15.1: Los teoremas de Sylow

Usaremos lo que hemos aprendido sobre las acciones grupales para probar los Teoremas de Sylow. Recordemos por un momento lo que significa\(G\) para actuar sobre sí mismo por conjugación y cómo las clases de conjugación se distribuyen en el grupo de acuerdo con la ecuación de clase, discutida en el Capítulo 14. Un grupo\(G\) actúa sobre sí mismo por conjugación vía el mapa\((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Dejar\(x_1, \ldots, x_k\) ser representantes de cada una de las distintas clases de conjugación de\(G\) que constan de más de un elemento. Entonces la ecuación de clase se puede escribir como

\[ |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{,} \nonumber \]

donde\(Z(G) = \{g \in G : gx = xg \text{ for all } x \in G\}\) es el centro de\(G\) y\(C(x_i) = \{ g \in G : g x_i = x_i g \}\) es el subgrupo centralizador de\(x_i\text{.}\)

Comenzamos nuestra investigación de los teoremas de Sylow examinando subgrupos de orden\(p\text{,}\) donde\(p\) es primo. Un grupo\(G\) es un \(p\)-grupo si cada elemento en\(G\) tiene como su orden una potencia de\(p\text{,}\) donde\(p\) es un número primo. Un subgrupo de un grupo\(G\) es un \(p\)-subgrupo si es un\(p\) -grupo.

Teorema\(15.1\). Cauchy

Dejar\(G\) ser un grupo finito y\(p\) un primo tal que\(p\) divide el orden de\(G\text{.}\) Entonces\(G\) contiene un subgrupo de orden\(p\text{.}\)

Prueba

Utilizaremos la inducción en el orden de\(G\text{.}\) Si\(|G|=p\text{,}\) entonces claramente\(G\) en sí mismo es el subgrupo requerido. Ahora asumimos que cada grupo de orden\(k\text{,}\) donde\(p \leq k \lt n\) y\(p\) divide\(k\text{,}\) tiene un elemento de orden\(p\text{.}\) Supongamos que\(|G|= n\)\(p \mid n\) y considerar la ecuación de clase de\(G\text{:}\)

\[ |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \nonumber \]

Tenemos dos casos.

Caso 1.

Supongamos que el orden de uno de los subgrupos\(C(x_i)\text{,}\) centralizadores, es divisible por\(p\) para algunos\(i\text{,}\)\(i = 1, \ldots, k\text{.}\) En este caso, por nuestra hipótesis de inducción, hemos terminado. Dado que\(C(x_i)\) es un subgrupo apropiado de\(G\) y\(p\) divide\(|C(x_i)|\text{,}\)\(C(x_i)\) debe contener un elemento de orden\(p\text{.}\) Por lo tanto,\(G\) debe contener un elemento de orden\(p\text{.}\)

Caso 2.

Supongamos que el orden de ningún subgrupo centralizador es divisible por\(p\text{.}\) Entonces\(p\) divide\([G:C(x_i)]\text{,}\) el orden de cada clase de conjugación en la ecuación de clase; por lo tanto,\(p\) debe dividir el centro de\(G\text{,}\)\(Z(G)\text{.}\) Dado que\(Z(G)\) es abeliano, debe tener un subgrupo de orden\(p\) por el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos. Por lo tanto, el centro de\(G\) contiene un elemento de orden\(p\text{.}\)

Corolario\(15.2\)

Dejar\(G\) ser un grupo finito. Entonces\(G\) es un\(p\) -grupo si y solo si\ (|G| = p^n\ text { . }\

Ejemplo\(15.3\)

Consideremos el grupo\(A_5\text{.}\) Sabemos que\(|A_5| = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\)

Solución

Por el Teorema de Cauchy, se nos garantiza que\(A_5\) tiene subgrupos de órdenes\(2\text{,}\)\(3\) y\(5\text{.}\) Los Teoremas de Sylow nos darán aún más información sobre los posibles subgrupos de\(A_5\text{.}\)

Ahora estamos listos para afirmar y probar el primero de los Teoremas de Sylow. La prueba es muy similar a la prueba del Teorema de Cauchy.

Teorema\(15.4\). First Sylow Theorem

Dejar\(G\) ser un grupo finito y\(p\) un primo tal que\(p^r\) divide\(|G|\text{.}\) Entonces\(G\) contiene un subgrupo de orden\(p^r\text{.}\)

Prueba

Inducimos por orden de\(G\) una vez más. Si\(|G| = p\text{,}\) entonces ya terminamos. Ahora supongamos que el orden de\(G\) es\(n\) con\(n \gt p\) y que el teorema es cierto para todos los grupos de orden menor que\(n\text{,}\) donde\(p\) divide\(n\text{.}\) Aplicaremos una vez más la ecuación de clase:

\[ |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \nonumber \]

Primero supongamos que\(p\) no divide\([G:C(x_i)]\) para algunos\(i\text{.}\) Entonces\(p^r \mid |C(x_i)|\text{,}\) ya que\(p^r\) divide\(|G| = |C(x_i)| \cdot [G:C(x_i)]\text{.}\) Ahora podemos aplicar la hipótesis de inducción a\(C(x_i)\text{.}\)

De ahí, podemos suponer que\(p\) divide\([G:C(x_i)]\) para todos\(i\text{.}\) Ya que\(p\) divide\(|G|\text{,}\) la ecuación de clase dice que\(p\) debe dividir de\(|Z(G)|\text{;}\) ahí, por el teorema de Cauchy,\(Z(G)\) tiene un elemento de orden\(p\text{,}\)\(g\text{.}\) digamos Let\(N\) be the group generated por\(g\text{.}\) Claramente,\(N\) es un subgrupo normal de\(Z(G)\) ya que\(Z(G)\) es abeliano; por lo tanto,\(N\) es normal en\(G\) ya que cada elemento en\(Z(G)\) desplazamientos con cada elemento en\(G\text{.}\) Ahora considera el grupo factorial\(G/N\) de orden\(|G|/p\text{.}\) Por el hipótesis de inducción,\(G/N\) contiene un subgrupo\(H\) de orden\(p^{r- 1}\text{.}\) La imagen inversa de\(H\) bajo el homomorfismo canónico\(\phi : G \rightarrow G/N\) es un subgrupo de orden\(p^r\) en\(G\text{.}\)

Un \(p\)subgrupo\(P\) de Sylow de un grupo\(G\) es un\(p\) subgrupo máximo de\(G\text{.}\) Para probar los otros dos teoremas de Sylow, necesitamos considerar subgrupos conjugados en contraposición a elementos conjugados en un grupo. Para un grupo\(G\text{,}\) deja\({\mathcal S}\) ser la colección de todos los subgrupos de\(G\text{.}\) Para cualquier subgrupo\(H\text{,}\)\({\mathcal S}\) es un\(H\) -conjunto, donde\(H\) actúa sobre\({\mathcal S}\) por conjugación. Es decir, tenemos una acción

\[ H \times {\mathcal S} \rightarrow {\mathcal S} \nonumber \]

definido por

\[ h \cdot K \mapsto hKh^{-1} \nonumber \]

para\(K\) en\({\mathcal S}\text{.}\)

El conjunto

\[ N(H) = \{ g \in G : g H g^{-1} = H\} \nonumber \]

es un subgrupo de\(G\) llamado el normalizador de\(H\) en\(G\text{.}\) Aviso que\(H\) es un subgrupo normal de\(N(H)\text{.}\) De hecho,\(N(H)\) es el subgrupo más grande de\(G\) en el que\(H\) es normal.

Lema\(15.5\)

Dejar\(P\) ser un Sylow\(p\) -subgrupo de un grupo finito\(G\) y dejar\(x\) tener como su orden un poder de\(p\text{.}\) Si\(x^{-1} P x = P\text{,}\) entonces\(x \in P\text{.}\)

Prueba

Ciertamente\(x \in N(P)\text{,}\) y el subgrupo cíclico,\(\langle xP \rangle \subset N(P)/P\text{,}\) tiene como su orden un poder de\(p\text{.}\) Por el Teorema de Correspondencia existe un subgrupo\(H\) de\(N(P)\) contener\(P\) tal que\(H/P = \langle xP \rangle\text{.}\) Dado que\(|H| = |P| \cdot |\langle xP \rangle|\text{,}\) el orden de\(H\) debe ser un poder de\(p\text{.}\) Sin embargo, \(P\)es un\(p\) subgrupo Sylow contenido en\(H\text{.}\) Dado que el orden de\(P\) es el mayor poder de\(p\) división\(|G|\text{,}\)\(H=P\text{.}\) Por lo tanto,\(H/P\) es el subgrupo trivial y\(xP = P\text{,}\) o\(x \in P\text{.}\)

Lema\(15.6\)

Dejar\(H\) y\(K\) ser subgrupos de\(G\text{.}\) El número de distintos\(H\) -conjugados de\(K\) es\([H:N(K) \cap H]\text{.}\)

Prueba

Definimos una biyección entre las clases de conjugación de\(K\) y los coconjuntos correctos de\(N(K) \cap H\) por\(h^{-1}Kh \mapsto (N(K) \cap H)h\text{.}\) Para mostrar que este mapa es una bijección, vamos\(h_1, h_2 \in H\) y supongamos que\((N(K) \cap H)h_1 = (N(K) \cap H)h_2\text{.}\) Entonces\(h_2 h_1^{-1} \in N(K)\text{.}\) Por lo tanto,\(K = h_2 h_1^{-1} K h_1 h_2^{-1}\) o\(h_1^{-1} K h_1 = h_2^{-1} K h_2\text{,}\) y el mapa es una inyección. Es fácil ver que este mapa es surytivo; por lo tanto, tenemos un mapa uno a uno y sobre entre los\(H\) conjugados de\(K\) y los coconjuntos correctos de\(N(K) \cap H\) in\(H\text{.}\)

Teorema\(15.7\). Second Sylow Theorem

Dejar\(G\) ser un grupo finito y\(p\) un primo dividiendo\(|G|\text{.}\) Entonces todos los Sylow\(p\) -subgrupos de\(G\) son conjugados. Es decir, si\(P_1\) y\(P_2\) son dos Sylow\(p\) -subgrupos, existe\(g \in G\) tal que\(g P_1 g^{-1} = P_2\text{.}\)

Prueba

Let\(P\) be a Sylow\(p\) -subgrupo de\(G\) y supongamos que\(|G|=p^r m\) con\(|P|=p^r\text{.}\) Let

\[ {\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \} \nonumber \]

consisten en los distintos conjugados de\(P\) en\(G\text{.}\) By Lemma\(15.6\),\(k = [G: N(P)]\text{.}\) Observe que

\[ |G|= p^r m = |N(P)| \cdot [G: N(P)]= |N(P)| \cdot k\text{.} \nonumber \]

Dado que las\(p^r\) divisiones\(|N(P)|\text{,}\)\(p\) no pueden dividir\(k\text{.}\)

Dado cualquier otro\(p\) subgrupo de Sylow\(Q\text{,}\) debemos mostrar que\(Q \in {\mathcal S}\text{.}\) Consideremos las clases de\(Q\) -conjugación de cada\(P_i\text{.}\) Claramente, estas clases de conjugación partición\({\mathcal S}\text{.}\) El tamaño de la partición que contiene\(P_i\) es\([Q :N(P_i) \cap Q]\) por Lema\(15.6\), y el Teorema de Lagrange nos dice que\(|Q| = [Q :N(P_i) \cap Q] |N(P_i) \cap Q|\text{.}\) Así,\([Q :N(P_i) \cap Q]\) debe ser un divisor de\(|Q|= p^r\text{.}\) Por lo tanto, el número de conjugados en cada clase de equivalencia de la partición es una potencia de\(p\text{.}\) Sin embargo, ya que\(p\) no divide\(k\text{,}\) una de estas clases de equivalencia debe contener sólo una sola Sylow \(p\)-subgrupo, digamos\(P_j\text{.}\) En este caso,\(x^{-1} P_j x = P_j\) para todos\(x \in Q\text{.}\) Por Lemma\(15.5\),\(P_j = Q\text{.}\)

Teorema\(15.8\)

Dejar\(G\) ser un grupo finito y dejar\(p\) ser un primo dividiendo el orden de\(G\text{.}\) Entonces el número de Sylow\(p\) -subgrupos es congruente\(1 \pmod{p}\) y divide\(|G|\text{.}\)

Prueba

Let\(P\) Ser un Sylow\(p\) -subgrupo actuando sobre el conjunto de Sylow\(p\) -subgrupos,

\[ {\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}\text{,} \nonumber \]

por conjugación. De la prueba del Segundo Teorema de Sylow, el único\(P\) conjugado de\(P\) es en sí mismo y el orden de las otras clases de\(P\) conjugación es un poder de\(p\text{.}\) Cada clase\(P\) -conjugación aporta un poder positivo de\(p\) hacia\(|{\mathcal S}|\) excepto la clase de equivalencia \(\{ P \}\text{.}\)Dado que\(|{\mathcal S}|\) es la suma de poderes positivos de\(p\) y\(1\text{,}\)\(|{\mathcal S}| \equiv 1 \pmod{p}\text{.}\)

Ahora supongamos que eso\(G\) actúa\({\mathcal S}\) por conjugación. Dado que todos los\(p\) subgrupos de Sylow son conjugados, solo puede haber una órbita bajo esta acción. Para\(P \in {\mathcal S}\text{,}\)

\[ |{\mathcal S}| = |\text{orbit of }P| = [G : N(P)] \nonumber \]

por Lemma\(15.6\). Pero\([G : N(P)]\) es un divisor de\(|G|\text{;}\) consecuentemente, el número de Sylow\(p\) -subgrupos de un grupo finito debe dividir el orden del grupo.

Nota Histórica

Peter Ludvig Mejdell Sylow nació en 1832 en Christiania, Noruega (ahora Oslo). Después de asistir a la Universidad Christiania, Sylow impartió clases de secundaria. En 1862 obtuvo un nombramiento temporal en la Universidad Christiania. A pesar de que su nombramiento fue relativamente breve, influyó en estudiantes como Sophis Lie (1842—1899). Sylow tuvo la oportunidad de ocupar una silla permanente en 1869, pero no logró obtener el nombramiento. En 1872, publicó un artículo de 10 páginas presentando los teoremas que ahora llevan su nombre. Posteriormente Lie y Sylow colaboraron en una nueva edición de las obras de Abel. En 1898, finalmente se creó una cátedra en la Universidad de Christiania para Sylow a través de los esfuerzos de su estudiante y colega Lie. Sylow murió en 1918.