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15.8: Ejercicios de salvia

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    1

    Este ejercicio verifica el Teorema\(15.13\). El subgrupo de conmutador se calcula con el método de grupo de permutación .commutator (). Para el grupo diedro de orden\(40\text{,}\)\(D_{20}\) (DiedralGroup (20) en Sage), computar el subgrupo de conmutador y formar el cociente con el grupo diedro. Después verificar que este cociente sea abeliano. ¿Se puede identificar exactamente el grupo cociente (en otras palabras, hasta el isomorfismo)?

    2

    Para cada primo posible, encuentra todos los distintos\(p\) subgrupos de Sylow del grupo alterno\(A_5\text{.}\) Confirma que tus resultados son consistentes con el Tercer Teorema de Sylow para cada primo. Sabemos que\(A_5\) es un grupo sencillo. Explica cómo esto explicaría o predeciría algunos aspectos de tus respuestas.

    Cuenta el número de elementos distintos contenidos en la unión de todos los subgrupos de Sylow que acabas de encontrar. ¿Qué tiene de interesante este conteo?

    3

    Para el grupo diedro\(D_{36}\) (simetrías de un\(36\) -gon) y cada primo posible, determinar las posibilidades para el número de distintos\(p\) subgrupos de Sylow según lo predicho por el Tercer Teorema de Sylow (Teorema 15.8). Ahora calcula el número real de distintos\(p\) subgrupos Sylow para cada primo y comenta el resultado.

    Se puede probar que cualquier grupo con orden no\(72\) es un grupo simple, utilizando técnicas como las utilizadas en los ejemplos posteriores de este capítulo. Discuta este resultado en el contexto de sus cálculos con Sage.

    4

    Este ejercicio verifica Lemma\(15.6\). Dejar\(G\) ser el grupo diedro de orden\(36\text{,}\)\(D_{18}\text{.}\) Let\(H\) be the one Sylow\(3\) -subgrupo. Dejar\(K\) ser el subgrupo de orden\(6\) generado por las dos permutaciones a y b que se dan a continuación. Primero, formar una lista de los distintos conjugados de\(K\) por los elementos de\(H\text{,}\) y determinar el número de subgrupos en esta lista. Compare esto con el índice dado en la sentencia del lema, empleando una sola instrucción (long) haciendo uso de los métodos .order (), .normalizer () y .intersección () con G,\(H\) y\(K\text{,}\) solo.

    5

    \(15.19\)El ejemplo muestra que cada grupo de orden\(48\) tiene un subgrupo normal. Los grupos dicíclicos son una familia infinita de grupos no abelianos con orden\(4n\text{,}\) que incluye los cuaterniones (el caso de\(n=2\)). Entonces el grupo de permutación DicyclicGroup (12) tiene orden 48. Utilice Sage para seguir la lógica de la prueba en el Ejemplo 15.19 y construir un subgrupo normal en este grupo. (En otras palabras, no solo pida una lista de los subgrupos normales a Sage, sino que rastre a través de las implicaciones en el ejemplo para llegar a un subgrupo normal, y luego verifique su respuesta.)

    6

    Las pruebas del Segundo y Tercer Teoremas de Sylow (Teorema\(15.7\), Teorema\(15.8\)) emplean una acción grupal sobre conjuntos de\(p\) subgrupos de Sylow, Para el Segundo Teorema, la lista se propone como incompleta y se demuestra que son todos los\(p\) subgrupos de Sylow. En este ejercicio veremos cómo se comportan estas acciones, y cómo son diferentes cuando usamos diferentes grupos actuando sobre un mismo conjunto.

    Construir los seis\(5\) subgrupos Sylow del grupo alterno\(A_5\text{.}\) Este será el conjunto de objetos para nuestras dos acciones. Conjugar uno de estos\(5\) subgrupos de Sylow por un elemento de\(A_5\) producirá otro\(5\) subgrupo Sylow, y así se puede usar para crear una acción grupal. Para tal acción, de cada elemento grupal forman una permutación Sage de los subgrupos numerando los seis subgrupos y utilizando estos enteros como marcadores para los subgrupos. Encontrará muy útil el método de lista de Python .index (). Ahora usa todas estas permutaciones para generar un grupo de permutaciones (un subgrupo de\(S_6\)). Finalmente, utilizar métodos de grupos de permutación para órbitas y estabilizantes, etc. para explorar las acciones.

    Para la primera acción, utilizar todos\(A_5\) como grupo. Mostrar que la acción resultante es transitiva. En otras palabras, hay exactamente una sola órbita.

    Para la segunda acción, use solo uno de los\(5\) subgrupos de Sylow como grupo. Escribir la ecuación de clase para esta acción en un formato que sugiera la parte “congruente con\(1\) mod\(p\)” de la conclusión del Tercer Teorema.


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