10.4: Ejercicios
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Para cada uno de los siguientes grupos\(G\text{,}\) determinar si\(H\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Si\(H\) es un subgrupo normal, escriba una tabla Cayley para el grupo de factores\(G/H\text{.}\)
- \(G = S_4\)y\(H = A_4\)
- \(G = A_5\)y\(H = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
- \(G = S_4\)y\(H = D_4\)
- \(G = Q_8\)y\(H = \{ 1, -1, I, -I \}\)
- \(G = {\mathbb Z}\)y\(H = 5 {\mathbb Z}\)
Encuentra todos los subgrupos de\(D_4\text{.}\) ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de\(D_4\) hasta el isomorfismo?
Encuentra todos los subgrupos del grupo cuaternión,\(Q_8\text{.}\) ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de\(Q_8\) hasta el isomorfismo?
Dejar\(T\) ser el grupo de\(2 \times 2\) matrices triangulares superiores no singulares con entradas en es\({\mathbb R}\text{;}\) decir, matrices de la forma
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]
donde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c \in {\mathbb R}\) y\(ac \neq 0\text{.}\) Let\(U\) constan de matrices de la forma
\[ \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]
donde\(x \in {\mathbb R}\text{.}\)
- Demostrar que\(U\) es un subgrupo de\(T\text{.}\)
- Demostrar que\(U\) es abeliano.
- Demostrar que\(U\) es normal en\(T\text{.}\)
- Demostrar que\(T/U\) es abeliano.
- Es\(T\) normal en\(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)
Mostrar que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.
Si\(G\) es abeliano, demostrar que también\(G/H\) debe ser abeliano.
Demostrar o desmentir: Si\(H\) es un subgrupo normal de\(G\) tales que\(H\) y\(G/H\) son abelianos, entonces\(G\) es abeliano.
Si\(G\) es cíclico, demostrar que también\(G/H\) debe ser cíclico.
Demostrar o desmentir: Si\(H\) y\(G/H\) son cíclicos, entonces\(G\) es cíclico.
Dejar\(H\) ser un subgrupo de índice\(2\) de un grupo\(G\text{.}\) Demostrar que\(H\) debe ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Concluir que no\(S_n\) es sencillo para\(n \geq 3\text{.}\)
Si un grupo\(G\) tiene exactamente un subgrupo\(H\) de orden\(k\text{,}\) demostrar que\(H\) es normal en\(G\text{.}\)
Definir el centralizador de un elemento\(g\) en un grupo\(G\) para que sea el conjunto
\[ C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}\text{.} \nonumber \]
Mostrar que\(C(g)\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) Si\(g\) genera un subgrupo normal de\(G\text{,}\) probar que\(C(g)\) es normal en\(G\text{.}\)
Recordemos que el centro de un grupo\(G\) es el conjunto
\[ Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ for all } g \in G \}\text{.} \nonumber \]
- Calcular el centro de\(S_3\text{.}\)
- Calcular el centro de\(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)
- Demostrar que el centro de cualquier grupo\(G\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
- Si\(G / Z(G)\) es cíclico, muestra que\(G\) es abeliano.
Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) que sea,\(G'\) es el subgrupo de todos los productos finitos\(G\) de elementos en de\(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) la forma El subgrupo\(G'\) se llama el subgrupo conmutador de\(G\text{.}\)
- Demostrar que\(G'\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
- Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Prove que\(G/N\) es abeliano si y solo si\(N\) contiene el subgrupo de conmutador de\(G\text{.}\)