11.1: Homomorfismos grupales

Un homomorfismo entre grupos\((G, \cdot)\) y\((H, \circ)\) es un mapa\(\phi :G \rightarrow H\) tal que

\[ \phi( g_1 \cdot g_2 ) = \phi( g_1 ) \circ \phi( g_2 ) \nonumber \]

para\(g_1, g_2 \in G\text{.}\) El rango de\(\phi\) in\(H\) se llama la imagen homomórfica de\(\phi\text{.}\)

Dos grupos se relacionan de la manera más fuerte posible si son isomórficos; sin embargo, puede existir una relación más débil entre dos grupos. Por ejemplo, el grupo simétrico\(S_n\) y el grupo\({\mathbb Z}_2\) están relacionados por el hecho de que se\(S_n\) pueden dividir en permutaciones pares e impares que exhiben una estructura de grupo como la que\({\mathbb Z}_2\text{,}\) se muestra en la siguiente tabla de multiplicación.

\[ \begin{array}{c|cc} & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \text{even} & \text{even} & \text{odd} \\ \text{odd} & \text{odd} & \text{even} \end{array} \nonumber \]

Utilizamos homomorfismos para estudiar relaciones como la que acabamos de describir.

Ejemplo\(11.1\)

Dejar\(G\) ser un grupo y\(g \in G\text{.}\) Definir un mapa\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) por\(\phi( n ) = g^n\text{.}\)

Solución

Entonces\(\phi\) es un homomorfismo grupal, ya que

\[ \phi( m + n ) = g^{ m + n} = g^m g^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \nonumber \]

Este homomorfismo\({\mathbb Z}\) se mapea en el subgrupo cíclico de\(G\) generado por\(g\text{.}\)

Ejemplo\(11.2\)

Dejar\(G = GL_2( {\mathbb R })\text{.}\) Si

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \nonumber \]

está en\(G\text{,}\)

Solución

entonces el determinante es distinto de cero; es decir,\(\det(A) = ad - bc \neq 0\text{.}\) también, para dos elementos cualesquiera\(A\) y\(B\) en\(G\text{,}\)\(\det(AB) = \det(A) \det(B)\text{.}\) Usando el determinante, podemos definir un homomorfismo\(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) mediante\(A \mapsto \det(A)\text{.}\)

Ejemplo\(11.3\)

Recordemos que el grupo círculo\({ \mathbb T}\) consta de todos los números complejos de\(z\) tal manera que\(|z|=1\text{.}\) podemos definir un homomorfismo\(\phi\) desde el grupo aditivo de números reales\({\mathbb R}\) hasta\({\mathbb T}\) por\(\phi : \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta\text{.}\)

Solución

En efecto,

\ begin {alinear*}\ phi (\ alfa +\ beta) & =\ cos (\ alfa +\ beta) + i\ sin (\ alfa +\ beta)\\ & = (\ cos\ alfa\ cos\ beta -\ sin\ alfa\ sin\ beta) + i (\ sin\ alfa\ cos\ beta +\ cos\ alfa\ sin\ beta)\\\ & = (\ cos\ alfa + i sin\\ alpha) (\ cos\ beta + i\ sin\ beta)\\ & =\ phi (\ alpha)\ phi (\ alpha)\ phi (\ beta)\ texto {.} \ end {alinear*}

Geométricamente, simplemente estamos envolviendo la línea real alrededor del círculo de una manera teórica grupal.

La siguiente proposición enumera algunas propiedades básicas de los homomorfismos grupales.

Proposición\(11.4\)

\(\phi : G_1 \rightarrow G_2\)Sea un homomorfismo de grupos. Entonces

1. Si\(e\) es la identidad de\(G_1\text{,}\) entonces\(\phi( e)\) es la identidad de\(G_2\text{;}\)
2. Para cualquier elemento\(g \in G_1\text{,}\)\(\phi( g^{-1}) = [\phi( g )]^{- 1}\text{;}\)
3. Si\(H_1\) es un subgrupo de\(G_1\text{,}\) entonces\(\phi( H_1 )\) es un subgrupo de\(G_2\text{;}\)
4. Si\(H_2\) es un subgrupo de\(G_2\text{,}\) entonces\(\phi^{-1}(H_2) = \{ g \in G _1: \phi(g) \in H_2 \}\) es un subgrupo de\(G_1\text{.}\) Además, si\(H_2\) es normal en\(G_2\text{,}\) entonces\(\phi^{-1}(H_2)\) es normal en\(G_1\text{.}\)

Prueba

(1) Supongamos que\(e\) y\(e'\) son las identidades de\(G_1\) y\(G_2\text{,}\) respectivamente; entonces

\[ e' \phi(e) = \phi(e) = \phi(e e) = \phi(e) \phi(e)\text{.} \nonumber \]

Por cancelación,\(\phi(e) = e'\text{.}\)

2) Esta afirmación se desprende del hecho de que

\[ \phi( g^{-1}) \phi(g) = \phi(g^{-1} g) = \phi(e) = e'\text{.} \nonumber \]

(3) El conjunto no\(\phi(H_1)\) está vacío ya que la identidad de\(G_2\) está en\(\phi(H_1)\text{.}\) Supongamos que\(H_1\) es un subgrupo de\(G_1\)\(x\) y dejar y\(y\) estar en\(\phi(H_1)\text{.}\) Existen elementos\(a, b \in H_1\) tales que\(\phi(a) = x\) y\(\phi(b)=y\text{.}\) Desde

\[ xy^{-1} = \phi(a)[ \phi(b)]^{-1} = \phi(a b^{-1} ) \in \phi(H_1)\text{,} \nonumber \]

\(\phi(H_1)\)es un subgrupo de\(G_2\) por la Proposición 3.31.

(4) Dejar\(H_2\) ser un subgrupo de\(G_2\) y\(H_1\) definir ser\(\phi^{-1}(H_2)\text{;}\) que es,\(H_1\) es el conjunto de todos\(g \in G_1\) tales que\(\phi(g) \in H_2\text{.}\) La identidad está en\(H_1\) desde\(\phi(e) = e'\text{.}\) Si\(a\) y\(b\) están en\(H_1\text{,}\) entonces\(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}\) está en\(H_2\) desde \(H_2\)es un subgrupo de\(G_2\text{.}\) Por lo tanto,\(ab^{-1} \in H_1\) y\(H_1\) es un subgrupo de\(G_1\text{.}\) Si\(H_2\) es normal en\(G_2\text{,}\) debemos demostrar que\(g^{-1} h g \in H_1\) para\(h \in H_1\) y\(g \in G_1\text{.}\) Pero

\[ \phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2\text{,} \nonumber \]

ya que\(H_2\) es un subgrupo normal de\(G_2\text{.}\) Por lo tanto,\(g^{-1}hg \in H_1\text{.}\)

Dejar\(\phi : G \rightarrow H\) ser un homomorfismo grupal y supongamos que\(e\) es la identidad de\(H\text{.}\) Por Proposición\(11.4\),\(\phi^{-1} ( \{ e \} )\) es un subgrupo de\(G\text{.}\) Este subgrupo se llama el núcleo de\(\phi\) y será denotado por\(\ker \phi\text{.}\) De hecho, este subgrupo es un subgrupo normal de\(G\) ya que el subgrupo trivial es normal en\(H\text{.}\) Anotamos este resultado en el siguiente teorema, que dice que con cada homomorfismo de grupos podemos asociar naturalmente un subgrupo normal.

Teorema\(11.5\)

Que\(\phi : G \rightarrow H\) sea un homomorfismo grupal. Entonces el núcleo de\(\phi\) es un subgrupo normal de\(G\text{.}\)

Ejemplo\(11.6\)

Examinemos el homomorfismo\(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) definido por\(A \mapsto \det( A )\text{.}\)

Solución

Ya que\(1\) es la identidad\({\mathbb R}^\ast\text{,}\) del núcleo de este homomorfismo es todas las\(2 \times 2\) matrices que tienen una determinante. Es decir,\(\ker \phi = SL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

Ejemplo\ 11.7\)

El núcleo del grupo homomorfismo\(\phi : {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb C}^\ast\)

Solución

definido por\(\phi( \theta ) = \cos \theta + i \sin \theta\) es\(\{ 2 \pi n : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Aviso que\(\ker \phi \cong {\mathbb Z}\text{.}\)

Ejemplo\(11.8\)

Supongamos que deseamos determinar todos los homomorfismos posibles\(\phi\) desde\({\mathbb Z}_7\) hasta\({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)

Solución

Ya que el núcleo de\(\phi\) debe ser un subgrupo de solo\({\mathbb Z}_7\text{,}\) hay dos núcleos posibles,\(\{ 0 \}\) y todos de\({\mathbb Z}_7\text{.}\) La imagen de un subgrupo de\({\mathbb Z}_7\) debe ser un subgrupo de\({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Por lo tanto, no hay homomorfismo inyectivo; de lo contrario,\({\mathbb Z}_{12}\) tendría un subgrupo de orden \(7\text{,}\)lo cual es imposible. En consecuencia, el único homomorfismo posible de\({\mathbb Z}_7\) a\({\mathbb Z}_{12}\) es el que mapea todos los elementos a cero.

Ejemplo\(11. 9\)

Seamos\(G\) un grupo. Supongamos que\(g \in G\) y\(\phi\) es el homomorfismo de\({\mathbb Z}\) a\(G\) dado por\(\phi( n ) = g^n\text{.}\)

Solución

Si el orden de\(g\) es infinito, entonces el núcleo de este homomorfismo es\(\{ 0 \}\) ya que se\(\phi\)\({\mathbb Z}\) mapea en el subgrupo cíclico de\(G\) generado por\(g\text{.}\) Sin embargo, si el orden de\(g\) es finito, digamos\(n\text{,}\) entonces el núcleo de\(\phi\) es\(n {\mathbb Z}\text{.}\)