9.1: Definición y Ejemplos

Dos grupos\((G, \cdot)\) y\((H, \circ)\) son isomórficos si existe un uno-a-uno y en mapa\(\phi : G \rightarrow H\) tal que se conserve la operación grupal; es decir,

\[ \phi( a \cdot b) = \phi( a) \circ \phi( b) \nonumber \]

para todos\(a\) y\(b\) en\(G\text{.}\) Si\(G\) es isomórfico a\(H\text{,}\) escribimos\(G \cong H\text{.}\) El mapa\(\phi\) se llama isomorfismo.

Ejemplo\(9.1\)

Para mostrar que\({\mathbb Z}_4 \cong \langle i \rangle\text{,}\) definir un mapa\(\phi: {\mathbb Z}_4 \rightarrow \langle i \rangle\) por\(\phi(n) = i^n\text{.}\) Debemos mostrar que\(\phi\) es biyectiva y preserva la operación grupal.

Solución

El mapa\(\phi\) es uno a uno y sobre porque

\ begin {align*}\ phi (0) & = 1\\\ phi (1) & = i\\\ phi (2) & = -1\\\ phi (3) & = -i\ text {.} \ end {alinear*}

Desde

\[ \phi(m + n) = i^{m+n} = i^m i^n = \phi(m) \phi( n)\text{,} \nonumber \]

se conserva la operación de grupo.

Ejemplo\(9.2\)

Podemos definir un isomorfismo\(\phi\) desde el grupo aditivo de números reales\(( {\mathbb R}, + )\) hasta el grupo multiplicativo de números reales positivos\(( {\mathbb R^+}, \cdot )\) con el mapa exponencial;

Solución

es decir,

\[ \phi( x + y) = e^{x + y} = e^x e^y = \phi( x ) \phi( y)\text{.} \nonumber \]

Por supuesto, aún debemos demostrar que\(\phi\) es uno a uno y hacia, pero esto se puede determinar usando cálculo.

Ejemplo\(9.3\)

Los números enteros son isomórficos al subgrupo de\({\mathbb Q}^\ast\) compuestos por elementos de la forma\(2^n\text{.}\) Definir un mapa\(\phi: {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}^\ast\) por\(\phi( n ) = 2^n\text{.}\)

Solución

Entonces

\[ \phi( m + n ) = 2^{m + n} = 2^m 2^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \nonumber \]

Por definición el mapa\(\phi\) está sobre el subconjunto\(\{2^n :n \in {\mathbb Z} \}\) de\({\mathbb Q}^\ast\text{.}\) Para mostrar que el mapa es inyectivo, supongamos que\(m \neq n\text{.}\) Si podemos mostrar eso\(\phi(m) \neq \phi(n)\text{,}\) entonces ya terminamos. Supongamos eso\(m \gt n\) y\(\phi(m) = \phi(n)\text{.}\) asumamos que Entonces\(2^m = 2^n\) o\(2^{m - n} = 1\text{,}\) que es imposible desde\(m - n \gt 0\text{.}\)

Ejemplo\(9.4\)

Los grupos\({\mathbb Z}_8\) y\({\mathbb Z}_{12}\) no pueden ser isomórficos ya que tienen órdenes diferentes; sin embargo, es cierto que\(U(8) \cong U(12)\text{.}\) Sabemos que

\ begin {alinear*} U (8) & =\ {1, 3, 5, 7\}\\ U (12) & =\ {1, 5, 7, 11\}\ texto {.} \ end {alinear*}

Solución

Un isomorfismo\(\phi : U(8) \rightarrow U(12)\) es dado entonces por

\ begin {align*} 1 &\ mapsto 1\\ 3 &\ mapsto 5\\ 5 &\ mapsto 7\\ 7 &\ mapsto 11\ texto {.} \ end {alinear*}

El mapa no\(\phi\) es el único isomorfismo posible entre estos dos grupos. Podríamos definir otro isomorfismo\(\psi\) por\(\psi(1) = 1\text{,}\)\(\psi(3) = 11\text{,}\)\(\psi(5) = 5\text{,}\)\(\psi(7) = 7\text{.}\) De hecho, ambos grupos son isomórficos a\({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) (ver Ejemplo 3.28 en el Capítulo 3).

Ejemplo\(9.5\)

Aunque\(S_3\) y\({\mathbb Z}_6\) posean el mismo número de elementos, sospecharíamos que no son isomórficos, porque\({\mathbb Z}_6\) es abeliano y\(S_3\) no abeliano. Para demostrar que éste es efectivamente el caso, supongamos que\(\phi : {\mathbb Z}_6 \rightarrow S_3\) se trata de un isomorfismo.

Solución

\(a , b \in S_3\)Dejen ser dos elementos tales que\(ab \neq ba\text{.}\) Dado que\(\phi\) es un isomorfismo, existen elementos\(m\) y\(n\) en\({\mathbb Z}_6\) tal que

\[ \phi( m ) = a \quad \text{and} \quad \phi( n ) = b\text{.} \nonumber \]

Sin embargo,

\[ ab = \phi(m ) \phi(n) = \phi(m + n) = \phi(n + m) = \phi(n ) \phi(m) = ba\text{,} \nonumber \]

lo que contradice el hecho de que\(a\) y\(b\) no se conmuten.

Teorema\(9.6\)

Dejar\(\phi : G \rightarrow H\) ser un isomorfismo de dos grupos. Entonces son ciertas las siguientes afirmaciones.

1. \(\phi^{-1} : H \rightarrow G\)es un isomorfismo.
2. \(|G| = |H|\text{.}\)
3. Si\(G\) es abeliano, entonces\(H\) es abeliano.
4. Si\(G\) es cíclico, entonces\(H\) es cíclico.
5. Si\(G\) tiene un subgrupo de orden\(n\text{,}\) entonces\(H\) tiene un subgrupo de orden\(n\text{.}\)

Prueba

Las aseveraciones (1) y (2) se derivan del hecho de que\(\phi\) es una biyección. Vamos a probar (3) aquí y dejar el resto del teorema para ser probado en los ejercicios.

(3) Supongamos que\(h_1\) y\(h_2\) son elementos de\(H\text{.}\)\(\phi\) Since está en, existen elementos\(g_1, g_2 \in G\) tales que\(\phi(g_1) = h_1\) y\(\phi(g_2) = h_2\text{.}\) Por lo tanto,

\[ h_1 h_2 = \phi(g_1) \phi(g_2) = \phi(g_1 g_2) = \phi(g_2 g_1) = \phi(g_2) \phi(g_1) = h_2 h_1\text{.} \nonumber \]

Ahora estamos en condiciones de caracterizar todos los grupos cíclicos.

Teorema\(9.7\)

Todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomórficos a\({\mathbb Z}\text{.}\)

Prueba

Dejar\(G\) ser un grupo cíclico con orden infinito y supongamos que\(a\) es un generador de\(G\text{.}\) Definir un mapa\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) por\(\phi : n \mapsto a^n\text{.}\) Entonces

\[ \phi( m+n ) = a^{m+n} = a^m a^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \nonumber \]

Para demostrar que\(\phi\) es inyectivo, supongamos que\(m\) y\(n\) son dos elementos en\({\mathbb Z}\text{,}\) donde\(m \neq n\text{.}\) Podemos suponer que\(m \gt n\text{.}\) Debemos demostrar que\(a^m \neq a^n\text{.}\) Supongamos lo contrario; es decir,\(a^m = a^n\text{.}\) en este caso\(a^{m - n} = e\text{,}\) donde\(m - n \gt 0\text{,}\) lo que contradice el hecho que\(a\) tiene orden infinito. Nuestro mapa está en ya que cualquier elemento en se\(G\) puede escribir como\(a^n\) para algún entero\(n\) y\(\phi(n) = a^n\text{.}\)

Teorema\(9.8\)

Si\(G\) es un grupo cíclico de orden\(n\text{,}\) entonces\(G\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

Prueba

Dejar\(G\) ser un grupo cíclico de orden\(n\) generado por\(a\) y definir un mapa\(\phi : {\mathbb Z}_n \rightarrow G\) por\(\phi : k \mapsto a^k\text{,}\) donde\(0 \leq k \lt n\text{.}\) La prueba de que\(\phi\) es un isomorfismo es uno de los ejercicios de fin de capítulo.

Corolario\(9.9\)

Si\(G\) es un grupo de orden\(p\text{,}\) donde\(p\) es un número primo, entonces\(G\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

Prueba

La prueba es resultado directo de Corolario\(6.12\).

El objetivo principal en la teoría de grupos es clasificar a todos los grupos; sin embargo, tiene sentido considerar que dos grupos son iguales si son isomórficos. Declaramos este resultado en el siguiente teorema, cuya prueba se deja como ejercicio.

Teorema\(9.10\)

El isomorfismo de los grupos determina una relación de equivalencia en la clase de todos los grupos

Teorema de Cayley

Cayley demostró que si\(G\) es un grupo, es isomórfico a un grupo de permutaciones en algún conjunto; de ahí que cada grupo sea un grupo de permutación. El teorema de Cayley es lo que llamamos teorema de representación. El objetivo de la teoría de la representación es encontrar un isomorfismo de algún grupo\(G\) que deseamos estudiar en un grupo del que conocemos mucho, como un grupo de permutaciones o matrices.

Ejemplo\(9.11\)

Considera el grupo\({\mathbb Z}_3\text{.}\) La tabla Cayley para\({\mathbb Z}_3\) es la siguiente.

\[ \begin{array}{c|ccc} + & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \nonumber \]

La tabla de adición de\({\mathbb Z}_3\) sugiere que es lo mismo que el grupo de permutación\(G = \{ (0), (0 1 2), (0 2 1) \}\text{.}\)

Solución

El isomorfismo aquí es

\ begin {align*} 0 &\ mapsto\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\ end {pmatrix} = (0)\\ 1 &\ mapsto\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 0\ end {pmatrix} = (0\, 1\, 2)\\ 2 &\ mapsto\ comenzar {pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 1\ end {pmatrix} = (0\, 2\, 1)\ texto {.} \ end {alinear*}

Teorema\(9.12\). Cayley

Cada grupo es isomórfico a un grupo de permutaciones.

Prueba

Seamos\(G\) un grupo. Debemos encontrar un grupo de permutaciones\(\overline{G}\) que sea isomórfico a\(G\text{.}\) Para cualquier\(g \in G\text{,}\) definir una función\(\lambda_g : G \rightarrow G\) por\(\lambda_g(a) = ga\text{.}\) Afirmamos que\(\lambda_g\) es una permutación de\(G\text{.}\) Para mostrar que\(\lambda_g\) es uno-a-uno, supongamos que\(\lambda_g(a) = \lambda_g(b)\text{.}\) Entonces

\[ ga =\lambda_g(a) = \lambda_g(b) = gb\text{.} \nonumber \]

De ahí que,\(a = b\text{.}\) para demostrar que\(\lambda_g\) es sobre, debemos probar que para cada uno\(a \in G\text{,}\) hay\(b\) tal que\(\lambda_g (b) = a\text{.}\) Let\(b = g^{-1} a\text{.}\)

Ahora estamos listos para definir a nuestro grupo\(\overline{G}\text{.}\) Let

\[ \overline{G} = \{ \lambda_g : g \in G \}\text{.} \nonumber \]

Debemos demostrar que\(\overline{G}\) es un grupo bajo composición de funciones y encontrar un isomorfismo entre\(G\) y\(\overline{G}\text{.}\) Tenemos cierre bajo composición de funciones desde

\[ (\lambda_g \circ \lambda_h )(a) = \lambda_g(ha) = gha = \lambda_{gh} (a)\text{.} \nonumber \]

Además,

\[ \lambda_e (a) = ea = a \nonumber \]

y

\[ (\lambda_{g^{-1}} \circ \lambda_g) (a) = \lambda_{g^{-1}} (ga) = g^{-1} g a = a = \lambda_e (a)\text{.} \nonumber \]

Podemos definir un isomorfismo de\(G\) a\(\overline{G}\) por\(\phi : g \mapsto \lambda_g\text{.}\) La operación grupal se conserva desde

\[ \phi(gh) = \lambda_{gh} = \lambda_g \lambda_h = \phi(g) \phi(h)\text{.} \nonumber \]

También es uno a uno, porque si\(\phi(g)(a) = \phi(h)(a)\text{,}\) entonces

\[ ga = \lambda_g a = \lambda_h a= ha\text{.} \nonumber \]

De ahí,\(g = h\text{.}\) Eso\(\phi\) es sobre se deduce del hecho de que\(\phi( g ) = \lambda_g\) para cualquier\(\lambda_g \in \overline{G}\text{.}\)

El isomorfismo\(g \mapsto \lambda_g\) se conoce como la representación regular izquierda de\(G\text{.}\)

Nota Histórica

Arthur Cayley nació en Inglaterra en 1821, aunque pasó gran parte de la primera parte de su vida en Rusia, donde su padre era comerciante. Cayley fue educado en Cambridge, donde se llevó el primer Smith's Prize en matemáticas. Abogado durante gran parte de su vida adulta, escribió varios trabajos a principios de los veinte años antes de ingresar a la profesión jurídica a los 25 años. Mientras ejercía la abogacía continuó su investigación matemática, escribiendo más de 300 artículos durante este periodo de su vida. Estos incluyeron algunos de sus mejores trabajos. En 1863 dejó derecho para convertirse en profesor en Cambridge. Cayley escribió más de 900 artículos en campos como la teoría de grupos, la geometría y el álgebra lineal. Su conocimiento jurídico era muy valioso para Cambridge; participó en la redacción de muchos de los estatutos de la universidad. Cayley también fue una de las personas encargadas de la admisión de mujeres a Cambridge.