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# 10.4: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## 1

Para cada uno de los siguientes grupos$$G\text{,}$$ determinar si$$H$$ es un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Si$$H$$ es un subgrupo normal, escriba una tabla Cayley para el grupo de factores$$G/H\text{.}$$

1. $$G = S_4$$y$$H = A_4$$
2. $$G = A_5$$y$$H = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}$$
3. $$G = S_4$$y$$H = D_4$$
4. $$G = Q_8$$y$$H = \{ 1, -1, I, -I \}$$
5. $$G = {\mathbb Z}$$y$$H = 5 {\mathbb Z}$$

## 2

Encuentra todos los subgrupos de$$D_4\text{.}$$ ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de$$D_4$$ hasta el isomorfismo?

## 3

Encuentra todos los subgrupos del grupo cuaternión,$$Q_8\text{.}$$ ¿Qué subgrupos son normales? ¿Cuáles son todos los grupos factoriales de$$Q_8$$ hasta el isomorfismo?

## 4

Dejar$$T$$ ser el grupo de$$2 \times 2$$ matrices triangulares superiores no singulares con entradas en es$${\mathbb R}\text{;}$$ decir, matrices de la forma

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

donde$$a\text{,}$$$$b\text{,}$$$$c \in {\mathbb R}$$ y$$ac \neq 0\text{.}$$ Let$$U$$ constan de matrices de la forma

$\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

donde$$x \in {\mathbb R}\text{.}$$

1. Demostrar que$$U$$ es un subgrupo de$$T\text{.}$$
2. Demostrar que$$U$$ es abeliano.
3. Demostrar que$$U$$ es normal en$$T\text{.}$$
4. Demostrar que$$T/U$$ es abeliano.
5. Es$$T$$ normal en$$GL_2( {\mathbb R})\text{?}$$

## 5

Mostrar que la intersección de dos subgrupos normales es un subgrupo normal.

## 6

Si$$G$$ es abeliano, demostrar que también$$G/H$$ debe ser abeliano.

## 7

Demostrar o desmentir: Si$$H$$ es un subgrupo normal de$$G$$ tales que$$H$$ y$$G/H$$ son abelianos, entonces$$G$$ es abeliano.

## 8

Si$$G$$ es cíclico, demostrar que también$$G/H$$ debe ser cíclico.

## 9

Demostrar o desmentir: Si$$H$$ y$$G/H$$ son cíclicos, entonces$$G$$ es cíclico.

## 10

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de índice$$2$$ de un grupo$$G\text{.}$$ Demostrar que$$H$$ debe ser un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Concluir que no$$S_n$$ es sencillo para$$n \geq 3\text{.}$$

## 11

Si un grupo$$G$$ tiene exactamente un subgrupo$$H$$ de orden$$k\text{,}$$ demostrar que$$H$$ es normal en$$G\text{.}$$

## 12

Definir el centralizador de un elemento$$g$$ en un grupo$$G$$ para que sea el conjunto

$C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}\text{.} \nonumber$

Mostrar que$$C(g)$$ es un subgrupo de$$G\text{.}$$ Si$$g$$ genera un subgrupo normal de$$G\text{,}$$ probar que$$C(g)$$ es normal en$$G\text{.}$$

## 13

Recordemos que el centro de un grupo$$G$$ es el conjunto

$Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ for all } g \in G \}\text{.} \nonumber$

1. Calcular el centro de$$S_3\text{.}$$
2. Calcular el centro de$$GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}$$
3. Demostrar que el centro de cualquier grupo$$G$$ es un subgrupo normal de$$G\text{.}$$
4. Si$$G / Z(G)$$ es cíclico, muestra que$$G$$ es abeliano.

## 14

Dejar$$G$$ ser un grupo y dejar$$G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}$$ que sea,$$G'$$ es el subgrupo de todos los productos finitos$$G$$ de elementos en de$$aba^{-1}b^{-1}\text{.}$$ la forma El subgrupo$$G'$$ se llama el subgrupo conmutador de$$G\text{.}$$

1. Demostrar que$$G'$$ es un subgrupo normal de$$G\text{.}$$
2. Dejar$$N$$ ser un subgrupo normal de$$G\text{.}$$ Prove que$$G/N$$ es abeliano si y solo si$$N$$ contiene el subgrupo de conmutador de$$G\text{.}$$

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