Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

14.1: Grupos Actuando sobre Conjuntos

  • Page ID
    111358
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Dejemos\(X\) ser un conjunto y\(G\) ser un grupo. Una acción (izquierda) de\(G\) on\(X\) es un mapa\(G \times X \rightarrow X\) dado por\((g,x) \mapsto gx\text{,}\) donde

    1. \(ex = x\)para todos\(x \in X\text{;}\)
    2. \((g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\)para todos\(x \in X\) y para todos\(g_1, g_2 \in G\text{.}\)

    Bajo estas consideraciones\(X\) se llama un \(G\)-set. Observe que no estamos requiriendo estar\(X\) relacionados\(G\) de ninguna manera. Es cierto que cada grupo\(G\) actúa sobre cada set\(X\) por la acción trivial\((g,x) \mapsto x\text{;}\) sin embargo, las acciones grupales son más interesantes si el conjunto\(X\) está de alguna manera relacionado con el grupo\(G\text{.}\)

    Ejemplo\(14.1\)

    Let\(G = GL_2( {\mathbb R} )\) y\(X = {\mathbb R}^2\text{.}\)

    Solución

    \(G\)Actúa entonces\(X\) por multiplicación izquierda. Si\(v \in {\mathbb R}^2\) y\(I\) es la matriz de identidad, entonces\(Iv = v\text{.}\) Si\(A\) y\(B\) son matrices\(2 \times 2\) invertibles, entonces\((AB)v = A(Bv)\) ya que la multiplicación matricial es asociativa.

    Ejemplo\(14.2\)

    Dejar\(G = D_4\) ser el grupo de simetría de un cuadrado. Si\(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\) es el conjunto de vértices del cuadrado, entonces podemos considerar\(D_4\) que consisten en las siguientes permutaciones:

    \[ \{ (1), (1 \, 3), (2 \, 4), (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{.} \nonumber \]

    Solución

    Los elementos de\(D_4\) actuar\(X\) como funciones. La permutación\((1 \, 3)(2 \, 4)\) actúa sobre el vértice\(1\) enviándolo a vértice\(3\text{,}\) sobre vértice\(2\) enviándolo a vértice\(4\text{,}\) y así sucesivamente. Es fácil ver que los axiomas de una acción grupal están satisfechos.

    En general, si\(X\) hay algún conjunto y\(G\) es un subgrupo\(S_X\text{,}\) del grupo de todas las permutaciones que actúan\(X\text{,}\) entonces\(X\) es un\(G\) -conjunto bajo la acción de grupo

    \[ (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \nonumber \]

    para\(\sigma \in G\) y\(x \in X\text{.}\)

    Ejemplo\(14.3\)

    Si dejamos\(X = G\text{,}\) entonces cada grupo\(G\) actúa sobre sí mismo por la representación regular izquierda; es decir,\((g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}\) donde\(\lambda_g\) queda multiplicación:

    \ begin {reunir*} e\ cdot x =\ lambda_e x = ex = x\\ (gh)\ cdot x =\ lambda_ {gh} x =\ lambda_g\ lambda_h x =\ lambda_g (hx) = g\ cdot (h\ cdot x)\ texto {.} \ end {reunir*}

    Solución

    Si\(H\) es un subgrupo de\(G\text{,}\) entonces\(G\) es un\(H\) -conjunto bajo multiplicación izquierda por elementos de\(H\text{.}\)

    Ejemplo\(14.4\)

    \(G\)Sea un grupo y supongamos que\(X=G\text{.}\) si\(H\) es un subgrupo de\(G\text{,}\) entonces\(G\) es un\(H\) -conjunto bajo conjugación; es decir, podemos definir una acción de\(H\) on\(G\text{,}\)

    \[ H \times G \rightarrow G\text{,} \nonumber \]

    vía

    \[ (h,g) \mapsto hgh^{-1} \nonumber \]para\(h \in H\) y\(g \in G\text{.}\)

    Solución

    Claramente, se sostiene el primer axioma para una acción grupal. Observando que

    \ begin {align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2) ^ {-1}\\ & = h_1 (h_2 g h_2^ {-1}) h_1^ {-1}\\ & = (h_1, (h_2, g))\ text {,}\ end {align*}

    vemos que también se cumple la segunda condición.

    Ejemplo\(14.5\)

    Dejar\(H\) ser un subgrupo de\(G\) y\({\mathcal L}_H\) el conjunto de cosets izquierdos de\(H\text{.}\) El conjunto\({\mathcal L}_H\) es un\(G\) -set bajo la acción

    \[ (g, xH) \mapsto gxH\text{.} \nonumber \]

    Solución

    Nuevamente, es fácil ver que el primer axioma es cierto. Ya que\((g g')xH = g( g'x H)\text{,}\) el segundo axioma también es cierto.

    Si\(G\) actúa sobre un conjunto\(X\) y\(x, y \in X\text{,}\) luego\(x\) se dice que es \(G\)-equivalente a\(y\) si existe\(g \in G\) tal que\(gx =y\text{.}\) escribimos\(x \sim_G y\) o\(x \sim y\) si dos elementos son\(G\) -equivalentes.

    Proposición\(14.6\)

    \(X\)Déjese ser un\(G\) -set. Entonces\(G\) -equivalencia es una relación de equivalencia sobre\(X\text{.}\)

    Prueba

    La relación\(\sim\) es reflexiva ya que\(ex = x\text{.}\) Supongamos que\(x \sim y\) para\(x, y \in X\text{.}\) Entonces existe\(g\) tal que\(gx = y\text{.}\) en este caso de\(g^{-1}y=x\text{;}\) ahí,\(y \sim x\text{.}\) Para mostrar que la relación es transitiva, supongamos que\(x \sim y\) y\(y \sim z\text{.}\) Entonces debe existir elementos de grupo \(g\)y\(h\) tal que\(gx = y\) y\(hy= z\text{.}\) Así\(z = hy = (hg)x\text{,}\) y\(x\) es equivalente a\(z\text{.}\)

    Si\(X\) es un\(G\) -set, entonces cada partición de\(X\) asociado con\(G\) -equivalencia se llama órbita de\(X\) bajo\(G\text{.}\) Nosotros denotaremos la órbita que contiene un elemento\(x\) de\(X\) por\({\mathcal O}_x\text{.}\)

    Ejemplo\(14.7\)

    \(G\)Sea el grupo de permutación definido por

    \[ G =\{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (4 \, 5), (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5), (1 \, 3 \, 2)(4 \, 5) \} \nonumber \]

    y\(X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}\)

    Solución

    Entonces\(X\) es un\(G\) -set. Las órbitas son\({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}\) y\({\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}\)

    Ahora supongamos que\(G\) es un grupo que actúa sobre un conjunto\(X\) y deja\(g\) ser un elemento de\(G\text{.}\) El conjunto de puntos fijos de\(g\) en\(X\text{,}\) denotado por\(X_g\text{,}\) es el conjunto de todos\(x \in X\) tales que también\(gx = x\text{.}\) podemos estudiar los elementos del grupo \(g\)que arreglan un dado\(x \in X\text{.}\) Este conjunto es más que un subconjunto de\(G\text{,}\) él es un subgrupo. Este subgrupo se llama el subgrupo estabilizador o subgrupo de isotropía de\(x\text{.}\) Nosotros denotará el subgrupo estabilizador de\(x\) por\(G_x\text{.}\)

    Observación\(14.8\)

    La ley de gas ideal es fácil de recordar y aplicar en la resolución de problemas, siempre y cuando consigas los valores adecuados a

    Ejemplo\(14.9\)

    Supongamos que ese\(G\) es el grupo de permutación dado por las permutaciones\(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

    \[ \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5 \, 6), (3 \, 5)(4 \, 6), (1 \, 2)( 3 \, 6 \, 5 \, 4) \}\text{.} \nonumber \]

    Solución

    Entonces los conjuntos de puntos fijos de\(X\) bajo la acción de\(G\) son

    \ begin {reunir*} X_ {(1)} = X,\\ X_ {(3\, 5) (4\, 6)} =\ {1,2\},\\ X_ {(1\, 2) (3\, 4\, 5\, 6)} = X_ {(1\, 2) (3\, 6\ ,5\, 4)} =\ conjunto vacío\ texto {,}\ fin {reunir*}

    y los subgrupos estabilizadores son

    \ begin {reunir*} G_1 = G_2 =\ {(1), (3\, 5) (4\, 6)\},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 =\ {(1)\}\ texto {.} \ end {reunir*}

    Se ve fácilmente que\(G_x\) es un subgrupo de\(G\) para cada\(x \in X\text{.}\)

    Proposición\(14.10\)

    Dejar\(G\) ser un grupo que actúa sobre un conjunto\(X\) y\(x \in X\text{.}\) El grupo estabilizador de\(x\text{,}\)\(G_x\text{,}\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)

    Prueba

    Claramente,\(e \in G_x\) ya que la identidad fija cada elemento en el conjunto\(X\text{.}\) Let\(g, h \in G_x\text{.}\) Entonces\(gx = x\) y\(hx = x\text{.}\) Así de\((gh)x = g(hx) = gx = x\text{;}\) ahí, el producto de dos elementos en también\(G_x\) está en\(G_x\text{.}\) Finalmente, si\(g \in G_x\text{,}\)\(x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}\) entonces So\(g^{-1}\) está en\(G_x\text{.}\)

    Denotaremos el número de elementos en el conjunto de puntos fijos de un elemento\(g \in G\) por\(|X_g|\) y denotaremos el número de elementos en la órbita de\(x \in X\) por\(|{\mathcal O}_x|\text{.}\) El siguiente teorema demuestra la relación entre las órbitas de un elemento\(x \in X\) y los coconjuntos izquierdos de\(G_x\) in \(G\text{.}\)

    Teorema\(14.11\)

    Dejar\(G\) ser un grupo finito y\(X\) un\(G\) conjunto finito. Si\(x \in X\text{,}\) entonces\(|{\mathcal O}_x| = [G:G_x]\text{.}\)

    Prueba

    Sabemos que\(|G|/|G_x|\) es el número de cosets izquierdos de\(G_x\) in\(G\) por Teorema (Teorema\(6.10\)) de Lagrange. Vamos a definir un mapa biyectiva\(\phi\) entre la órbita\({\mathcal O}_x\) de\(X\) y el conjunto de cosets izquierdos\({\mathcal L}_{G_x}\) de\(G_x\) en\(G\text{.}\) Let\(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Entonces existe un\(g\) en\(G\) tal que\(g x = y\text{.}\) Definir\(\phi\) por\(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Para mostrar que\(\phi\) es uno a uno, supongamos que\(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Entonces

    \[ \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2)\text{,} \nonumber \]

    donde\(g_1 x = y_1\) y\(g_2 x = y_2\text{.}\) Puesto que\(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) existe\(g \in G_x\) tal que\(g_2 = g_1 g\text{,}\)

    \[ y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1; \nonumber \]

    en consecuencia, el mapa\(\phi\) es uno a uno. Por último, debemos mostrar que el mapa\(\phi\) está sobre. Dejemos\(g G_x\) ser un coset de izquierda. Si\(g x = y\text{,}\) entonces\(\phi(y) = g G_x\text{.}\)


    This page titled 14.1: Grupos Actuando sobre Conjuntos is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Thomas W. Judson (Abstract Algebra: Theory and Applications) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.