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# 15.4: Ejercicios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

¿Cuáles son las órdenes de todos los$$p$$ subgrupos de Sylow donde$$G$$ tiene orden$$18\text{,}$$$$24\text{,}$$$$54\text{,}$$$$72\text{,}$$ y$$80\text{?}$$

## 2

Encuentra todos los$$3$$ subgrupos de Sylow$$S_4$$ y demuestra que todos son conjugados.

## 3

Mostrar que cada grupo de orden$$45$$ tiene un subgrupo normal de orden$$9\text{.}$$

## 4

Let$$H$$ Be a Sylow$$p$$ -subgrupo de$$G\text{.}$$ Prove que$$H$$ es el único Sylow$$p$$ -subgrupo de$$G$$ contenido en$$N(H)\text{.}$$

## 5

Demostrar que ningún grupo de orden$$96$$ es sencillo.

## 6

Demostrar que ningún grupo de orden$$160$$ es sencillo.

## 7

Si$$H$$ es un subgrupo normal de un grupo finito$$G$$ y$$|H| = p^k$$ para algún$$p\text{,}$$ programa primo que$$H$$ está contenido en cada$$p$$ subgrupo Sylow de$$G\text{.}$$

## 8

Dejemos$$G$$ ser un grupo de orden$$p^2 q^2\text{,}$$ donde$$p$$ y$$q$$ sean primos distintos de tal manera que$$q \nmid p^2 - 1$$ y$$p \nmid q^2 - 1\text{.}$$ Demostrar que$$G$$ deben ser abelianos. Encuentra un par de primos para los que esto es cierto.

## 9

Mostrar que un grupo de orden$$33$$ tiene sólo un$$3$$ subgrupo de Sylow.

## 10

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo$$G\text{.}$$ Demostrar o desacreditar que el normalizador de$$H$$ es normal en$$G\text{.}$$

## 11

Dejar$$G$$ ser un grupo finito cuyo orden es divisible por un primo$$p\text{.}$$ Demostrar que si solo hay un$$p$$ subgrupo Sylow en$$G\text{,}$$ él debe ser un subgrupo normal de$$G\text{.}$$

## 12

Dejemos$$G$$ ser un grupo de orden$$p^r\text{,}$$$$p$$ prime. Demostrar que$$G$$ contiene un subgrupo normal de orden$$p^{r-1}\text{.}$$

## 13

Supongamos que$$G$$ es un grupo finito de orden$$p^n k\text{,}$$ donde$$k \lt p\text{.}$$ Show que$$G$$ debe contener un subgrupo normal.

## 14

Dejar$$H$$ ser un subgrupo de un grupo finito$$G\text{.}$$ Demostrar que$$g N(H) g^{-1} = N(gHg^{-1})$$ para cualquier$$g \in G\text{.}$$

## 15

Demostrar que un grupo de orden$$108$$ debe tener un subgrupo normal.

## 16

Clasificar todos los grupos de orden$$175$$ hasta isomorfismo.

## 17

Demostrar que cada grupo de orden$$255$$ es cíclico.

## 18

Vamos a$$G$$ tener orden$$p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$ y supongamos que$$G$$ tiene$$n$$ Sylow$$p$$ -subgrupos$$P_1, \ldots, P_n$$ donde$$|P_i| = p_i^{e_i}\text{.}$$ Demostrar que$$G$$ es isomórfico a$$P_1 \times \cdots \times P_n\text{.}$$

## 19

Let$$P$$ be a normal Sylow$$p$$ -subgrupo de$$G\text{.}$$ Demostrar que cada automorfismo interno de$$G$$ correcciones$$P\text{.}$$

## 20

¿Cuál es el orden más pequeño posible de un grupo$$G$$ tal que no$$G$$ es abeliano y$$|G|$$ es impar? ¿Puedes encontrar un grupo así?

## 21. El lema Frattini

Si$$H$$ es un subgrupo normal de un grupo finito$$G$$ y$$P$$ es un Sylow$$p$$ -subgrupo de$$H\text{,}$$ para cada$$g \in G$$ show que hay un$$h$$ en$$H$$ tal que$$gPg^{-1} = hPh^{-1}\text{.}$$ También, mostrar que si$$N$$ es el normalizador de$$P\text{,}$$ entonces$$G= HN\text{.}$$

## 22

Mostrar que si el orden de$$G$$ es$$p^nq\text{,}$$ donde$$p$$ y$$q$$ son primos y$$p>q\text{,}$$ luego$$G$$ contiene un subgrupo normal.

## 23

Demostrar que el número de conjugados distintos de un subgrupo$$H$$ de un grupo finito$$G$$ es$$[G : N(H) ]\text{.}$$

## 24

Demostrar que un$$2$$ subgrupo de Sylow$$S_5$$ es isomórfico a$$D_4\text{.}$$

## 25. Otra prueba de los teoremas de Sylow

1. Supongamos que$$p$$ es primo y$$p$$ no divide$$m\text{.}$$ Mostrar eso

$p \nmid \binom{p^k m}{p^k}\text{.} \nonumber$

2. Dejar$${\mathcal S}$$ denotar el conjunto de todos los subconjuntos de$$p^k$$ elementos de$$G\text{.}$$ Show que$$p$$ no divide$$|{\mathcal S}|\text{.}$$
3. Definir una acción de$$G$$ on$${\mathcal S}$$ por multiplicación izquierda,$$aT = \{ at : t \in T \}$$ para$$a \in G$$ y$$T \in {\mathcal S}\text{.}$$ Demostrar que se trata de una acción grupal.
4. Demostrar$$p \nmid | {\mathcal O}_T|$$ para algunos$$T \in {\mathcal S}\text{.}$$
5. Que$$\{ T_1, \ldots, T_u \}$$ sea una órbita tal que$$p \nmid u$$ y$$H = \{ g \in G : gT_1 = T_1 \}\text{.}$$ Demostrar que$$H$$ es un subgrupo de$$G$$ y demostrar que$$|G| = u |H|\text{.}$$
6. Demostrar que$$p^k$$ divide$$|H|$$ y$$p^k \leq |H|\text{.}$$
7. Demostrar que$$|H| = |{\mathcal O}_T| \leq p^k\text{;}$$ concluyan que por tanto$$p^k = |H|\text{.}$$

## 26

Seamos$$G$$ un grupo. Demostrar que$$G' = \langle a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \rangle$$ es un subgrupo normal de$$G$$ y$$G/G'$$ es abeliano. Encuentra un ejemplo para mostrar que no$$\{ a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \}$$ es necesariamente un grupo.

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