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# 16.4: Dominios y Campos Integrales

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Recordemos brevemente algunas definiciones. Si$$R$$ es un anillo conmutativo y$$r$$ es un elemento distinto de cero en$$R\text{,}$$ entonces$$r$$ se dice que es un divisor cero si hay algún elemento distinto de cero$$s \in R$$ tal que$$rs = 0\text{.}$$ Un anillo conmutativo con identidad se dice que es una integral dominio si no tiene divisores cero. Si un elemento$$a$$ en un anillo$$R$$ con identidad tiene un inverso multiplicativo, decimos que$$a$$ es una unidad. Si cada elemento distinto de cero en un anillo$$R$$ es una unidad, entonces$$R$$ se llama anillo de división. Un anillo de división conmutativa se llama campo.

Ejemplo$$16.12$$

Si$$i^2 = -1\text{,}$$ entonces el conjunto$${\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}$$ forma un anillo conocido como los enteros gaussianos. Se ve fácilmente que los enteros gaussianos son una subring de los números complejos ya que se cierran bajo suma y multiplicación. Dejar$$\alpha = a + bi$$ ser una unidad en$${\mathbb Z}[ i ]\text{.}$$ Entonces también$$\overline{\alpha} = a - bi$$ es una unidad ya que si$$\alpha \beta = 1\text{,}$$ entonces$$\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}$$ Si$$\beta = c + di\text{,}$$

Solución

entonces

$1 = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2)\text{.} \nonumber$

Por lo tanto,$$a^2 + b^2$$ debe ser$$1$$ o$$-1\text{;}$$ o, equivalentemente,$$a + bi = \pm 1$$ o$$a + bi = \pm i\text{.}$$ Por lo tanto, las unidades de este anillo son$$\pm 1$$ y$$\pm i\text{;}$$ por lo tanto, los enteros gaussianos no son un campo. Lo dejaremos como un ejercicio para probar que los enteros gaussianos son un dominio integral.

Ejemplo$$16.13$$

El conjunto de matrices

$F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \nonumber$

Solución

con entradas en$${\mathbb Z}_2$$ formas un campo.

Ejemplo$$16.14$$

El conjunto$${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}$$ es un campo. La inversa de un elemento$$a + b \sqrt{2}$$ en$${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )$$ es

Solución

$\frac{a}{a^2 - 2 b^2} +\frac{- b}{ a^2 - 2 b^2} \sqrt{2}\text{.} \nonumber$

Tenemos la siguiente caracterización alternativa de dominios integrales.

Proposición$$16.15$$. Cancellation Law

$$D$$Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Entonces$$D$$ es un dominio integral si y solo si para todos los elementos distintos de cero$$a \in D$$ con$$ab = ac\text{,}$$ tenemos$$b=c\text{.}$$

Prueba

Seamos$$D$$ un dominio integral. Entonces no$$D$$ tiene cero divisores. Que$$ab = ac$$ con$$a \neq 0\text{.}$$ Entonces$$a(b - c) =0\text{.}$$ De ahí,$$b - c = 0$$ y$$b = c\text{.}$$

Por el contrario, supongamos que la cancelación es posible en Es$$D\text{.}$$ decir, supongamos que eso$$ab = ac$$ implica$$b=c\text{.}$$ Let$$ab = 0\text{.}$$ If$$a \neq 0\text{,}$$ entonces$$ab = a 0$$ o$$b=0\text{.}$$ Por lo tanto,$$a$$ no puede ser un divisor cero.

El siguiente teorema sorprendente se debe a Wedderburn.

Teorema$$16.16$$

Cada dominio integral finito es un campo.

Prueba

Dejar$$D$$ ser un dominio integral finito y$$D^\ast$$ ser el conjunto de elementos distintos de cero de$$D\text{.}$$ Debemos demostrar que cada elemento en$$D^*$$ tiene una inversa. Para cada uno$$a \in D^\ast$$ podemos definir un mapa$$\lambda_a : D^\ast \rightarrow D^\ast$$ por$$\lambda_a(d) = ad\text{.}$$ Este mapa tiene sentido, porque si$$a \neq 0$$ y$$d \neq 0\text{,}$$ luego$$ad \neq 0\text{.}$$ El mapa$$\lambda_a$$ es uno a uno, ya que para$$d_1, d_2 \in D^*\text{,}$$

$ad_1 = \lambda_a(d_1) = \lambda_a(d_2) = ad_2 \nonumber$

implica$$d_1 = d_2$$ por cancelación izquierda. Dado que$$D^\ast$$ es un conjunto finito, el mapa también$$\lambda_a$$ debe estar sobre; de ahí, para algunos$$d \in D^\ast\text{,}$$$$\lambda_a(d) = ad = 1\text{.}$$ Por lo tanto,$$a$$ tiene un inverso izquierdo. Ya que$$D$$ es conmutativo, también$$d$$ debe ser un inverso correcto para$$a\text{.}$$ Consecuentemente,$$D$$ es un campo.

Para cualquier entero no negativo$$n$$ y cualquier elemento$$r$$ en un anillo$$R$$ escribimos$$r + \cdots + r$$ ($$n$$veces) como$$nr\text{.}$$ Definimos la característica de un anillo$$R$$ para que sea el entero menos positivo$$n$$ tal que$$nr = 0$$ para todos$$r \in R\text{.}$$ Si no existe tal entero, entonces la característica de$$R$$ se define como$$0\text{.}$$ Vamos a denotar la característica de$$R$$ por$$\chr R\text{.}$$

Ejemplo$$16.17$$

Por cada primo$$p\text{,}$$$${\mathbb Z}_p$$ es un campo de características$$p\text{.}$$

Solución

Por Proposición$$3.4$$, cada elemento distinto de cero en$${\mathbb Z}_p$$ tiene una inversa; por lo tanto,$${\mathbb Z}_p$$ es un campo. Si$$a$$ hay algún elemento distinto de cero en el campo, entonces$$pa =0\text{,}$$ dado que el orden de cualquier elemento distinto de cero en el grupo abeliano$${\mathbb Z}_p$$ es$$p\text{.}$$

Lema$$16.18$$

$$R$$Déjese ser un anillo con identidad. Si$$1$$ tiene orden$$n\text{,}$$ entonces la característica de$$R$$ es$$n\text{.}$$

Prueba

Si$$1$$ tiene orden$$n\text{,}$$ entonces$$n$$ es el número entero menos positivo tal que$$n 1 = 0\text{.}$$ Así, para todos$$r \in R\text{,}$$

$nr = n(1r) = (n 1) r = 0r = 0\text{.} \nonumber$

Por otro lado, si no$$n$$ existe ningún positivo tal que$$n1 = 0\text{,}$$ entonces la característica de$$R$$ es cero.

Teorema$$16.19$$

La característica de un dominio integral es primo o cero.

Prueba

$$D$$Sea un dominio integral y supongamos que la característica de$$D$$ es$$n$$ con$$n \neq 0\text{.}$$ Si no$$n$$ es primo, entonces$$n = ab\text{,}$$ donde$$1 \lt a \lt n$$ y$$1 \lt b \lt n\text{.}$$ Por Lema$$16.18$$, solo necesitamos considerar el caso$$n 1 = 0\text{.}$$ Desde$$0 = n 1 = (ab)1 = (a1)(b1)$$ y no hay cero divisores en$$D\text{,}$$ cualquiera$$a1 =0$$ o$$b1=0\text{.}$$ por lo tanto, la característica de$$D$$ debe ser menor de$$n\text{,}$$ lo que es una contradicción. Por lo tanto,$$n$$ debe ser prime.

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