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# 9.4: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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## 1

Demostrar que$$\mathbb Z \cong n \mathbb Z$$ para$$n \neq 0\text{.}$$

## 2

Demostrar que$${\mathbb C}^\ast$$ es isomórfico al subgrupo de$$GL_2( {\mathbb R} )$$ que consiste en matrices de la forma

$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

## 3

Demostrar o desacreditar:$$U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}$$

## 4

Demostrar que$$U(8)$$ es isomórfico al grupo de matrices

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

## 5

Demostrar que$$U(5)$$ es isomórfico$$U(10)\text{,}$$ pero no lo$$U(12)$$ es.

## 6

Demostrar que$$n$$ las raíces de la unidad son isomórficas para$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 7

Mostrar que cualquier grupo cíclico de orden$$n$$ es isomórfico a$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 8

Demostrar que no$${\mathbb Q}$$ es isomórfico$${\mathbb Z}\text{.}$$

## 9

Dejar$$G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}$$ y definir una operación binaria on$$G$$ by

$a \ast b = a + b + ab\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$G$$ es un grupo bajo esta operación. Demostrar que$$(G, *)$$ es isomórfico al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero.

## 10

Demostrar que las matrices

\ begin {align*}\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1\ end {pmatrix}\\\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\ end {pmatrix}\ quad\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\ end {pmatrix}\ end {pmatrix} alinear*}

formar un grupo. Encuentra un isomorfismo de$$G$$ con un grupo de orden más familiar$$6\text{.}$$

## 11

Encuentra cinco grupos no isomórficos de orden$$8\text{.}$$

## 12

Demostrar no$$S_4$$ es isomórfico a$$D_{12}\text{.}$$

## 13

Seamos$$\omega = \operatorname{cis}(2 \pi /n)$$ una primitiva raíz$$n$$ th de la unidad. Demostrar que las matrices

$A = \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega^{-1} \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \nonumber$

generar un grupo multiplicativo isomórfico para$$D_n\text{.}$$

## 14

Mostrar que el conjunto de todas las matrices de la forma

$\begin{pmatrix} \pm 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

es un grupo isomórfico al$$D_n\text{,}$$ que todas las entradas en la matriz están en$${\mathbb Z}_n\text{.}$$

## 15

Listar todos los elementos de$${\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}$$

## 16

Encuentra el orden de cada uno de los siguientes elementos.

1. $$(3, 4)$$en$${\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_6$$
2. $$(6, 15, 4)$$en$${\mathbb Z}_{30} \times {\mathbb Z}_{45} \times {\mathbb Z}_{24}$$
3. $$(5, 10, 15)$$en$${\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25}$$
4. $$(8, 8, 8)$$en$${\mathbb Z}_{10} \times {\mathbb Z}_{24} \times {\mathbb Z}_{80}$$

## 17

Demostrar que$$D_4$$ no puede ser producto directo interno de dos de sus propios subgrupos.

## 18

Demostrar que el subgrupo de$${\mathbb Q}^\ast$$ que consiste en elementos de la forma$$2^m 3^n$$ para$$m,n \in {\mathbb Z}$$ es un producto interno directo isomórfico a$${\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}$$

## 19

Demostrar que$$S_3 \times {\mathbb Z}_2$$ es isomórfico para ¿$$D_6\text{.}$$Puedes hacer una conjetura sobre$$D_{2n}\text{?}$$ Demuestra tu conjetura?.

## 20

Demostrar o desmentir: Cada grupo abeliano de orden divisible por$$3$$ contiene un subgrupo de orden$$3\text{.}$$

## 21

Demostrar o desacreditar: Cada grupo no abeliano de orden divisible por 6 contiene un subgrupo de orden$$6\text{.}$$

## 22

Dejar$$G$$ ser un grupo de orden$$20\text{.}$$ Si$$G$$ tiene subgrupos$$H$$ y$$K$$ de órdenes$$4$$ y$$5$$ respectivamente tal que$$hk = kh$$ para todos$$h \in H$$ y$$k \in K\text{,}$$ demostrar que$$G$$ es el producto directo interno de$$H$$ y$$K\text{.}$$

## 23

Demostrar o desacreditar la siguiente aseveración. Dejar$$G\text{,}$$$$H\text{,}$$ y$$K$$ ser grupos. Si$$G \times K \cong H \times K\text{,}$$ entonces$$G \cong H\text{.}$$

## 24

Demostrar o desmentir: Hay un grupo abeliano no cíclico de orden$$51\text{.}$$

## 25

Demostrar o desmentir: Hay un grupo abeliano no cíclico de orden$$52\text{.}$$

## 26

Dejar$$\phi : G \rightarrow H$$ ser un isomorfismo grupal. Demostrar que$$\phi( x) = e_H$$ si y sólo si$$x=e_G\text{,}$$ donde$$e_G$$ y$$e_H$$ son las identidades de$$G$$ y$$H\text{,}$$ respectivamente.

## 27

Vamos$$G \cong H\text{.}$$ Mostrar que si$$G$$ es cíclico, entonces también lo es$$H\text{.}$$

## 28

Demostrar que cualquier grupo$$G$$ de orden$$p\text{,}$$$$p$$ prime, debe ser isomórfico para$${\mathbb Z}_p\text{.}$$

## 29

Demostrar que$$S_n$$ es isomórfico a un subgrupo de$$A_{n+2}\text{.}$$

## 30

Demostrar que$$D_n$$ es isomórfico a un subgrupo de$$S_n\text{.}$$

## 31

Dejar$$\phi : G_1 \rightarrow G_2$$ y$$\psi : G_2 \rightarrow G_3$$ ser isomorfismos. Demostrar eso$$\phi^{-1}$$ y ambos$$\psi \circ \phi$$ son isomorfismos. Mediante estos resultados, se demuestra que el isomorfismo de los grupos determina una relación de equivalencia sobre la clase de todos los grupos.

## 32

Demostrar ¿$$U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}$$Se puede generalizar este resultado para$$U(p)\text{,}$$ donde$$p$$ es prime?

## 33

Escriba las permutaciones asociadas a cada elemento de$$S_3$$ en la prueba del Teorema de Cayley.

## 34

Un automorfismo de un grupo$$G$$ es un isomorfismo consigo mismo. Demostrar que la conjugación compleja es un automorfismo del grupo aditivo de números complejos; es decir, mostrar que el mapa$$\phi( a + bi ) = a - bi$$ es un isomorfismo de$${\mathbb C}$$ a$${\mathbb C}\text{.}$$

## 35

Demostrar que$$a + ib \mapsto a - ib$$ es un automorfismo de$${\mathbb C}^*\text{.}$$

## 36

Demostrar que$$A \mapsto B^{-1}AB$$ es un automorfismo de$$SL_2({\mathbb R})$$ para todos$$B$$ en$$GL_2({\mathbb R})\text{.}$$

## 37

Denotaremos el conjunto de todos los automorfismos de$$G$$ por$$\aut(G)\text{.}$$ Prove que$$\aut(G)$$ es un subgrupo$$S_G\text{,}$$ del grupo de permutaciones de$$G\text{.}$$

## 38

Encuentra$$\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}$$

## 39

Encuentra$$\aut( {\mathbb Z})\text{.}$$

## 40

Encuentra dos grupos no isomórficos$$G$$ y$$H$$ tal que$$\aut(G) \cong \aut(H)\text{.}$$

## 41

$$G$$Sea un grupo y$$g \in G\text{.}$$ Defina un mapa$$i_g : G \rightarrow G$$ por$$i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}$$ Prove que$$i_g$$ define un automorfismo de$$G\text{.}$$ Tal automorfismo se llama un automorfismo i nner. El conjunto de todos los automorfismos internos se denota por$$\inn(G)\text{.}$$

## 42

Demostrar que$$\inn(G)$$ es un subgrupo de$$\aut(G)\text{.}$$

## 43

¿Cuáles son los automorfismos internos del grupo cuaternión$$Q_8\text{?}$$ Es$$\inn(G) = \aut(G)$$ en este caso?

## 44

Dejar$$G$$ ser un grupo y$$g \in G\text{.}$$ Definir mapas$$\lambda_g :G \rightarrow G$$ y$$\rho_g :G \rightarrow G$$ por$$\lambda_g(x) = gx$$ y$$\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}$$ Mostrar que$$i_g = \rho_g \circ \lambda_g$$ es un automorfismo de$$G\text{.}$$ El isomorfismo$$g \mapsto \rho_g$$ se llama la representación regular correcta de$$G\text{.}$$

## 45

Dejar$$G$$ ser el producto directo interno de los subgrupos$$H$$ y$$K\text{.}$$ Mostrar que el mapa$$\phi : G \rightarrow H \times K$$ definido por$$\phi(g) = (h,k)$$ para$$g =hk\text{,}$$ donde$$h \in H$$ y$$k \in K\text{,}$$ es uno a uno y sobre.

## 46

Dejar$$G$$ y$$H$$ ser grupos isomórficos. Si$$G$$ tiene un subgrupo de orden$$n\text{,}$$ probar que también$$H$$ debe tener un subgrupo de orden$$n\text{.}$$

## 47

Si$$G \cong \overline{G}$$ y$$H \cong \overline{H}\text{,}$$ mostrar que$$G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}$$

## 48

Demostrar que$$G \times H$$ es isomórfico$$H \times G\text{.}$$

## 49

Dejar$$n_1, \ldots, n_k$$ ser enteros positivos. Demostrar que

$\prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k} \nonumber$

si y solo si$$\gcd( n_i, n_j) =1$$ por$$i \neq j\text{.}$$

## 50

Demostrar que$$A \times B$$ es abeliano si y sólo si$$A$$ y$$B$$ son abelianos.

## 51

Si$$G$$ es el producto directo interno de$$H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}$$ probar que$$G$$ es isomorfo a$$\prod_i H_i\text{.}$$

## 52

Dejar$$H_1$$ y$$H_2$$ ser subgrupos de$$G_1$$ y$$G_2\text{,}$$ respectivamente. Demostrar que$$H_1 \times H_2$$ es un subgrupo de$$G_1 \times G_2\text{.}$$

## 53

Vamos$$m, n \in {\mathbb Z}\text{.}$$ Demostrar que$$\langle m,n \rangle = \langle d \rangle$$ si y sólo si$$d = \gcd(m,n)\text{.}$$

## 54

Vamos$$m, n \in {\mathbb Z}\text{.}$$ Demostrar que$$\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle$$ si y sólo si$$l = \lcm(m,n)\text{.}$$

## 55. Grupos de orden$$2p$$

En esta serie de ejercicios clasificaremos todos los grupos de orden$$2p\text{,}$$ donde$$p$$ es un primo impar.

1. Supongamos que$$G$$ es un grupo de orden$$2p\text{,}$$ donde$$p$$ es un primo impar. Si$$a \in G\text{,}$$ muestra que$$a$$ debe tener orden$$1\text{,}$$$$2\text{,}$$$$p\text{,}$$ o$$2p\text{.}$$
2. Supongamos que$$G$$ tiene un elemento de orden$$2p\text{.}$$ Demostrar que$$G$$ es isomórfico a$${\mathbb Z}_{2p}\text{.}$$ Por lo tanto,$$G$$ es cíclico.
3. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p\text{.}$$ Mostrar que$$G$$ debe contener un elemento de orden$$p\text{.}$$ Pista: Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$p\text{.}$$
4. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p\text{.}$$ Mostrar que$$G$$ debe contener un elemento de orden$$2\text{.}$$
5. Dejar$$P$$ ser un subgrupo de$$G$$ con orden$$p$$ y$$y \in G$$ tener orden$$2\text{.}$$ Mostrar eso$$yP = Py\text{.}$$
6. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p$$ y$$P = \langle z \rangle$$ es un subgrupo de orden$$p$$ generado por$$z\text{.}$$ If$$y$$ es un elemento de orden$$2\text{,}$$ entonces$$yz = z^ky$$ para algunos$$2 \leq k \lt p\text{.}$$
7. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p\text{.}$$ Demostrar que no$$G$$ es abeliano.
8. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p$$ y$$P = \langle z \rangle$$ es un subgrupo de orden$$p$$ generado por$$z$$ y$$y$$ es un elemento de orden$$2\text{.}$$ Mostrar que podemos enumerar los elementos de$$G$$ como$$\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}$$
9. Supongamos que$$G$$ no contiene un elemento de orden$$2p$$ y$$P = \langle z \rangle$$ es un subgrupo de orden$$p$$ generado por$$z$$ y$$y$$ es un elemento de orden$$2\text{.}$$ Demostrar que el producto$$(z^iy^j)(z^ry^s)$$ puede expresarse como unívocamente como$$z^m y^n$$ para algunos enteros no negativos $$m, n\text{.}$$Así, concluimos que solo hay una posibilidad para un grupo no abeliano de orden$$2p\text{,}$$, por lo tanto, debe ser el que ya hemos visto, el grupo diedro.

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