11.6: Salvia

La salvia es capaz de crear homomorfismos (y por extensión, isomorfismos y automorfismos) entre grupos de permutación finita. Hay un suministro limitado de comandos entonces disponibles para manipular estas funciones, pero aún podemos ilustrar muchas de las ideas de este capítulo.

Homomorfismos

El principal dispositivo para crear un homomorfismo es especificar las imágenes específicas del conjunto de generadores para el dominio. Considerar grupos cíclicos de orden\(12\) y\(20\text{:}\)

\ begin {align*} G &=\ {a^i\ vert a^ {12} =e\} & H &=\ {x^i\ vert x^ {20} =e\}\ end {align*}

y definir un homomorfismo simplemente definiendo la imagen del generador de\(G\text{,}\) y definir el resto del mapeo extendiendo el mapeo a través de la propiedad de preservación de la operación de un homomorfismo.

\ begin {align*}\ phi: G\ fila derecha H, &\ quad\ phi (a) =x^5\\\ Rightarrow &\ quad\ phi (a^i) =\ phi (a) ^i = (x^5) ^i = x ^ {5i}\ end {align*}

El constructor PermutationGroupMorphism requiere los dos grupos, luego una lista de imágenes para cada generador (¡en orden!) , y luego creará el homomorfismo. Tenga en cuenta que entonces podemos usar el resultado como una función. En el siguiente ejemplo, primero verificamos que C12 tenga un solo generador (no es de sorprender ahí), que luego enviamos a un elemento particular de orden\(4\) en el codominio. Sage luego construye el homomorfismo único que es consistente con este requisito.

Tenga en cuenta que el elemento c, por lo tanto, debe estar en el kernel de phi.

Podemos entonces calcular el subgrupo del dominio que es el kernel, en este caso un grupo cíclico de orden\(3\) dentro del grupo cíclico de orden\(12\text{.}\) Podemos calcular la imagen de cualquier subgrupo, pero aquí vamos a construir toda la imagen homomórfica suministrando todo el dominio a la Método .image (). Aquí la imagen es un subgrupo cíclico de orden\(4\) dentro del grupo cíclico de orden\(20\text{.}\) Entonces podemos verificar el Teorema del Primer Isomorfismo.

Aquí hay un ejemplo un poco más complicado. El grupo diedro\(D_{20}\) es el grupo de simetría de un\(20\) -gon. Dentro de este grupo hay un subgrupo que es isomórfico al grupo de simetría de a\(5\) -gon (pentágono). ¿Esto es una sorpresa, o esto es obvio? Aquí hay una manera de precisar la afirmación “\(D_{20}\)contiene una copia de\(D_{5}\text{.}\)”

Construimos el dominio y encontramos sus generadores, así sabemos cuántas imágenes suministrar en la definición del homomorfismo. Después construimos el codominio, a partir del cual construiremos imágenes. Nuestra elección aquí es enviar una reflexión a una reflexión, y una rotación a una rotación. Pero las rotaciones ambas tendrán orden\(5\text{,}\) y ambas son una rotación por\(72\) grados.

Dado que el kernel es trivial, rho es una función uno a uno (ver Ejercicio\(11.4.18\)). Pero lo que es más importante, por el Teorema del Primer Isomorfismo, G es isomórfico a la imagen del homomorfismo. Calculamos la imagen y verificamos el reclamo.

El solo hecho de proporcionar una lista de imágenes para los generadores del dominio no es garantía de que la función se extienda a un homomorfismo. Para empezar, el orden de cada imagen debe dividir el orden de la preimagen correspondiente. (¿Puedes probarlo?) Y de manera similar, si el dominio es abeliano, entonces la imagen también debe ser abeliana, por lo que en este caso la lista de imágenes no debe generar un subgrupo no abeliano. Aquí hay un ejemplo. No hay homomorfismos de un grupo cíclico de orden\(7\) a un grupo cíclico de orden\(4\) (que no sea la función trivial que lleva cada elemento a la identidad). Para ver esto, consideremos los posibles órdenes del núcleo, y de las dos posibilidades, ver que una es imposible y la otra surge con el homomorfismo trivial. Desafortunadamente, Sage actúa como si nada estuviera mal en crear un homomorfismo entre estos grupos, pero lo que Sage construye es inútil y genera errores cuando intentas usarlo.

En lugar de crear homomorfismos nosotros mismos, en ciertas situaciones Sage sabe de la existencia de homomorfismos naturales y los creará para ti. Uno de esos casos es la construcción directa del producto. Dado un grupo G, el método .direct_product (H) creará el producto directo\(G\times H\text{.}\) (Este no es el mismo comando que la función direct_product_permgroups () de antes.) Este comando no sólo crea el producto directo, sino que también construye cuatro homomorfismos, uno con dominio\(G\text{,}\) uno con dominio\(H\) y dos con dominio\(G\times H\text{.}\) Entonces la salida consta de cinco objetos, siendo el primero el grupo real, y el resto son homomorfismos. Demostraremos la convocatoria aquí, y dejaremos una investigación más exhaustiva para los ejercicios.