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# 7.4: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Codificar IXLOVEXMATH usando el criptosistema en Ejemplo$$7.1$$.

## 2

Decodificar ZLOOA WKLVA EHARQ WKHA ILQDO, el cual fue codificado usando el criptosistema en Ejemplo$$7.1$$.

## 3

Suponiendo que se utilizó código monoalfabético para codificar el siguiente mensaje secreto, ¿cuál era el mensaje original?

APHUO EGEHP PEXOV FKEUH CKVUE CHKVE APHUO
EGEHU EXOVL EXDKT VGEFT EHFKE UHCKF TZEXO
VEZDT TVKUE XOVKV ENOHK ZFTEH TEHKQ LEROF
PVEHP PEXOV ERYKP GERYT GVKEG XDRTE RGAGA


¿Cuál es el significado de este mensaje en la historia de la criptografía?

## 4

¿Cuál es el número total de posibles criptosistemas monoalfabéticos? ¿Qué tan seguros son esos criptosistemas?

## 5

Demostrar que una$$2 \times 2$$ matriz$$A$$ con entradas en$${\mathbb Z}_{26}$$ es invertible si y solo si$$\gcd( \det(A), 26 ) = 1\text{.}$$

## 6

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

utilizar la función de cifrado$$f({\mathbf p}) = A {\mathbf p} + {\mathbf b}$$ para codificar el mensaje CRYPTOLOGÍA, donde$${\mathbf b} = ( 2, 5)^\transpose\text{.}$$ ¿Cuál es la función de decodificación?

## 7

Cifrar cada uno de los siguientes mensajes RSA$$x$$ para que$$x$$ se divida en bloques de enteros de longitud es$$2\text{;}$$ decir, si se$$x = 142528\text{,}$$ codifican$$14\text{,}$$$$25\text{,}$$ y$$28$$ por separado.

1. $$\displaystyle n = 3551, E = 629, x = 31$$
2. $$\displaystyle n = 2257, E = 47, x = 23$$
3. $$\displaystyle n = 120979, E = 13251, x = 142371$$
4. $$\displaystyle n = 45629, E = 781, x = 231561$$

## 8

Calcular la clave de decodificación$$D$$ para cada una de las claves de codificación en Ejercicio$$7.4.7$$.

## 9

Descifrar cada uno de los siguientes mensajes de RSA$$y\text{.}$$

1. $$\displaystyle n = 3551, D = 1997, y = 2791$$
2. $$\displaystyle n = 5893, D = 81, y = 34$$
3. $$\displaystyle n = 120979, D = 27331, y = 112135$$
4. $$\displaystyle n = 79403, D = 671, y = 129381$$

## 10

Para cada una de las siguientes claves de cifrado$$(n, E)$$ en el criptosistema RSA, compute$$D\text{.}$$

1. $$\displaystyle (n, E) = (451, 231)$$
2. $$\displaystyle (n, E) = (3053, 1921)$$
3. $$\displaystyle (n, E) = (37986733, 12371)$$
4. $$\displaystyle (n, E) = (16394854313, 34578451)$$

## 11

Los mensajes cifrados a menudo se dividen en bloques de$$n$$ letras. Un mensaje como EL MUNDO MARAVILLAS POR QUÉ podría estar encriptado como JIW OCFRJ LPOEVYQ IOC pero enviado como JIW OCF RJL POE VYQ IOC. ¿Cuáles son las ventajas de usar bloques de$$n$$ letras?

## 12

Encuentra enteros$$n\text{,}$$$$E\text{,}$$ y$$X$$ tal que

$X^E \equiv X \pmod{n}\text{.} \nonumber$

¿Es esto un problema potencial en el criptosistema RSA?

## 13

Cada persona en la clase debe construir un criptosistema RSA usando primos que son de$$10$$ hasta$$15$$ dígitos de largo. Entregar$$(n, E)$$ y un mensaje codificado. Mantengan en$$D$$ secreto. A ver si pueden romper los códigos del otro.

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