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15.4: Ejercicios

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1

    ¿Cuáles son las órdenes de todos los\(p\) subgrupos de Sylow donde\(G\) tiene orden\(18\text{,}\)\(24\text{,}\)\(54\text{,}\)\(72\text{,}\) y\(80\text{?}\)

    2

    Encuentra todos los\(3\) subgrupos de Sylow\(S_4\) y demuestra que todos son conjugados.

    3

    Mostrar que cada grupo de orden\(45\) tiene un subgrupo normal de orden\(9\text{.}\)

    4

    Let\(H\) Be a Sylow\(p\) -subgrupo de\(G\text{.}\) Prove que\(H\) es el único Sylow\(p\) -subgrupo de\(G\) contenido en\(N(H)\text{.}\)

    5

    Demostrar que ningún grupo de orden\(96\) es sencillo.

    6

    Demostrar que ningún grupo de orden\(160\) es sencillo.

    7

    Si\(H\) es un subgrupo normal de un grupo finito\(G\) y\(|H| = p^k\) para algún\(p\text{,}\) programa primo que\(H\) está contenido en cada\(p\) subgrupo Sylow de\(G\text{.}\)

    8

    Dejemos\(G\) ser un grupo de orden\(p^2 q^2\text{,}\) donde\(p\) y\(q\) sean primos distintos de tal manera que\(q \nmid p^2 - 1\) y\(p \nmid q^2 - 1\text{.}\) Demostrar que\(G\) deben ser abelianos. Encuentra un par de primos para los que esto es cierto.

    9

    Mostrar que un grupo de orden\(33\) tiene sólo un\(3\) subgrupo de Sylow.

    10

    Dejar\(H\) ser un subgrupo de un grupo\(G\text{.}\) Demostrar o desacreditar que el normalizador de\(H\) es normal en\(G\text{.}\)

    11

    Dejar\(G\) ser un grupo finito cuyo orden es divisible por un primo\(p\text{.}\) Demostrar que si solo hay un\(p\) subgrupo Sylow en\(G\text{,}\) él debe ser un subgrupo normal de\(G\text{.}\)

    12

    Dejemos\(G\) ser un grupo de orden\(p^r\text{,}\)\(p\) prime. Demostrar que\(G\) contiene un subgrupo normal de orden\(p^{r-1}\text{.}\)

    13

    Supongamos que\(G\) es un grupo finito de orden\(p^n k\text{,}\) donde\(k \lt p\text{.}\) Show que\(G\) debe contener un subgrupo normal.

    14

    Dejar\(H\) ser un subgrupo de un grupo finito\(G\text{.}\) Demostrar que\(g N(H) g^{-1} = N(gHg^{-1})\) para cualquier\(g \in G\text{.}\)

    15

    Demostrar que un grupo de orden\(108\) debe tener un subgrupo normal.

    16

    Clasificar todos los grupos de orden\(175\) hasta isomorfismo.

    17

    Demostrar que cada grupo de orden\(255\) es cíclico.

    18

    Vamos a\(G\) tener orden\(p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}\) y supongamos que\(G\) tiene\(n\) Sylow\(p\) -subgrupos\(P_1, \ldots, P_n\) donde\(|P_i| = p_i^{e_i}\text{.}\) Demostrar que\(G\) es isomórfico a\(P_1 \times \cdots \times P_n\text{.}\)

    19

    Let\(P\) be a normal Sylow\(p\) -subgrupo de\(G\text{.}\) Demostrar que cada automorfismo interno de\(G\) correcciones\(P\text{.}\)

    20

    ¿Cuál es el orden más pequeño posible de un grupo\(G\) tal que no\(G\) es abeliano y\(|G|\) es impar? ¿Puedes encontrar un grupo así?

    21. El lema Frattini

    Si\(H\) es un subgrupo normal de un grupo finito\(G\) y\(P\) es un Sylow\(p\) -subgrupo de\(H\text{,}\) para cada\(g \in G\) show que hay un\(h\) en\(H\) tal que\(gPg^{-1} = hPh^{-1}\text{.}\) También, mostrar que si\(N\) es el normalizador de\(P\text{,}\) entonces\(G= HN\text{.}\)

    22

    Mostrar que si el orden de\(G\) es\(p^nq\text{,}\) donde\(p\) y\(q\) son primos y\(p>q\text{,}\) luego\(G\) contiene un subgrupo normal.

    23

    Demostrar que el número de conjugados distintos de un subgrupo\(H\) de un grupo finito\(G\) es\([G : N(H) ]\text{.}\)

    24

    Demostrar que un\(2\) subgrupo de Sylow\(S_5\) es isomórfico a\(D_4\text{.}\)

    25. Otra prueba de los teoremas de Sylow

    1. Supongamos que\(p\) es primo y\(p\) no divide\(m\text{.}\) Mostrar eso

      \[ p \nmid \binom{p^k m}{p^k}\text{.} \nonumber \]

    2. Dejar\({\mathcal S}\) denotar el conjunto de todos los subconjuntos de\(p^k\) elementos de\(G\text{.}\) Show que\(p\) no divide\(|{\mathcal S}|\text{.}\)
    3. Definir una acción de\(G\) on\({\mathcal S}\) por multiplicación izquierda,\(aT = \{ at : t \in T \}\) para\(a \in G\) y\(T \in {\mathcal S}\text{.}\) Demostrar que se trata de una acción grupal.
    4. Demostrar\(p \nmid | {\mathcal O}_T|\) para algunos\(T \in {\mathcal S}\text{.}\)
    5. Que\(\{ T_1, \ldots, T_u \}\) sea una órbita tal que\(p \nmid u\) y\(H = \{ g \in G : gT_1 = T_1 \}\text{.}\) Demostrar que\(H\) es un subgrupo de\(G\) y demostrar que\(|G| = u |H|\text{.}\)
    6. Demostrar que\(p^k\) divide\(|H|\) y\(p^k \leq |H|\text{.}\)
    7. Demostrar que\(|H| = |{\mathcal O}_T| \leq p^k\text{;}\) concluyan que por tanto\(p^k = |H|\text{.}\)

    26

    Seamos\(G\) un grupo. Demostrar que\(G' = \langle a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \rangle\) es un subgrupo normal de\(G\) y\(G/G'\) es abeliano. Encuentra un ejemplo para mostrar que no\(\{ a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \}\) es necesariamente un grupo.


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