6.3: Teoremas de Fermat y Euler

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La función Euler\(\phi\) - es el mapa\(\phi : {\mathbb N } \rightarrow {\mathbb N}\) definido por\(\phi(n) = 1\) for\(n=1\text{,}\) y, for\(n \gt 1\text{,}\)\(\phi(n)\) es el número de enteros positivos\(m\) con\(1 \leq m \lt n\) y\(\gcd(m,n) = 1\text{.}\)

De Proposición\(3.4\), sabemos que el orden\(U(n)\text{,}\) del grupo de unidades en\({\mathbb Z}_n\text{,}\) es\(\phi(n)\text{.}\) Por ejemplo,\(|U(12)| = \phi(12) = 4\) ya que los números que son relativamente primos a 12 son 1, 5, 7, y 11. Para cualquier primo\(p\text{,}\)\(\phi(p) = p-1\text{.}\) Nosotros declaramos estos resultados en el siguiente teorema.

Teorema\(6.17\)

\(U(n)\)Dejen ser el grupo de unidades en\({\mathbb Z}_n\text{.}\) Entonces\(|U(n)| = \phi(n)\text{.}\)

El siguiente teorema es un resultado importante en la teoría de números, debido a Leonhard Euler.

Teorema\(6.18\). Euler's Theorem

Dejar\(a\) y\(n\) ser enteros tales que\(n \gt 0\) y\(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Entonces\(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)

Prueba: Por Teorema\(6.17\) el orden de\(U(n)\) es\(\phi(n)\text{.}\) Consecuentemente,\(a^{\phi(n)} = 1\) para todos\(a \in U(n)\text{;}\) o\(a^{\phi(n)} - 1\) es divisible por\(n\text{.}\) Por lo tanto,\(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\)

Si consideramos el caso especial del Teorema de Euler en el que\(n = p\) es primo y\(\phi(p) = p - 1\text{,}\) recordamos que obtenemos el siguiente resultado, debido a Pierre de Fermat.

Teorema\(6.19\). Fermat's Little Theorem

Dejar\(p\) ser cualquier número primo y supongamos que\(p \notdivide a\) (\(p\)no divide\(a\)). Entonces

\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{ p }\text{.} \nonumber \]

Además, para cualquier entero\(b\text{,}\)\ (b^p\ equiv b\ pmod {p}\ text { . }\

Nota Histórica

Joseph-Louis Lagrange (1736—1813), nacido en Turín, Italia, era de ascendencia francesa e italiana. Su talento para las matemáticas se hizo evidente a una edad temprana. Leonhard Euler reconoció las habilidades de Lagrange cuando Lagrange, que apenas tenía 19 años, comunicó a Euler algún trabajo que había realizado en el cálculo de las variaciones. Ese año también fue nombrado profesor en la Real Escuela de Artillería de Turín. A los 23 años ingresó a la Academia de Berlín. Federico el Grande había escrito a Lagrange proclamando que el “rey más grande de Europa” debería tener al “mayor matemático de Europa” en su corte. Durante 20 años Lagrange ocupó el cargo desocupado por su mentor, Euler. Sus trabajos incluyen contribuciones a la teoría de números, teoría de grupos, física y mecánica, el cálculo de variaciones, la teoría de ecuaciones y ecuaciones diferenciales. Junto con Laplace y Lavoisier, Lagrange fue una de las personas encargadas de diseñar el sistema métrico. Durante su vida Lagrange influyó profundamente en el desarrollo de las matemáticas, dejando mucho a la siguiente generación de matemáticos en forma de ejemplos y nuevos problemas por resolver.