16.4: Dominios y Campos Integrales

Recordemos brevemente algunas definiciones. Si\(R\) es un anillo conmutativo y\(r\) es un elemento distinto de cero en\(R\text{,}\) entonces\(r\) se dice que es un divisor cero si hay algún elemento distinto de cero\(s \in R\) tal que\(rs = 0\text{.}\) Un anillo conmutativo con identidad se dice que es una integral dominio si no tiene divisores cero. Si un elemento\(a\) en un anillo\(R\) con identidad tiene un inverso multiplicativo, decimos que\(a\) es una unidad. Si cada elemento distinto de cero en un anillo\(R\) es una unidad, entonces\(R\) se llama anillo de división. Un anillo de división conmutativa se llama campo.

Ejemplo\(16.12\)

Si\(i^2 = -1\text{,}\) entonces el conjunto\({\mathbb Z}[ i ] = \{ m + ni : m, n \in {\mathbb Z} \}\) forma un anillo conocido como los enteros gaussianos. Se ve fácilmente que los enteros gaussianos son una subring de los números complejos ya que se cierran bajo suma y multiplicación. Dejar\(\alpha = a + bi\) ser una unidad en\({\mathbb Z}[ i ]\text{.}\) Entonces también\(\overline{\alpha} = a - bi\) es una unidad ya que si\(\alpha \beta = 1\text{,}\) entonces\(\overline{\alpha} \overline{\beta} = 1\text{.}\) Si\(\beta = c + di\text{,}\)

Solución

entonces

\[ 1 = \alpha \beta \overline{\alpha} \overline{\beta} = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2)\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto,\(a^2 + b^2\) debe ser\(1\) o\(-1\text{;}\) o, equivalentemente,\(a + bi = \pm 1\) o\(a + bi = \pm i\text{.}\) Por lo tanto, las unidades de este anillo son\(\pm 1\) y\(\pm i\text{;}\) por lo tanto, los enteros gaussianos no son un campo. Lo dejaremos como un ejercicio para probar que los enteros gaussianos son un dominio integral.

Ejemplo\(16.13\)

El conjunto de matrices

\[ F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \nonumber \]

Solución

con entradas en\({\mathbb Z}_2\) formas un campo.

Ejemplo\(16.14\)

El conjunto\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) es un campo. La inversa de un elemento\(a + b \sqrt{2}\) en\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\) es

Solución

\[ \frac{a}{a^2 - 2 b^2} +\frac{- b}{ a^2 - 2 b^2} \sqrt{2}\text{.} \nonumber \]

Tenemos la siguiente caracterización alternativa de dominios integrales.

Proposición\(16.15\). Cancellation Law

\(D\)Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Entonces\(D\) es un dominio integral si y solo si para todos los elementos distintos de cero\(a \in D\) con\(ab = ac\text{,}\) tenemos\(b=c\text{.}\)

Prueba

Seamos\(D\) un dominio integral. Entonces no\(D\) tiene cero divisores. Que\(ab = ac\) con\(a \neq 0\text{.}\) Entonces\(a(b - c) =0\text{.}\) De ahí,\(b - c = 0\) y\(b = c\text{.}\)

Por el contrario, supongamos que la cancelación es posible en Es\(D\text{.}\) decir, supongamos que eso\(ab = ac\) implica\(b=c\text{.}\) Let\(ab = 0\text{.}\) If\(a \neq 0\text{,}\) entonces\(ab = a 0\) o\(b=0\text{.}\) Por lo tanto,\(a\) no puede ser un divisor cero.

El siguiente teorema sorprendente se debe a Wedderburn.

Teorema\(16.16\)

Cada dominio integral finito es un campo.

Prueba

Dejar\(D\) ser un dominio integral finito y\(D^\ast\) ser el conjunto de elementos distintos de cero de\(D\text{.}\) Debemos demostrar que cada elemento en\(D^*\) tiene una inversa. Para cada uno\(a \in D^\ast\) podemos definir un mapa\(\lambda_a : D^\ast \rightarrow D^\ast\) por\(\lambda_a(d) = ad\text{.}\) Este mapa tiene sentido, porque si\(a \neq 0\) y\(d \neq 0\text{,}\) luego\(ad \neq 0\text{.}\) El mapa\(\lambda_a\) es uno a uno, ya que para\(d_1, d_2 \in D^*\text{,}\)

\[ ad_1 = \lambda_a(d_1) = \lambda_a(d_2) = ad_2 \nonumber \]

implica\(d_1 = d_2\) por cancelación izquierda. Dado que\(D^\ast\) es un conjunto finito, el mapa también\(\lambda_a\) debe estar sobre; de ahí, para algunos\(d \in D^\ast\text{,}\)\(\lambda_a(d) = ad = 1\text{.}\) Por lo tanto,\(a\) tiene un inverso izquierdo. Ya que\(D\) es conmutativo, también\(d\) debe ser un inverso correcto para\(a\text{.}\) Consecuentemente,\(D\) es un campo.

Para cualquier entero no negativo\(n\) y cualquier elemento\(r\) en un anillo\(R\) escribimos\(r + \cdots + r\) (\(n\)veces) como\(nr\text{.}\) Definimos la característica de un anillo\(R\) para que sea el entero menos positivo\(n\) tal que\(nr = 0\) para todos\(r \in R\text{.}\) Si no existe tal entero, entonces la característica de\(R\) se define como\(0\text{.}\) Vamos a denotar la característica de\(R\) por\(\chr R\text{.}\)

Ejemplo\(16.17\)

Por cada primo\(p\text{,}\)\({\mathbb Z}_p\) es un campo de características\(p\text{.}\)

Solución

Por Proposición\(3.4\), cada elemento distinto de cero en\({\mathbb Z}_p\) tiene una inversa; por lo tanto,\({\mathbb Z}_p\) es un campo. Si\(a\) hay algún elemento distinto de cero en el campo, entonces\(pa =0\text{,}\) dado que el orden de cualquier elemento distinto de cero en el grupo abeliano\({\mathbb Z}_p\) es\(p\text{.}\)

Lema\(16.18\)

\(R\)Déjese ser un anillo con identidad. Si\(1\) tiene orden\(n\text{,}\) entonces la característica de\(R\) es\(n\text{.}\)

Prueba

Si\(1\) tiene orden\(n\text{,}\) entonces\(n\) es el número entero menos positivo tal que\(n 1 = 0\text{.}\) Así, para todos\(r \in R\text{,}\)

\[ nr = n(1r) = (n 1) r = 0r = 0\text{.} \nonumber \]

Por otro lado, si no\(n\) existe ningún positivo tal que\(n1 = 0\text{,}\) entonces la característica de\(R\) es cero.

Teorema\(16.19\)

La característica de un dominio integral es primo o cero.

Prueba

\(D\)Sea un dominio integral y supongamos que la característica de\(D\) es\(n\) con\(n \neq 0\text{.}\) Si no\(n\) es primo, entonces\(n = ab\text{,}\) donde\(1 \lt a \lt n\) y\(1 \lt b \lt n\text{.}\) Por Lema\(16.18\), solo necesitamos considerar el caso\(n 1 = 0\text{.}\) Desde\(0 = n 1 = (ab)1 = (a1)(b1)\) y no hay cero divisores en\(D\text{,}\) cualquiera\(a1 =0\) o\(b1=0\text{.}\) por lo tanto, la característica de\(D\) debe ser menor de\(n\text{,}\) lo que es una contradicción. Por lo tanto,\(n\) debe ser prime.