9.4: Ejercicios

1

Demostrar que\(\mathbb Z \cong n \mathbb Z\) para\(n \neq 0\text{.}\)

2

Demostrar que\({\mathbb C}^\ast\) es isomórfico al subgrupo de\(GL_2( {\mathbb R} )\) que consiste en matrices de la forma

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]

3

Demostrar o desacreditar:\(U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\)

4

Demostrar que\(U(8)\) es isomórfico al grupo de matrices

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]

5

Demostrar que\(U(5)\) es isomórfico\(U(10)\text{,}\) pero no lo\(U(12)\) es.

6

Demostrar que\(n\) las raíces de la unidad son isomórficas para\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

7

Mostrar que cualquier grupo cíclico de orden\(n\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

8

Demostrar que no\({\mathbb Q}\) es isomórfico\({\mathbb Z}\text{.}\)

9

Dejar\(G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) y definir una operación binaria on\(G\) by

\[ a \ast b = a + b + ab\text{.} \nonumber \]

Demostrar que\(G\) es un grupo bajo esta operación. Demostrar que\((G, *)\) es isomórfico al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero.

10

Demostrar que las matrices

\ begin {align*}\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1\ end {pmatrix}\\\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\ end {pmatrix}\ end {pmatrix} alinear*}

formar un grupo. Encuentra un isomorfismo de\(G\) con un grupo de orden más familiar\(6\text{.}\)

11

Encuentra cinco grupos no isomórficos de orden\(8\text{.}\)

12

Demostrar no\(S_4\) es isomórfico a\(D_{12}\text{.}\)

13

Seamos\(\omega = \operatorname{cis}(2 \pi /n)\) una primitiva raíz\(n\) th de la unidad. Demostrar que las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega^{-1} \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \nonumber \]

generar un grupo multiplicativo isomórfico para\(D_n\text{.}\)

14

Mostrar que el conjunto de todas las matrices de la forma

\[ \begin{pmatrix} \pm 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

es un grupo isomórfico al\(D_n\text{,}\) que todas las entradas en la matriz están en\({\mathbb Z}_n\text{.}\)

15

Listar todos los elementos de\({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)

16

Encuentra el orden de cada uno de los siguientes elementos.

1. \((3, 4)\)en\({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_6\)
2. \((6, 15, 4)\)en\({\mathbb Z}_{30} \times {\mathbb Z}_{45} \times {\mathbb Z}_{24}\)
3. \((5, 10, 15)\)en\({\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25}\)
4. \((8, 8, 8)\)en\({\mathbb Z}_{10} \times {\mathbb Z}_{24} \times {\mathbb Z}_{80}\)

17

Demostrar que\(D_4\) no puede ser producto directo interno de dos de sus propios subgrupos.

18

Demostrar que el subgrupo de\({\mathbb Q}^\ast\) que consiste en elementos de la forma\(2^m 3^n\) para\(m,n \in {\mathbb Z}\) es un producto interno directo isomórfico a\({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)

19

Demostrar que\(S_3 \times {\mathbb Z}_2\) es isomórfico para ¿\(D_6\text{.}\)Puedes hacer una conjetura sobre\(D_{2n}\text{?}\) Demuestra tu conjetura?.

20

Demostrar o desmentir: Cada grupo abeliano de orden divisible por\(3\) contiene un subgrupo de orden\(3\text{.}\)

21

Demostrar o desacreditar: Cada grupo no abeliano de orden divisible por 6 contiene un subgrupo de orden\(6\text{.}\)

22

Dejar\(G\) ser un grupo de orden\(20\text{.}\) Si\(G\) tiene subgrupos\(H\) y\(K\) de órdenes\(4\) y\(5\) respectivamente tal que\(hk = kh\) para todos\(h \in H\) y\(k \in K\text{,}\) demostrar que\(G\) es el producto directo interno de\(H\) y\(K\text{.}\)

23

Demostrar o desacreditar la siguiente aseveración. Dejar\(G\text{,}\)\(H\text{,}\) y\(K\) ser grupos. Si\(G \times K \cong H \times K\text{,}\) entonces\(G \cong H\text{.}\)

24

Demostrar o desmentir: Hay un grupo abeliano no cíclico de orden\(51\text{.}\)

25

Demostrar o desmentir: Hay un grupo abeliano no cíclico de orden\(52\text{.}\)

26

Dejar\(\phi : G \rightarrow H\) ser un isomorfismo grupal. Demostrar que\(\phi( x) = e_H\) si y sólo si\(x=e_G\text{,}\) donde\(e_G\) y\(e_H\) son las identidades de\(G\) y\(H\text{,}\) respectivamente.

27

Vamos\(G \cong H\text{.}\) Mostrar que si\(G\) es cíclico, entonces también lo es\(H\text{.}\)

28

Demostrar que cualquier grupo\(G\) de orden\(p\text{,}\)\(p\) prime, debe ser isomórfico para\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

29

Demostrar que\(S_n\) es isomórfico a un subgrupo de\(A_{n+2}\text{.}\)

30

Demostrar que\(D_n\) es isomórfico a un subgrupo de\(S_n\text{.}\)

31

Dejar\(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) y\(\psi : G_2 \rightarrow G_3\) ser isomorfismos. Demostrar eso\(\phi^{-1}\) y ambos\(\psi \circ \phi\) son isomorfismos. Mediante estos resultados, se demuestra que el isomorfismo de los grupos determina una relación de equivalencia sobre la clase de todos los grupos.

32

Demostrar ¿\(U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\)Se puede generalizar este resultado para\(U(p)\text{,}\) donde\(p\) es prime?

33

Escriba las permutaciones asociadas a cada elemento de\(S_3\) en la prueba del Teorema de Cayley.

34

Un automorfismo de un grupo\(G\) es un isomorfismo consigo mismo. Demostrar que la conjugación compleja es un automorfismo del grupo aditivo de números complejos; es decir, mostrar que el mapa\(\phi( a + bi ) = a - bi\) es un isomorfismo de\({\mathbb C}\) a\({\mathbb C}\text{.}\)

35

Demostrar que\(a + ib \mapsto a - ib\) es un automorfismo de\({\mathbb C}^*\text{.}\)

36

Demostrar que\(A \mapsto B^{-1}AB\) es un automorfismo de\(SL_2({\mathbb R})\) para todos\(B\) en\(GL_2({\mathbb R})\text{.}\)

37

Denotaremos el conjunto de todos los automorfismos de\(G\) por\(\aut(G)\text{.}\) Prove que\(\aut(G)\) es un subgrupo\(S_G\text{,}\) del grupo de permutaciones de\(G\text{.}\)

38

Encuentra\(\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}\)

39

Encuentra\(\aut( {\mathbb Z})\text{.}\)

40

Encuentra dos grupos no isomórficos\(G\) y\(H\) tal que\(\aut(G) \cong \aut(H)\text{.}\)

41

\(G\)Sea un grupo y\(g \in G\text{.}\) Defina un mapa\(i_g : G \rightarrow G\) por\(i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}\) Prove que\(i_g\) define un automorfismo de\(G\text{.}\) Tal automorfismo se llama un automorfismo i nner. El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por\(\inn(G)\text{.}\)

42

Demostrar que\(\inn(G)\) es un subgrupo de\(\aut(G)\text{.}\)

43

¿Cuáles son los automorfismos internos del grupo cuaternión\(Q_8\text{?}\) Es\(\inn(G) = \aut(G)\) en este caso?

44

Dejar\(G\) ser un grupo y\(g \in G\text{.}\) Definir mapas\(\lambda_g :G \rightarrow G\) y\(\rho_g :G \rightarrow G\) por\(\lambda_g(x) = gx\) y\(\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}\) Mostrar que\(i_g = \rho_g \circ \lambda_g\) es un automorfismo de\(G\text{.}\) El isomorfismo\(g \mapsto \rho_g\) se llama la representación regular correcta de\(G\text{.}\)

45

Dejar\(G\) ser el producto directo interno de los subgrupos\(H\) y\(K\text{.}\) Mostrar que el mapa\(\phi : G \rightarrow H \times K\) definido por\(\phi(g) = (h,k)\) para\(g =hk\text{,}\) donde\(h \in H\) y\(k \in K\text{,}\) es uno a uno y sobre.

46

Dejar\(G\) y\(H\) ser grupos isomórficos. Si\(G\) tiene un subgrupo de orden\(n\text{,}\) probar que también\(H\) debe tener un subgrupo de orden\(n\text{.}\)

47

Si\(G \cong \overline{G}\) y\(H \cong \overline{H}\text{,}\) mostrar que\(G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}\)

48

Demostrar que\(G \times H\) es isomórfico\(H \times G\text{.}\)

49

Dejar\(n_1, \ldots, n_k\) ser enteros positivos. Demostrar que

\[ \prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k} \nonumber \]

si y solo si\(\gcd( n_i, n_j) =1\) por\(i \neq j\text{.}\)

50

Demostrar que\(A \times B\) es abeliano si y sólo si\(A\) y\(B\) son abelianos.

51

Si\(G\) es el producto directo interno de\(H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}\) probar que\(G\) es isomorfo a\(\prod_i H_i\text{.}\)

52

Dejar\(H_1\) y\(H_2\) ser subgrupos de\(G_1\) y\(G_2\text{,}\) respectivamente. Demostrar que\(H_1 \times H_2\) es un subgrupo de\(G_1 \times G_2\text{.}\)

53

Vamos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Demostrar que\(\langle m,n \rangle = \langle d \rangle\) si y sólo si\(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

54

Vamos\(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Demostrar que\(\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle\) si y sólo si\(l = \lcm(m,n)\text{.}\)

55. Grupos de orden\(2p\)

En esta serie de ejercicios clasificaremos todos los grupos de orden\(2p\text{,}\) donde\(p\) es un primo impar.

1. Supongamos que\(G\) es un grupo de orden\(2p\text{,}\) donde\(p\) es un primo impar. Si\(a \in G\text{,}\) muestra que\(a\) debe tener orden\(1\text{,}\)\(2\text{,}\)\(p\text{,}\) o\(2p\text{.}\)
2. Supongamos que\(G\) tiene un elemento de orden\(2p\text{.}\) Demostrar que\(G\) es isomórfico a\({\mathbb Z}_{2p}\text{.}\) Por lo tanto,\(G\) es cíclico.
3. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\text{.}\) Mostrar que\(G\) debe contener un elemento de orden\(p\text{.}\) Pista: Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(p\text{.}\)
4. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\text{.}\) Mostrar que\(G\) debe contener un elemento de orden\(2\text{.}\)
5. Dejar\(P\) ser un subgrupo de\(G\) con orden\(p\) y\(y \in G\) tener orden\(2\text{.}\) Mostrar eso\(yP = Py\text{.}\)
6. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\) y\(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden\(p\) generado por\(z\text{.}\) If\(y\) es un elemento de orden\(2\text{,}\) entonces\(yz = z^ky\) para algunos\(2 \leq k \lt p\text{.}\)
7. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\text{.}\) Demostrar que no\(G\) es abeliano.
8. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\) y\(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden\(p\) generado por\(z\) y\(y\) es un elemento de orden\(2\text{.}\) Mostrar que podemos enumerar los elementos de\(G\) como\(\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}\)
9. Supongamos que\(G\) no contiene un elemento de orden\(2p\) y\(P = \langle z \rangle\) es un subgrupo de orden\(p\) generado por\(z\) y\(y\) es un elemento de orden\(2\text{.}\) Demostrar que el producto\((z^iy^j)(z^ry^s)\) puede expresarse como unívocamente como\(z^m y^n\) para algunos enteros no negativos \(m, n\text{.}\)Así, concluimos que solo hay una posibilidad para un grupo no abeliano de orden\(2p\text{,}\), por lo tanto, debe ser el que ya hemos visto, el grupo diedro.