15.7: Salvia

Subgrupos de Sylow

El método de grupo de permutación de Sage .sylow_subgroup (p) devolverá un solo\(p\) subgrupo Sylow. Si el primo no es un divisor propio del orden de grupo, devuelve un subgrupo de orden\(p^0\text{,}\) en otras palabras, un subgrupo trivial. Así que ten cuidado con cómo construyes tus primos. A veces, es posible que solo desee uno de esos subgrupos de Sylow, ya que dos\(p\) subgrupos de Sylow son conjugados, y por lo tanto isomórficos (Teorema\(15.7\)). Esto también significa que podemos crear otros\(p\) subgrupos de Sylow conjugando el que tenemos. El método del grupo de permutación .conjugado (g) conjugará el grupo por g.

Con conjugaciones repetidas de un solo\(p\) subgrupo de Sylow, siempre crearemos subgrupos duplicados. Entonces necesitamos usar una construcción un poco complicada para formar una lista de solo los subgrupos únicos como la lista de conjugados. Esta rutina que calcula todos los\(p\) subgrupos de Sylow puede ser útil a lo largo de esta sección. Podría hacerse mucho más eficiente conjugando con solo un elemento por coconjunto del normalizador, pero será suficiente para nuestros propósitos aquí. Asegúrese de ejecutar la siguiente celda si está en línea, por lo que la función se define para su uso posterior.

Investiguemos los subgrupos de Sylow del grupo diedro\(D_{18}\text{.}\) Como grupo de orden\(36=2^2\cdot 3^2\text{,}\) sabemos por el Primer Teorema de Sylow que existe un Sylow\(2\) -subgrupo de orden\(4\) y un Sylow\(3\) -subgrupo de orden\(9\text{.}\) Primero para\(p=2\text{,}\) obtenemos uno Sylow\(2\) - , formar todos los conjugados y formar una lista de subgrupos no duplicados. (Estos comandos tardan un tiempo en ejecutarse, así que ten paciencia).

El Tercer Teorema de Sylow nos dice que para nosotros\(p=2\) esperaríamos\(1, 3\) o\(9\) Sylow\(2\) -subgrupos, por lo que nuestro resultado computacional de\(9\) subgrupos es consistente con lo que predice la teoría. ¿Se puede visualizar cada uno de estos subgrupos como simetrías de un\(18\) -gon? Observe que también tenemos muchos subgrupos de orden\(2\) dentro de estos subgrupos de orden\(4\text{.}\)

Ahora para el caso de\(p=3\text{.}\)

¿Qué predice el Tercer Teorema de Sylow? Solo\(1\) o\(4\) Sylow\(3\) -subgrupos. Habiendo encontrado un solo subgrupo computacionalmente, sabemos que todos los conjugados del único\(3\) subgrupo Sylow son iguales. En otras palabras, el\(3\) subgrupo Sylow es normal en\(D_{18}\text{.}\) Comprobemos de todos modos.

Al menos uno de los subgrupos de orden\(3\) contenidos en este\(3\) subgrupo Sylow debería ser obvio al mirar las órdenes de los generadores, y entonces incluso se puede notar que los generadores dados podrían reducirse, y uno es una potencia del otro.

Recuerda que hay muchos otros subgrupos, de otros órdenes. Por ejemplo, ¿puede construir un subgrupo de orden\(6=2\cdot 3\) en\(D_{18}\text{?}\)

Normalizadores

Un nuevo comando que es relevante para esta sección es la construcción de un normalizador. El comando Sage g.Normalizer (H) devolverá el subgrupo de G que contiene elementos que normalizan el subgrupo H. Ilustramos su uso con los subgrupos de Sylow desde arriba.

El normalizador de un subgrupo siempre contiene todo el subgrupo, por lo que el normalizador de S2 es lo más pequeño posible. Ya sabíamos que S3 es normal en G, por lo que no es de sorprender que su normalizador sea lo más grande posible — cada elemento de G normaliza S3. Vamos a calcular un normalizador en\(D_{18}\) eso es más “interesante”.

Entonces para este subgrupo de orden\(6\text{,}\) el normalizador es estrictamente mayor que el subgrupo, pero aún estrictamente más pequeño que todo el grupo (y por lo tanto no es normal en el grupo diedro). Trivialmente, un subgrupo es normal en su normalizador:

Grupos Finitos Simples

Vimos anteriormente el método de grupo de permutación de Sage .is_simple (). El ejemplo nos\(15.16\) dice que un grupo de orden nunca\(64\) es sencillo. El grupo dicíclico DicyclicGroup (16) es un grupo no abeliano de\(64\text{,}\) por lo que podemos probar este método en este grupo. Resulta que este grupo tiene muchos subgrupos normales —la lista contendrá siempre el subgrupo trivial y el propio grupo, por lo que cualquier número que exceda\(2\) indica un subgrupo normal no trivial.

Aquí hay un grupo bastante interesante, uno de los grupos simples\(26\) esporádicos, conocido como el grupo Higman-Sims,\(HS\text{.}\) Los generadores utilizados a continuación provienen de la representación en 100 puntos en web.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/spor/HS/. Dos generadores de justo orden\(2\) y orden\(5\) (como puedes ver esily), generando exactamente\(44\,352\,000\) elementos, pero no subgrupos normales. Increíble.

Vimos a este grupo antes en los ejercicios para el Capítulo 14 sobre acciones grupales, donde se trataba del único subgrupo normal no trivial del grupo de automorfismo de la gráfica Higman-Sims, de ahí su nombre.

Consola e interfaz GAP

Esto concluye nuestro estudio exclusivo de la teoría de grupos, aunque utilizaremos grupos algunos en las secciones siguientes. Como hemos comentado, gran parte del cálculo de Sage con grupos es realizado por el programa de código abierto, “Grupos, Algoritmos y Programación”, que es mejor conocido como simplemente GAP. Si después de este curso superas el apoyo de Sage a los grupos, entonces aprender GAP sería tu siguiente paso como teórico de grupo. Cada copia de Sage incluye una copia de GAP y es fácil ver qué versión de GAP está incluida:

Puedes interactuar con GAP en Sage de varias maneras. El más directo es mediante la creación de un grupo de permutación a través del comando gap () de Sage.

Ahora podemos usar casi cualquier comando GAP con G, a través de la convención de que la mayoría de los comandos GAP esperan un grupo como primer argumento, y en su lugar proporcionamos el grupo usando la G orientada a objetos. sintaxis. Si consultas la documentación de GAP verás que Center es un comando GAP que espera un grupo como su argumento solitario, y Centralizer es un comando GAP que espera dos argumentos: un grupo y luego un elemento group.

Si usas la interfaz de Sage Notebook puedes establecer la primera línea de una celda de cómputos en %gap y toda la celda se interpretará como si estuvieras interactuando directamente con GAP. Esto significa que ahora usarías la sintaxis de GAP, que puedes ver arriba es ligeramente diferente a la sintaxis universal de Sage. También puede usar el cuadro desplegable en la parte superior de una hoja de trabajo, y seleccionar gap como el sistema (en lugar de sabio) y toda su hoja de trabajo se interpretará como comandos GAP. Aquí hay un ejemplo sencillo, que deberías poder evaluar en tu hoja de trabajo actual. Este ejemplo en particular no se ejecutará correctamente en una celda de Sage en una versión de página web de esta sección.

Observe que

• No necesitamos envolver las permutaciones individuales en tantas comillas como lo hacemos en Sage.
• La asignación es: = no =. Si olvida los dos puntos, obtendrá un mensaje de error como Variable: 'G' debe tener un valor
• Una línea debe terminar con punto y coma. Si se olvida, varias líneas se fusionarán entre sí.

Puedes obtener ayuda sobre los comandos GAP con un comando como el siguiente, aunque pronto verás que GAP asume que conoces mucho más álgebra de lo que Sage supone que conoces.

En la versión de línea de comandos de Sage, también puedes usar la “consola” de GAP. Nuevamente, necesitas usar la sintaxis GAP, y no tienes muchas de las comodidades del cuaderno Sage. También es bueno saber de antemano que dejar de fumar; es como puedes salir de la consola GAP y volver a Sage. Si ejecuta Sage en la línea de comandos, use el comando gap_console () para iniciar la ejecución de GAP.

Es un consuelo saber que con Sage obtienes una copia completa de GAP, instalada y todo listo para funcionar. Sin embargo, este no es un tutorial sobre GAP, así que consulta la documentación disponible en la página principal de GAP: www.gap-system.org para aprender a sacar el máximo provecho de GAP.