupos de permutación de salvia

Comando Sage	Descripción
Grupo Simétrico (n)	Permutaciones en\(n\) símbolos,\(n!\) elementos
DihedralGroup (n)	Simetrías de un\(n\) -gon,\(2n\) elementos.
Grupo de permutación cíclica (n)	Rotaciones de un\(n\) -gon (sin volteos),\(n\) elementos
Grupo alternativo (n)	Grupo alterno en\(n\) símbolos,\(n!/2\) elementos
KleinFourGroup ()	Un grupo no cíclico de orden 4

También puedes localizar grupos de permutación de salvia con el catálogo de grupos. En la siguiente celda coloca tu cursor justo después del punto final y pulsa la tecla tabulador. Obtendrá una lista de métodos que puede utilizar para crear grupos de permutación. Como siempre, coloque un signo de interrogación después de un método y golpee la tecla de tabulación para obtener documentación en línea de un método.

Propiedades de los elementos de permutación

A veces es más fácil sacar un elemento de una lista de elementos de un grupo de permutación, y luego ya está apegado a un padre y no hay necesidad de coerción alguna. A continuación, rotar y voltear son automáticamente elementos de G por la forma en que los adquirimos.

Entonces vemos de esta afirmación final que el grupo de simetrías de un pentágono no es abeliano. Pero hay una manera más fácil.

Hay muchos más métodos que puedes usar tanto para los grupos de permutación como para sus elementos individuales. Usa la celda de cálculo en blanco a continuación para crear un grupo de permutación (cualquiera que te guste) y un elemento de un grupo de permutación (cualquiera que te guste). Luego use tab-completion para ver todos los métodos disponibles para un elemento, o para un grupo (name, period, tab-key). Algunos nombres que quizás reconozcas, algunos los aprenderemos en los próximos capítulos, algunos son herramientas de investigación altamente especializadas que puedes usar cuando escribes tu tesis doctoral en teoría de grupos. Para cualquiera de estos métodos, recuerda que puedes escribir el nombre, seguido de un signo de interrogación, para ver documentación y ejemplos. Experimenta y explora — es muy difícil romper cualquier cosa.

Aquí hay algunos ejemplos seleccionados de varios métodos disponibles.

Un método muy útil a la hora de estudiar el grupo alterno es el método del elemento de grupo de permutación .sign (). Devolverá 1 si una permutación es par y -1 si una permutación es impar.

Podemos crear subgrupos dando al grupo principal una lista de “generadores”. Estos elementos sirven para “generar” un subgrupo —imagínese multiplicar estos elementos (y sus inversos) juntos una y otra vez, creando nuevos elementos que también deben estar en el subgrupo y también involucrarse en nuevos productos, hasta que no se vean nuevos elementos. Ahora esa definición termina con una afirmación horriblemente imprecisa, pero por ahora debería bastar. Una mejor definición es que el subgrupo generado por los elementos es el subgrupo más pequeño del grupo principal que contiene todos los generadores —lo cual está bien si sabes cuáles podrían ser todos los subgrupos.

Con un solo generador, los productos repetidos solo se convierten en potencias del generador solitario. El subgrupo generado entonces es cíclico. Con dos (o más) generadores, sobre todo en un grupo no abeliano, la situación puede ser mucho, mucho más complicada. Entonces comencemos con un solo generador. Pero no olvides ponerlo en una lista de todos modos.

Ahora podemos rehacer el ejemplo desde el comienzo mismo de este capítulo. Traducimos a elementos a notación de ciclo, construimos el subgrupo a partir de dos generadores (el subgrupo no es cíclico), y como el subgrupo es abeliano, no tenemos que ver la tabla Cayley de Sage como una reflexión diagonal de la tabla en el ejemplo.

Grupo de movimiento de un cubo

Podríamos imitar el ejemplo en el texto y crear elementos de\(S_4\) como permutaciones de las diagonales. Una construcción más obvia, pero menos perspicaz, es ver las 8 esquinas del cubo como los elementos permutados. Entonces algunas simetrías obvias del cubo provienen de correr un eje por el centro de un lado, a través del centro del lado opuesto, con cuartos de vuelta o medias vueltas alrededor de estos ejes formando simetrías. Con tres ejes de este tipo y cuatro rotaciones por eje, obtenemos 12 simetrías, excepto que hemos contado la permutación de identidad dos veces extra.

Etiquete las cuatro esquinas de la parte superior cuadrada\(4\text{,}\) colocando\(1\) a través\(1\) en la esquina delantera izquierda, y siguiendo alrededor de las agujas del reloj cuando se ve desde arriba. Usar\(5\) a través\(8\) para la esquina del cuadrado inferior, de modo que\(5\) esté directamente\(1\text{,}\)\(6\) debajo de\(2\text{,}\) etc. Usaremos cuartos de vuelta, en sentido horario, alrededor de cada eje, cuando se vea desde arriba, el frente, y la derecha.

Ya que sabemos por la discusión en el texto que el grupo de simetría tiene\(24\) elementos, vemos que nuestros tres cuartos de vuelta son suficientes para crear cada simetría. Esto provoca varias preguntas que puedes encontrar en Ejercicio\(5.6.4\).