10.4: Ejercicios

1

Para cada uno de los siguientes grupos\(G\text{,}\) determinar si\(H\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Si\(H\) es un subgrupo normal, escriba una tabla Cayley para el grupo de factores\(G/H\text{.}\)

1. \(G = S_4\)y\(H = A_4\)
2. \(G = A_5\)y\(H = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
3. \(G = S_4\)y\(H = D_4\)
4. \(G = Q_8\)y\(H = \{ 1, -1, I, -I \}\)
5. \(G = {\mathbb Z}\)y\(H = 5 {\mathbb Z}\)

2

Encuentra todos los subgrupos de\(D_4\text{.}\) ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de\(D_4\) hasta el isomorfismo?

3

Encuentra todos los subgrupos del grupo cuaternión,\(Q_8\text{.}\) ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de\(Q_8\) hasta el isomorfismo?

4

Dejar\(T\) ser el grupo de\(2 \times 2\) matrices triangulares superiores no singulares con entradas en es\({\mathbb R}\text{;}\) decir, matrices de la forma

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

donde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c \in {\mathbb R}\) y\(ac \neq 0\text{.}\) Let\(U\) constan de matrices de la forma

\[ \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

donde\(x \in {\mathbb R}\text{.}\)

1. Demostrar que\(U\) es un subgrupo de\(T\text{.}\)
2. Demostrar que\(U\) es abeliano.
3. Demostrar que\(U\) es normal en\(T\text{.}\)
4. Demostrar que\(T/U\) es abeliano.
5. Es\(T\) normal en\(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)

5

Mostrar que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.

6

Si\(G\) es abeliano, demostrar que también\(G/H\) debe ser abeliano.

7

Demostrar o desmentir: Si\(H\) es un subgrupo normal de\(G\) tales que\(H\) y\(G/H\) son abelianos, entonces\(G\) es abeliano.

8

Si\(G\) es cíclico, demostrar que también\(G/H\) debe ser cíclico.

9

Demostrar o desmentir: Si\(H\) y\(G/H\) son cíclicos, entonces\(G\) es cíclico.

10

Dejar\(H\) ser un subgrupo de índice\(2\) de un grupo\(G\text{.}\) Demostrar que\(H\) debe ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Concluir que no\(S_n\) es sencillo para\(n \geq 3\text{.}\)

11

Si un grupo\(G\) tiene exactamente un subgrupo\(H\) de orden\(k\text{,}\) demostrar que\(H\) es normal en\(G\text{.}\)

12

Definir el centralizador de un elemento\(g\) en un grupo\(G\) para que sea el conjunto

\[ C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}\text{.} \nonumber \]

Mostrar que\(C(g)\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) Si\(g\) genera un subgrupo normal de\(G\text{,}\) probar que\(C(g)\) es normal en\(G\text{.}\)

13

Recordemos que el centro de un grupo\(G\) es el conjunto

\[ Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ for all } g \in G \}\text{.} \nonumber \]

1. Calcular el centro de\(S_3\text{.}\)
2. Calcular el centro de\(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)
3. Demostrar que el centro de cualquier grupo\(G\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
4. Si\(G / Z(G)\) es cíclico, muestra que\(G\) es abeliano.

14

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) que sea,\(G'\) es el subgrupo de todos los productos finitos\(G\) de elementos en de\(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) la forma El subgrupo\(G'\) se llama el subgrupo conmutador de\(G\text{.}\)

1. Demostrar que\(G'\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)
2. Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\) Prove que\(G/N\) es abeliano si y solo si\(N\) contiene el subgrupo de conmutador de\(G\text{.}\)