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# 6.1: Cosets

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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Dejar$$G$$ ser un grupo y$$H$$ un subgrupo de$$G\text{.}$$ Definir un coconjunto izquierdo de$$H$$ con representante$$g \in G$$ para ser el conjunto

$gH = \{ gh : h \in H \}\text{.} \nonumber$

Los cosets correctos se pueden definir de manera similar mediante

$Hg = \{ hg : h \in H \}\text{.} \nonumber$

Si los cosets izquierdo y derecho coinciden o si queda claro desde el contexto a qué tipo de coset nos estamos refiriendo, usaremos la palabra coset sin especificar izquierda o derecha.

## Ejemplo$$6.1$$

Dejar$$H$$ ser el subgrupo de$${\mathbb Z}_6$$ que consta de los elementos$$0$$ y$$3\text{.}$$

Solución

Los cosets son

\ comenzar {reunir*} 0 + H = 3 + H =\ {0, 3\}\ 1 + H = 4 + H =\ {1, 4\}\ 2 + H = 5 + H =\ {2, 5\}\ texto {.} \ end {reunir*}

Siempre escribiremos los coconjuntos de subgrupos de$${\mathbb Z}$$ y$${\mathbb Z}_n$$ con la notación aditiva que hemos utilizado para los cosets aquí. En un grupo conmutativo, los coconjuntos izquierdo y derecho son siempre idénticos.

## Ejemplo$$6.2$$

Dejar$$H$$ ser el subgrupo de$$S_3$$ definido por las permutaciones$$\{(1), (123), (132) \}\text{.}$$ Los coconjuntos izquierdos de$$H$$ son

\ begin {reunir*} (1) H = (1 2 3) H = (132) H =\ {(1), (1 23), (132)\}\\ (1 2) H = (1 3) H = (2 3) H =\ {(1 2), (1 3), (2 3)\}\ text {.} \ end {reunir*}

Los cosets correctos de$$H$$ son exactamente los mismos que los cosets izquierdos:

\ comenzar {reunir*} H (1) = H (1 2 3) = H (132) =\ {(1), (1 23), (132)\}\ H (1 2) = H (1 3) = H (2 3) = H (2 3) =\ {(1 2), (1 3), (2 3)\}\ texto {.} \ end {reunir*}

Solución

No siempre ocurre que un coset izquierdo sea lo mismo que un coset derecho. Dejar$$K$$ ser el subgrupo de$$S_3$$ definido por las permutaciones$$\{(1), (1 2)\}\text{.}$$ Entonces los coconjuntos izquierdos de$$K$$ son

\ begin {reunir*} (1) K = (1 2) K =\ {(1), (1 2)\}\\ (1 3) K = (1 2 3) K =\ {(1 3), (1 2 3)\}\\ (2 3) K = (1 3 2) K =\ {(2 3), (1 3)\};\ end {reunir*}

sin embargo, los coconjuntos correctos de$$K$$ son

\ begin {reunir*} K (1) = K (1 2) =\ {(1), (1 2)\}\ K (1 3) = K (1 3 2) =\ {(1 3), (1 3), (1 3 2)\}\ K (2 3) = K (1 2 3) =\ {(2 3), (1 2 3)\}\ texto {.} \ end {reunir*}

El siguiente lema es bastante útil cuando se trata de cosets. (Dejamos su prueba como ejercicio.)

## Lema$$6.3$$

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G$$ y supongamos que$$g_1, g_2 \in G\text{.}$$ Las siguientes condiciones son equivalentes.

1. $$g_1 H = g_2 H\text{;}$$
2. $$H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{;}$$
3. $$g_1 H \subset g_2 H\text{;}$$
4. $$g_2 \in g_1 H\text{;}$$
5. $$g_1^{-1} g_2 \in H\text{.}$$

En todos nuestros ejemplos los coconjuntos de un subgrupo$$H$$ particiona el grupo mayor$$G\text{.}$$ El siguiente teorema proclama que este siempre será el caso.

## Teorema$$6.4$$

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G\text{.}$$ Luego los coconjuntos izquierdos de$$H$$ en$$G$$ partición Es$$G\text{.}$$ decir, el grupo$$G$$ es la unión disjunta de los coconjuntos izquierdos de $$H$$en$$G\text{.}$$

Prueba

Dejar$$g_1 H$$ y$$g_2 H$$ ser dos cosets de$$H$$ en$$G\text{.}$$ Debemos demostrar que$$g_1 H \cap g_2 H = \emptyset$$ o bien$$g_1 H = g_2 H\text{.}$$ Supongamos que$$g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset$$ y$$a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}$$ Entonces por la definición de un coset izquierdo,$$a = g_1 h_1 = g_2 h_2$$ para algunos elementos$$h_1$$ y$$h_2$$ en$$H\text{.}$$ Por lo tanto,$$g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}$$ o $$g_1 \in g_2 H\text{.}$$Por Lemma 6.3,$$g_1 H = g_2 H\text{.}$$

## Comentario$$6.5$$

No hay nada especial en este teorema sobre los cosets izquierdos. Los cosets derechos también$$G\text{;}$$ particionan la prueba de este hecho es exactamente la misma que la prueba para los cosets izquierdos excepto que todas las multiplicaciones de grupo se realizan en el lado opuesto de$$H\text{.}$$

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$H$$ ser un subgrupo de$$G\text{.}$$ Definir el índice de$$H$$ in$$G$$ para ser el número de cosets izquierdos de$$H$$ en$$G\text{.}$$ Vamos a denotar el índice por$$[G:H]\text{.}$$

## Ejemplo$$6.6$$

Let$$G= {\mathbb Z}_6$$ y$$H = \{ 0, 3 \}\text{.}$$

Solución

Entonces$$[G:H] = 3\text{.}$$

## Ejemplo$$6.7$$

Supongamos que$$G= S_3\text{,}$$$$H = \{ (1),(123), (132) \}\text{,}$$ y$$K= \{ (1), (12) \}\text{.}$$

Solución

Entonces$$[G:H] = 2$$ y$$[G:K] = 3\text{.}$$

## Teorema$$6.8$$

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G\text{.}$$ El número de coconjuntos izquierdos de$$H$$ in$$G$$ es el mismo que el número de coconjuntos derechos de$$H$$ in$$G\text{.}$$

Prueba

Dejar$${\mathcal L}_H$$ y$${\mathcal R}_H$$ denotar el conjunto de coconjuntos izquierdo y derecho de$$H$$ in$$G\text{,}$$ respectivamente. Si podemos definir un mapa biyective$$\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}$$ entonces se probará el teorema. Si$$gH \in {\mathcal L}_H\text{,}$$ vamos$$\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}$$ Por Lema$$6.3$$, el mapa$$\phi$$ está bien definido; es decir, si$$g_1 H = g_2 H\text{,}$$ entonces$$H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}$$ Para mostrar que$$\phi$$ es uno a uno, supongamos que

$H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}\text{.} \nonumber$

De nuevo por Lemma$$6.3$$,$$g_1 H = g_2 H\text{.}$$ El mapa$$\phi$$ está encendido desde$$\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}$$

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