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# 16.9: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## 1

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son anillos con respecto a las operaciones habituales de suma y multiplicación? Si el conjunto es un anillo, ¿también es un campo?

1. $$\displaystyle 7 {\mathbb Z}$$
2. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{18}$$
3. $$\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}$$
4. $$\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}$$
5. $$\displaystyle {\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}$$
6. $$\displaystyle R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}$$
7. $$\displaystyle {\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } i^2 = -1 \}$$
8. $$\displaystyle {\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}$$

## 2

Que$$R$$ sea el anillo de$$2 \times 2$$ matrices de la forma

$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \nonumber$

donde$$a, b \in {\mathbb R}\text{.}$$ Mostrar que aunque$$R$$ es un anillo que no tiene identidad, podemos encontrar un subring$$S$$ de$$R$$ con una identidad.

## 3

Enumere o caracterícese todas las unidades en cada uno de los siguientes anillos.

1. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{10}$$
2. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{12}$$
3. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{7}$$
4. $${\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}$$las$$2 \times 2$$ matrices con entradas en$${\mathbb Z}$$
5. $${\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}$$las$$2 \times 2$$ matrices con entradas en$${\mathbb Z}_2$$

## 4

Encuentra todos los ideales en cada uno de los siguientes anillos. ¿Cuáles de estos ideales son máximos y cuáles son los primos?

1. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{18}$$
2. $$\displaystyle {\mathbb Z}_{25}$$
3. $${\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}$$las$$2 \times 2$$ matrices con entradas en$${\mathbb R}$$
4. $${\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}$$las$$2 \times 2$$ matrices con entradas en$${\mathbb Z}$$
5. $$\displaystyle {\mathbb Q}$$

## 5

Para cada uno de los siguientes anillos$$R$$ con ideal$$I\text{,}$$ dar una tabla de adición y una tabla de multiplicar para$$R/I\text{.}$$

1. $$R = {\mathbb Z}$$y$$I = 6 {\mathbb Z}$$
2. $$R = {\mathbb Z}_{12}$$y$$I = \{ 0, 3, 6, 9 \}$$

## 6

Encuentra todos los homomorfismos$$\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}$$

## 7

Demostrar que no$${\mathbb R}$$ es isomórfico$${\mathbb C}\text{.}$$

## 8

Demostrar o desmentir: El anillo$${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}$$ es isomórfico al anillo$${\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}$$

## 9

Cuál es la característica del campo formado por el conjunto de matrices

$F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \nonumber$

con entradas en$${\mathbb Z}_2\text{?}$$

## 10

Definir un mapa$$\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})$$ por

$\phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$\phi$$ es un isomorfismo de$${\mathbb C}$$ con su imagen en$${\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}$$

## 11

Demostrar que los enteros gaussianos,$${\mathbb Z}[i ]\text{,}$$ son un dominio integral.

## 12

Demostrar que$${\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}$$ es un dominio integral.

## 13

Resolver cada uno de los siguientes sistemas de congruencias.

1. \ begin {align*} x &\ equiv 2\ pmod {5}\\ x &\ equiv 6\ pmod {11}\ end {align*}
2. \ begin {alinear*} x &\ equiv 3\ pmod {7}\\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\\ x &\ equiv 5\ pmod {15}\ end {alinear*}
3. \ begin {align*} x &\ equiv 2\ pmod {4}\\ x &\ equiv 4\ pmod {7}\\ x &\ equiv 7\ pmod {9}\\ x &\ equiv 5\ pmod {11}\ end {align*}
4. \ begin {alinear*} x &\ equiv 3\ pmod {5}\\ x &\ equiv 0\ pmod {8}\\ x &\ equiv 1\ pmod {11}\\ x &\ equiv 5\ pmod {13}\ end {align*}

## 14

Utilice el método de cálculo paralelo descrito en el texto para calcular$$2234 + 4121$$ dividiendo el cálculo en cuatro adiciones separadas módulo$$95\text{,}$$$$97\text{,}$$$$98\text{,}$$ y$$99\text{.}$$

## 15

Explicar por qué falla el método de cálculo paralelo esbozado en el texto para$$2134 \cdot 1531$$ si intentamos descomponer el cálculo en dos cálculos más pequeños módulo$$98$$ y$$99\text{.}$$

## 16

Si$$R$$ es un campo, mostrar que los dos únicos ideales de$$R$$ son$$\{ 0 \}$$ y de$$R$$ sí mismo.

## 17

Dejar$$a$$ ser cualquier elemento en un anillo$$R$$ con identidad. Demostrar que$$(-1)a = -a\text{.}$$

## 18

$$\phi : R \rightarrow S$$Déjese ser un homomorfismo de anillo. Demostrar cada una de las siguientes declaraciones.

1. Si$$R$$ es un anillo conmutativo, entonces$$\phi(R)$$ es un anillo conmutativo.
2. $$\phi( 0 ) = 0\text{.}$$
3. Dejar$$1_R$$ y$$1_S$$ ser las identidades para$$R$$ y$$S\text{,}$$ respectivamente. Si$$\phi$$ está encendido, entonces$$\phi(1_R) = 1_S\text{.}$$
4. Si$$R$$ es un campo y$$\phi(R) \neq 0\text{,}$$ luego$$\phi(R)$$ es un campo.

## 19

Demostrar que la ley asociativa para la multiplicación y las leyes distributivas se mantienen en$$R/I\text{.}$$

## 20

Demostrar el segundo teorema del isomorfismo para anillos: Dejar$$I$$ ser un subring de un anillo$$R$$ y$$J$$ un ideal en$$R\text{.}$$ Entonces$$I \cap J$$ es un ideal en$$I$$ y

$I / I \cap J \cong I + J /J\text{.} \nonumber$

## 21

Demostrar el Tercer Teorema del Isomorfismo para los anillos: Que$$R$$ sean un anillo$$I$$ y$$J$$ sean ideales de$$R\text{,}$$ donde$$J \subset I\text{.}$$ Entonces

$R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \nonumber$

## 22

Demostrar el Teorema de Correspondencia:$$I$$ Sea un ideal de un anillo$$R\text{.}$$ Entonces$$S \rightarrow S/I$$ es una correspondencia uno a uno entre el conjunto de$$I$$ subring$$S$$ que contiene y el conjunto de subring de$$R/I\text{.}$$ Además, los ideales de$$R$$ corresponden a ideales de$$R/I\text{.}$$

## 23

Dejar$$R$$ ser un anillo y$$S$$ un subconjunto de$$R\text{.}$$ Show que$$S$$ sea un subring de$$R$$ si y solo si se cumple cada una de las siguientes condiciones.

1. $$S \neq \emptyset\text{.}$$
2. $$rs \in S$$para todos$$r, s \in S\text{.}$$
3. $$r - s \in S$$para todos$$r, s \in S\text{.}$$

## 24

Dejar$$R$$ ser un anillo con una colección de subring$$\{ R_{\alpha} \}\text{.}$$ Probar que$$\bigcap R_{\alpha}$$ es un subring de$$R\text{.}$$ Dar un ejemplo para demostrar que la unión de dos subring no es necesariamente un subring.

## 25

Dejar$$\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$$ ser una colección de ideales en un anillo$$R\text{.}$$ Demostrar que también$$\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}$$ es un ideal en$$R\text{.}$$ Dar un ejemplo para demostrar que si$$I_1$$ y$$I_2$$ son ideales en$$R\text{,}$$ entonces$$I_1 \cup I_2$$ puede que no sea un ideal.

## 26

Seamos$$R$$ un dominio integral. Demostrar que si los únicos ideales en$$R$$ son$$\{ 0 \}$$ y en$$R$$ sí mismos,$$R$$ debe ser un campo.

## 27

Dejar$$R$$ ser un anillo conmutativo. Un elemento$$a$$ en$$R$$ es nilpotente si$$a^n = 0$$ para algún entero positivo$$n\text{.}$$ Mostrar que el conjunto de todos los elementos nilpotentes forma un ideal en$$R\text{.}$$

## 28

Un anillo$$R$$ es un anillo booleano si por cada$$a \in R\text{,}$$$$a^2 = a\text{.}$$ Show que cada anillo booleano es un anillo conmutativo.

## 29

Déjese$$R$$ ser un anillo, donde$$a^3 =a$$ para todos$$a \in R\text{.}$$$$R$$ Demostrar que debe ser un anillo conmutativo.

## 30

Dejar$$R$$ ser un anillo con identidad$$1_R$$ y$$S$$ un subring de$$R$$ con identidad$$1_S\text{.}$$ Demostrar o desacreditar eso$$1_R = 1_S\text{.}$$

## 31

Si no requerimos que la identidad de un anillo sea distinta de 0, no tendremos una estructura matemática muy interesante. Déjese$$R$$ ser un anillo tal que$$1 = 0\text{.}$$ Demostrar que$$R = \{ 0 \}\text{.}$$

## 32

$$R$$Déjese ser un anillo. Definir el centro$$R$$ de ser

$Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ for all } r \in R \}\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$Z(R)$$ es un subring conmutativo de$$R\text{.}$$

## 33

$$p$$Déjese ser prime. Demostrar que

${\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ and } \gcd( b,p) = 1 \} \nonumber$

es un anillo. El anillo$${\mathbb Z}_{(p)}$$ se llama el anillo de números enteros localizados en$$p\text{.}$$

## 34

Demostrar o desmentir: Cada dominio integral finito es isomórfico para$${\mathbb Z}_p\text{.}$$

## 35

$$R$$Déjese ser un anillo con identidad.

1. Dejar$$u$$ ser una unidad en$$R\text{.}$$ Definir un mapa$$i_u : R \rightarrow R$$ por$$r \mapsto uru^{-1}\text{.}$$ Probar que$$i_u$$ es un automorfismo de$$R\text{.}$$ Tal automorfismo de$$R$$ se llama un automorfismo interno de$$R\text{.}$$ Denote el conjunto de todos los automorfismos internos de$$R$$ por$$\inn(R)\text{.}$$
2. Denotar el conjunto de todos los automorfismos de$$R$$ por$$\aut(R)\text{.}$$ Probar que$$\inn(R)$$ es un subgrupo normal de$$\aut(R)\text{.}$$
3. Deja$$U(R)$$ ser el grupo de unidades en$$R\text{.}$$ Demostrar que el mapa

$\phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \nonumber$

definido por$$u \mapsto i_u$$ es un homomorfismo. Determinar el núcleo de$$\phi\text{.}$$

4. Computación$$\aut( {\mathbb Z})\text{,}$$$$\inn( {\mathbb Z})\text{,}$$ y$$U( {\mathbb Z})\text{.}$$

## 36

Dejar$$R$$ y$$S$$ ser anillos arbitrarios. Demostrar que su producto cartesiano es un anillo si definimos suma y multiplicación en$$R \times S$$ por

1. $$\displaystyle (r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')$$
2. $$\displaystyle (r, s)(r', s') = ( rr', ss')$$

## 37

Un elemento$$x$$ en un anillo se llama idempotente si$$x^2 = x\text{.}$$ Probar que los únicos idempotentes en un dominio integral son$$0$$ y$$1\text{.}$$ Encuentra un anillo con un idempotente$$x$$ no igual a 0 o 1.

## 38

Dejar$$\gcd(a, n) = d$$ y$$\gcd(b, d) \neq 1\text{.}$$ probar que$$ax \equiv b \pmod{n}$$ no tiene solución.

## 39. El teorema del resto chino para anillos

Dejar$$R$$ ser un anillo y$$I$$ y$$J$$ ser ideales en$$R$$ tal que$$I+J = R\text{.}$$

1. Demostrar que para cualquiera$$r$$ y$$s$$ en$$R\text{,}$$ el sistema de ecuaciones

\ begin {align*} x &\ equiv r\ pmod {I}\\ x &\ equiv s\ pmod {J}\ end {align*}

tiene una solución.

2. Además, demostrar que cualquiera de las dos soluciones del sistema son congruentes módulo$$I \cap J\text{.}$$
3. Dejar$$I$$ y$$J$$ ser ideales en un anillo$$R$$ tal que$$I + J = R\text{.}$$ Demuestre que existe un isomorfismo de anillo

$R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J\text{.} \nonumber$

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