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10.5: Salvia

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    Sage tiene varias funciones convenientes que nos permitirán investigar rápidamente si un subgrupo es normal, y si es así, la naturaleza del grupo cociente resultante. Pero para una comprensión inicial, también podemos trabajar con los cosets crudos. Primero ensuciémonos las manos, luego aprendamos de la manera más fácil.

    Multiplicar Cosets

    La definición de un grupo factorial requiere un subgrupo normal, y luego definimos una forma de “multiplicar” dos coconjuntos del subgrupo para producir otro coconjunto. Es importante darnos cuenta de que podemos interpretar la definición de un subgrupo normal para que sea exactamente la condición que necesitamos para que nuestra nueva multiplicación sea viable. Haremos dos ejemplos —primero con un subgrupo normal, luego con un subgrupo que no es normal.

    Consideremos el grupo diedro\(D_{8}\) que es el grupo de simetría de un\(8\) -gon. Si tomamos el elemento que crea un cuarto de vuelta, podemos usarlo generar un subgrupo cíclico de orden 4. Este será un subgrupo normal (confíe en nosotros por el momento en esto). Primero, construya los cosets (derecha) (observe que no hay salida):

    Entonces C es una lista de listas, con cada elemento del grupo G ocurriendo exactamente una vez en alguna parte. Podrías pedirle a Sage que imprima C por ti si quieres, pero vamos a tratar de evitarlo aquí. Queremos multiplicar dos cosets (listas) juntos. ¿Cómo hacemos esto? Saca cualquier elemento de la primera lista, y cualquier elemento de la segunda lista y multiplícalos juntos (lo que sabemos hacer ya que son elementos de G). Ahora tenemos un elemento de G. ¿Qué hacemos con este elemento, ya que realmente queremos un coset como resultado del producto de dos cosets? Sencillo — vemos en qué coset se encuentra el producto. Vamos a darle una oportunidad. Multiplicaremos coset\(1\) con coset\(3\) (hay\(4\) cosets según el Teorema de Lagrange). Estudia detenidamente el siguiente código para ver si puedes entender lo que está haciendo, y luego lee la explicación que sigue.

    ¿Qué hemos logrado? En la primera línea creamos p como producto de dos elementos de grupo, uno de coset\(1\) y otro de coset\(3\) (C [1], C [3]). Como podemos elegir cualquier elemento de cada coset, elegimos el primer elemento de cada uno (C [] [0]). Después contamos nuestro camino a través de todos los cosets, seleccionando solo los cosets que contienen p. Dado que p solo estará en un coset, esperamos una lista con solo un elemento. Aquí, nuestra lista de un elemento contiene solo 2. Entonces decimos que el producto de coset\(1\) y coset\(3\) es coset\(2\text{.}\)

    El punto aquí es que este resultado (coset\(1\) times coset\(3\) es coset\(2\)) siempre debe ser el mismo, sin importar qué elementos escojamos de los dos cosets para formar p. Así que volvamos a hacerlo, pero esta vez no vamos a elegir simplemente el primer elemento de cada uno de coset\(1\) y coset\(3\text{,}\) en su lugar elegiremos el tercer elemento de coset\(1\) y el segundo elemento de coset\(3\) (¡recuerden, estamos contando desde cero!).

    Bueno. Tenemos el mismo resultado. Si todavía nos estás confiando en que S sea un subgrupo normal de G, entonces este es el resultado que predice la teoría. Haga una copia de la celda de cómputo anterior y pruebe otras opciones para los representantes de cada coset. Después prueba el producto de otros cosets, con diversos representantes.

    Ahora es un buen momento para introducir una forma de extender Sage y agregar nuevas funciones. Diseñaremos una función de coset-multiplicación. Lea atentamente lo siguiente y luego vea la explicación posterior.

    La primera línea crea una nueva función Sage llamada coset_product. Esto se logra con la palabra def, y anote los dos puntos que terminan la línea. Las entradas a la función son los números de los cosets que queremos multiplicar y la lista completa de los cosets. Las dos líneas del medio deberían parecer familiares desde arriba. Sabemos que c es una lista de un elemento, por lo que c [0] extraerá este número de coset, y return es lo que determina que esta es la salida de la función. Observe que la sangría anterior debe ser exactamente como se muestra. Podríamos haber escrito todo este cómputo en una sola línea sin hacer una nueva función, pero eso comienza a ponerse inmanejablemente. Necesita ejecutar el bloque de código anterior para definir realmente la función, y no habrá salida si tiene éxito. Ahora podemos usar nuestra nueva función para repetir nuestro trabajo anterior:

    Ahora ya conoces los conceptos básicos de cómo agregar a Sage y hacer mucho más de lo que fue diseñado para. Y con algo de práctica, podrías sugerir y aportar nuevas funciones a Sage, ya que se trata de un proyecto de código abierto. Bonito.

    Ahora examinemos una situación en la que el subgrupo no es normal. Entonces veremos que nuestra definición de multiplicación de coset es insuficiente en este caso. Y darse cuenta de que nuestra nueva función coset_product también es inútil ya que asume que los cosets provienen de un subgrupo normal.

    Consideremos el grupo alterno\(A_4\) que podemos intercalar como el grupo de simetría de un tetraedro. Para un subgrupo, tomar un elemento que fija un vértice y gira la cara opuesta — esto generará un subgrupo cíclico de orden 3, y por Teorema de Lagrange obtendremos cuatro coconjuntos. Los calculamos aquí. (Nuevamente, no se solicita salida.)

    Una vez más, consideremos el producto de coset\(1\) y coset\(3\text{:}\)

    De nuevo, pero ahora para coset\(3\text{,}\) elige el segundo elemento del coset para producir el producto p:

    Entonces, es el producto de coset\(1\) y coset\(3\) igual a coset\(0\) o coset ¡No\(2\text{?}\) podemos decirlo! Entonces no hay manera de construir un grupo cociente para este subgrupo. Se puede experimentar un poco más con este subgrupo, pero en cierto sentido, hemos terminado con este ejemplo —no queda nada que decir.

    Métodos de salvia para subgrupos normales

    Puedes preguntarle fácilmente a Sage si un subgrupo es normal o no. Esto es visto como una propiedad del subgrupo, pero debes decirle a Sage cuál es el “supergrupo”, ya que la respuesta puede cambiar dependiendo de este valor. (Por ejemplo H.is_normal (H) siempre será True.) Aquí están nuestros dos ejemplos desde arriba.

    El texto demuestra en la Sección 10.2 que\(A_5\) es simple, es decir, no\(A_5\) tiene subgrupos normales. Podríamos construir cada subgrupo de\(A_5\) y preguntar si es normal en el\(A_5\) uso del método .is_normal (). Pero Sage ya tiene esto cubierto para nosotros.

    También podemos construir un grupo de cocientes cuando tenemos un subgrupo normal.

    Esto es útil, pero también un poco inquietante. Tenemos el grupo cociente, pero se ha perdido cualquier noción de cosets, ya que Q se devuelve como un nuevo grupo de permutación en un conjunto diferente de símbolos. No podemos presumir que los números utilizados para el nuevo grupo de permutaciones Q tengan ningún parecido con los cosets que obtenemos del método .cosets (). Pero podemos ver que el grupo cociente se describe como un grupo generado por dos elementos de orden dos. Podríamos pedir el orden del grupo, o por Teorema de Lagrange sabemos que el cociente tiene orden\(4\text{.}\) Podemos decir ahora que solo hay dos grupos de orden cuatro, el grupo cíclico de orden\(4\) y un grupo no cíclico de orden\(4\text{,}\) conocido por nosotros como el\(4\) grupo Klein o\({\mathbb Z}_2\times{\mathbb Z}_2\text{.}\) Este el grupo cociente se parece al no cíclico ya que el grupo cíclico de orden 4 tiene solo un elemento de orden 2. Veamos qué dice Sage.

    Sí, eso es.

    Finalmente, Sage puede construirnos una lista de todos los subgrupos normales de un grupo. La propia lista de grupos, como hemos visto antes, es a veces una cantidad abrumadora de información. Demostraremos con solo enumerar los pedidos de los subgrupos normales producidos.

    Entonces, en particular, vemos que nuestro subgrupo de “cuarto de turno” es el único subgrupo normal de orden\(4\) en este grupo.


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