16.2: Ejercicios de salvia

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 111123

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

1

Definir los dos anillos\({\mathbb Z}_{11}\) y\({\mathbb Z}_{12}\) con los comandos R = Enteros (11) y S = Enteros (12). Para cada anillo, utilice el comando relevante para determinar: si el anillo es finito, si es conmutativo, si es un dominio integral y si es un campo. Luego use comandos Sage individuales para encontrar el orden del anillo, enumerar los elementos y generar la identidad multiplicativa (es decir,\(1\text{,}\) si existe).

2

Define R para que sea el anillo de enteros,\({\mathbb Z}\text{,}\) ejecutando R = ZZ o R = Enteros (). Un comando como R.ideal (4) creará el ideal principal\(\langle 4\rangle\text{.}\) El mismo comando puede aceptar más de un generador, así por ejemplo, R.ideal (3, 5) creará el ideal\(\{a\cdot 3+ b\cdot 5\mid a,b\in{\mathbb Z}\}\text{.}\) Crea varios ideales de\({\mathbb Z}\) con dos generadores y pide a Sage que imprima cada uno a medida que creas ello. Explica lo que observas y luego crea un código que pondrá a prueba tu observación para miles de ejemplos diferentes.

3

Crea un campo finito\(F\) de orden 81 con F. =Campo finito (3^4)<t>.

Enumerar los elementos de\(F\text{.}\)
Obtener los generadores de\(F\) con F.gens ().
Obtener el primer generador de\(F\) y guardarlo como u con u = F.0 (alternativamente, u = F.gen (0)).
Calcular los primeros 80 poderes de u y comentar.
El generador con el que has trabajado arriba es una raíz de un polinomio sobre\({\mathbb Z}_3\text{.}\) Obtén este polinomio con F.modulus () y utiliza esta observación para explicar la entrada en tu lista de potencias que es la cuarta potencia del generador.

4

Construya y analice un anillo de cociente de la siguiente manera:

Use P. =Enteros (7) [] <z>para construir un anillo\(P\) de polinomios en\(z\) con coeficientes de\({\mathbb Z}_7\text{.}\)
Usa K = P.Ideal (z^2+z+3) para construir un ideal principal\(K\) generado por el polinomio\(z^2+z+3\text{.}\)
Usa H = P.Quotient (K) para construir\(H\text{,}\) el anillo de cociente de\(P\) by\(K\text{.}\)
Usa Sage para verificar que\(H\) es un campo.
Al igual que en el ejercicio anterior, obtener un generador y examinar la correcta recolección de poderes de ese generador.