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# 5.6: Ejercicios de salvia

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

Estos ejercicios están diseñados para ayudarte a familiarizarte con los grupos de permutación en Sage.

## 1

Cree el grupo simétrico completo$$S_{10}$$ con el comando G = SymmetricGroup (10).

## 2

Crear elementos de G con la siguiente sintaxis (variable). Presta atención a comas, comillas, corchetes, paréntesis. Los dos primeros usan una cadena (caracteres) como entrada, imitando la forma en que escribimos permuaciones (pero con comas). Los dos segundos utilizan una lista de tuplas.

• a = G (“(5,7,2,9,3,1,8)”)
• b = G (“(1,3) (4,5)”)
• c = G ([(1,2), (3,4)])
• d = G ([(1,3), (2,5,8), (4,6,7,9,10)])
1. Compute$$a^3\text{,}$$$$bc\text{,}$$$$ad^{-1}b\text{.}$$
2. Calcular los órdenes de cada uno de estos cuatro elementos individuales (a a d) utilizando un método de elemento de grupo de permutación única.
3. Utilice el método del elemento de grupo de permutación .sign () para determinar si$$a,b,c,d$$ son permutaciones pares o impares.
4. Crea dos subgrupos cíclicos de$$G$$ con los comandos:
• H = G.Subgrupo ([a])
• K = G.Subgrupo ([d])

Enumerar y estudiar los elementos de cada subgrupo. Sin usar Sage, enumere el orden de cada subgrupo de$$K\text{.}$$ Luego use Sage para construir un subgrupo de$$K$$ con orden 10.

5. Se pueden formar subgrupos más complicados mediante el uso de dos o más generadores. Construir un subgrupo$$L$$ de$$G$$ con el comando L = G.subgrupo ([b, c]). Calcular el orden$$L$$ y enumerar todos los elementos de$$L\text{.}$$

## 3

Construir el grupo de simetrías del tetraedro (también el grupo alterno en 4 símbolos,$$A_4$$) con el comando A=AlternanteGrupo (4). Usando herramientas como órdenes de elementos, y generadores de subgrupos, vea si puede encontrar todos los subgrupos de$$A_4$$ (cada uno exactamente una vez). Haga esto sin usar el método.subgroups () para justificar la corrección de su respuesta (aunque podría ser una forma conveniente de verificar su trabajo).

Proporcione un buen resumen como su respuesta, no solo montones de salida. Así que usa Sage como herramienta, según sea necesario, pero básicamente tu respuesta será un párrafo y/o tabla concisos. Esta es la única parte de esta tarea sin indicaciones claras y precisas, así que dedique algún tiempo a esta porción para hacerlo bien. Pista: ningún subgrupo de$$A_4$$ requiere más de dos generadores.

## 4

La subsección Grupo de movimiento de un cubo describe las$$24$$ simetrías de un cubo como un subgrupo del grupo simétrico$$S_8$$ generado por tres cuartos de vuelta. Responde las siguientes preguntas sobre este grupo de simetría.

1. De la lista de elementos del grupo, ¿se pueden localizar las diez rotaciones sobre ejes? (Pista: la identidad es fácil, los otros nueve nunca se envían ningún símbolo a sí mismo.)
2. ¿Se pueden identificar las seis simetrías que son una transposición de diagonales? (Pista: [g para g en cubo si g.order () == 2] es un buen filtro preliminar.)
3. Verificar que dos cualesquiera de los cuartos de vuelta (arriba, frontal, derecha) sean suficientes para generar todo el grupo. ¿Cómo sabes que cada par genera todo el grupo?
4. ¿Se puede expresar una de las transposiciones diagonales como producto de cuartos de vuelta? Esto puede ser un problema notoriamente difícil, especialmente para el software. Se le conoce como el “problema de la palabra”.
5. Numere las seis caras del cubo con los números$$1$$ a través$$6$$ (de la forma que desee). Ahora consideremos las mismas tres simetrías que usábamos antes (cuartos de vueltas sobre ejes cara a cara), pero ahora las vemos como permutaciones de las seis caras. De esta manera, construimos cada simetría como un elemento de$$S_6\text{.}$$ Verificar que el subgrupo generado por estas simetrías es todo el grupo de simetría del cubo. Nuevamente, en lugar de usar tres generadores, intente usar solo dos.

## 5

Guarda tu trabajo, y luego ve si puedes chocar tu sesión de Sage construyendo el subgrupo de$$S_{10}$$ generados por los elementos b y d de órdenes$$2$$ y$$30$$ desde arriba. No envíe la lista de elementos de N como parte de su hoja de trabajo enviada.

Cuál es el orden de$$N\text{?}$$

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