16.9: Ejercicios

1

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son anillos con respecto a las operaciones habituales de suma y multiplicación? Si el conjunto es un anillo, ¿también es un campo?

1. \(\displaystyle 7 {\mathbb Z}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
3. \(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}\)
4. \(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}\)
5. \(\displaystyle {\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}\)
6. \(\displaystyle R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\)
7. \(\displaystyle {\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } i^2 = -1 \}\)
8. \(\displaystyle {\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}\)

2

Que\(R\) sea el anillo de\(2 \times 2\) matrices de la forma

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber \]

donde\(a, b \in {\mathbb R}\text{.}\) Mostrar que aunque\(R\) es un anillo que no tiene identidad, podemos encontrar un subring\(S\) de\(R\) con una identidad.

3

Enumere o caracterícese todas las unidades en cada uno de los siguientes anillos.

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{10}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
3. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{7}\)
4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\)las\(2 \times 2\) matrices con entradas en\({\mathbb Z}\)
5. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}\)las\(2 \times 2\) matrices con entradas en\({\mathbb Z}_2\)

4

Encuentra todos los ideales en cada uno de los siguientes anillos. ¿Cuáles de estos ideales son máximos y cuáles son los primos?

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Z}_{25}\)
3. \({\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}\)las\(2 \times 2\) matrices con entradas en\({\mathbb R}\)
4. \({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\)las\(2 \times 2\) matrices con entradas en\({\mathbb Z}\)
5. \(\displaystyle {\mathbb Q}\)

5

Para cada uno de los siguientes anillos\(R\) con ideal\(I\text{,}\) dar una tabla de adición y una tabla de multiplicar para\(R/I\text{.}\)

1. \(R = {\mathbb Z}\)y\(I = 6 {\mathbb Z}\)
2. \(R = {\mathbb Z}_{12}\)y\(I = \{ 0, 3, 6, 9 \}\)

6

Encuentra todos los homomorfismos\(\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}\)

7

Demostrar que no\({\mathbb R}\) es isomórfico\({\mathbb C}\text{.}\)

8

Demostrar o desmentir: El anillo\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) es isomórfico al anillo\({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\)

9

Cuál es la característica del campo formado por el conjunto de matrices

\[ F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \nonumber \]

con entradas en\({\mathbb Z}_2\text{?}\)

10

Definir un mapa\(\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\) por

\[ \phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber \]

Demostrar que\(\phi\) es un isomorfismo de\({\mathbb C}\) con su imagen en\({\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}\)

11

Demostrar que los enteros gaussianos,\({\mathbb Z}[i ]\text{,}\) son un dominio integral.

12

Demostrar que\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}\) es un dominio integral.

13

Resolver cada uno de los siguientes sistemas de congruencias.

1. \ begin {align*} x &\ equiv 2\ pmod {5}\\ x &\ equiv 6\ pmod {11}\ end {align*}
2. \ begin {alinear*} x &\ equiv 3\ pmod {7}\\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\\ x &\ equiv 5\ pmod {15}\ end {alinear*}
3. \ begin {align*} x &\ equiv 2\ pmod {4}\\ x &\ equiv 4\ pmod {7}\\ x &\ equiv 7\ pmod {9}\\ x &\ equiv 5\ pmod {11}\ end {align*}
4. \ begin {alinear*} x &\ equiv 3\ pmod {5}\\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\\ x &\ equiv 1\ pmod {11}\\ x &\ equiv 5\ pmod {13}\ end {align*}

14

Utilice el método de cálculo paralelo descrito en el texto para calcular\(2234 + 4121\) dividiendo el cálculo en cuatro adiciones separadas módulo\(95\text{,}\)\(97\text{,}\)\(98\text{,}\) y\(99\text{.}\)

15

Explicar por qué falla el método de cálculo paralelo esbozado en el texto para\(2134 \cdot 1531\) si intentamos descomponer el cálculo en dos cálculos más pequeños módulo\(98\) y\(99\text{.}\)

16

Si\(R\) es un campo, mostrar que los dos únicos ideales de\(R\) son\(\{ 0 \}\) y de\(R\) sí mismo.

17

Dejar\(a\) ser cualquier elemento en un anillo\(R\) con identidad. Demostrar que\((-1)a = -a\text{.}\)

18

\(\phi : R \rightarrow S\)Déjese ser un homomorfismo de anillo. Demostrar cada una de las siguientes declaraciones.

1. Si\(R\) es un anillo conmutativo, entonces\(\phi(R)\) es un anillo conmutativo.
2. \(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
3. Dejar\(1_R\) y\(1_S\) ser las identidades para\(R\) y\(S\text{,}\) respectivamente. Si\(\phi\) está encendido, entonces\(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
4. Si\(R\) es un campo y\(\phi(R) \neq 0\text{,}\) luego\(\phi(R)\) es un campo.

19

Demostrar que la ley asociativa para la multiplicación y las leyes distributivas se mantienen en\(R/I\text{.}\)

20

Demostrar el segundo teorema del isomorfismo para anillos: Dejar\(I\) ser un subring de un anillo\(R\) y\(J\) un ideal en\(R\text{.}\) Entonces\(I \cap J\) es un ideal en\(I\) y

\[ I / I \cap J \cong I + J /J\text{.} \nonumber \]

21

Demostrar el Tercer Teorema del Isomorfismo para los anillos: Que\(R\) sean un anillo\(I\) y\(J\) sean ideales de\(R\text{,}\) donde\(J \subset I\text{.}\) Entonces

\[ R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \nonumber \]

22

Demostrar el Teorema de Correspondencia:\(I\) Sea un ideal de un anillo\(R\text{.}\) Entonces\(S \rightarrow S/I\) es una correspondencia uno a uno entre el conjunto de\(I\) subring\(S\) que contiene y el conjunto de subring de\(R/I\text{.}\) Además, los ideales de\(R\) corresponden a ideales de\(R/I\text{.}\)

23

Dejar\(R\) ser un anillo y\(S\) un subconjunto de\(R\text{.}\) Show que\(S\) sea un subring de\(R\) si y solo si se cumple cada una de las siguientes condiciones.

1. \(S \neq \emptyset\text{.}\)
2. \(rs \in S\)para todos\(r, s \in S\text{.}\)
3. \(r - s \in S\)para todos\(r, s \in S\text{.}\)

24

Dejar\(R\) ser un anillo con una colección de subring\(\{ R_{\alpha} \}\text{.}\) Probar que\(\bigcap R_{\alpha}\) es un subring de\(R\text{.}\) Dar un ejemplo para demostrar que la unión de dos subring no es necesariamente un subring.

25

Dejar\(\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}\) ser una colección de ideales en un anillo\(R\text{.}\) Demostrar que también\(\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}\) es un ideal en\(R\text{.}\) Dar un ejemplo para demostrar que si\(I_1\) y\(I_2\) son ideales en\(R\text{,}\) entonces\(I_1 \cup I_2\) puede que no sea un ideal.

26

Seamos\(R\) un dominio integral. Demostrar que si los únicos ideales en\(R\) son\(\{ 0 \}\) y en\(R\) sí mismos,\(R\) debe ser un campo.

27

Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo. Un elemento\(a\) en\(R\) es nilpotente si\(a^n = 0\) para algún entero positivo\(n\text{.}\) Mostrar que el conjunto de todos los elementos nilpotentes forma un ideal en\(R\text{.}\)

28

Un anillo\(R\) es un anillo booleano si por cada\(a \in R\text{,}\)\(a^2 = a\text{.}\) Show que cada anillo booleano es un anillo conmutativo.

29

Déjese\(R\) ser un anillo, donde\(a^3 =a\) para todos\(a \in R\text{.}\)\(R\) Demostrar que debe ser un anillo conmutativo.

30

Dejar\(R\) ser un anillo con identidad\(1_R\) y\(S\) un subring de\(R\) con identidad\(1_S\text{.}\) Demostrar o desacreditar eso\(1_R = 1_S\text{.}\)

31

Si no requerimos que la identidad de un anillo sea distinta de 0, no tendremos una estructura matemática muy interesante. Déjese\(R\) ser un anillo tal que\(1 = 0\text{.}\) Demostrar que\(R = \{ 0 \}\text{.}\)

32

\(R\)Déjese ser un anillo. Definir el centro\(R\) de ser

\[ Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ for all } r \in R \}\text{.} \nonumber \]

Demostrar que\(Z(R)\) es un subring conmutativo de\(R\text{.}\)

33

\(p\)Déjese ser prime. Demostrar que

\[ {\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } \gcd( b,p) = 1 \} \nonumber \]

es un anillo. El anillo\({\mathbb Z}_{(p)}\) se llama el anillo de números enteros localizados en\(p\text{.}\)

34

Demostrar o desmentir: Cada dominio integral finito es isomórfico para\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

35

\(R\)Déjese ser un anillo con identidad.

1. Dejar\(u\) ser una unidad en\(R\text{.}\) Definir un mapa\(i_u : R \rightarrow R\) por\(r \mapsto uru^{-1}\text{.}\) Probar que\(i_u\) es un automorfismo de\(R\text{.}\) Tal automorfismo de\(R\) se llama un automorfismo interno de\(R\text{.}\) Denote el conjunto de todos los automorfismos internos de\(R\) por\(\inn(R)\text{.}\)
2. Denotar el conjunto de todos los automorfismos de\(R\) por\(\aut(R)\text{.}\) Probar que\(\inn(R)\) es un subgrupo normal de\(\aut(R)\text{.}\)
3. Deja\(U(R)\) ser el grupo de unidades en\(R\text{.}\) Demostrar que el mapa

   \[ \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \nonumber \]

   definido por\(u \mapsto i_u\) es un homomorfismo. Determinar el núcleo de\(\phi\text{.}\)

4. Computación\(\aut( {\mathbb Z})\text{,}\)\(\inn( {\mathbb Z})\text{,}\) y\(U( {\mathbb Z})\text{.}\)

36

Dejar\(R\) y\(S\) ser anillos arbitrarios. Demostrar que su producto cartesiano es un anillo si definimos suma y multiplicación en\(R \times S\) por

1. \(\displaystyle (r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')\)
2. \(\displaystyle (r, s)(r', s') = ( rr', ss')\)

37

Un elemento\(x\) en un anillo se llama idempotente si\(x^2 = x\text{.}\) Probar que los únicos idempotentes en un dominio integral son\(0\) y\(1\text{.}\) Encuentra un anillo con un idempotente\(x\) no igual a 0 o 1.

38

Dejar\(\gcd(a, n) = d\) y\(\gcd(b, d) \neq 1\text{.}\) probar que\(ax \equiv b \pmod{n}\) no tiene solución.

39. El teorema del resto chino para anillos

Dejar\(R\) ser un anillo y\(I\) y\(J\) ser ideales en\(R\) tal que\(I+J = R\text{.}\)

1. Demostrar que para cualquiera\(r\) y\(s\) en\(R\text{,}\) el sistema de ecuaciones

   \ begin {align*} x &\ equiv r\ pmod {I}\\ x &\ equiv s\ pmod {J}\ end {align*}

   tiene una solución.

2. Además, demostrar que cualquiera de las dos soluciones del sistema son congruentes módulo\(I \cap J\text{.}\)
3. Dejar\(I\) y\(J\) ser ideales en un anillo\(R\) tal que\(I + J = R\text{.}\) Demuestre que existe un isomorfismo de anillo

   \[ R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J\text{.} \nonumber \]