17.1: Anillos polinomiales

A lo largo de este capítulo asumiremos que\(R\) es un anillo conmutativo con identidad. Cualquier expresión de la forma

\[ f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,} \nonumber \]

donde\(a_i \in R\) y\(a_n \neq 0\text{,}\) se llama polinomio sobre\(R\) con indeterminado\(x\text{.}\)\(a_0, a_1, \ldots, a_n\) Los elementos se llaman los coeficientes de\(f\text{.}\) El coeficiente\(a_n\) se llama el coeficiente principal. Un polinomio se llama monico si el coeficiente principal es 1. Si\(n\) es el mayor número no negativo para el que\(a_n \neq 0\text{,}\) decimos que el grado de\(f\) es\(n\) y escribimos\(\deg f(x) = n\text{.}\) Si no\(n\) existe tal, es decir, si\(f=0\) es el polinomio cero, entonces el grado de\(f\) se define como \(-\infty\text{.}\)Denotaremos el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un anillo\(R\) por\(R[x]\text{.}\) Dos polinomios son iguales exactamente cuando sus coeficientes correspondientes son iguales; es decir, si dejamos

\ begin {align*} p (x) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\\ [4pt] q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x^m\ text {,}\ end {align*}

entonces\(p(x) = q(x)\) si y solo si\(a_i = b_i\) por todos\(i \geq 0\text{.}\)

Para demostrar que el conjunto de todos los polinomios forma un anillo, primero debemos definir suma y multiplicación. Definimos la suma de dos polinomios de la siguiente manera. Vamos

\ begin {alinear*} p (x) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\\ q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x^m\ texto {.} \ end {align*}

Entonces la suma de\(p(x)\) y\(q(x)\) es

\[ p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k\text{,} \nonumber \]

donde\(c_i = a_i + b_i\) para cada\(i\text{.}\) Definimos el producto de\(p(x)\) y\(q(x)\) ser

\[ p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}\text{,} \nonumber \]

donde

\[ c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \nonumber \]

para cada\(i\text{.}\) Aviso que en cada caso algunos de los coeficientes pueden ser cero.

Ejemplo\(17.1\)

Supongamos que

\[ p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \nonumber \]

y

\[ q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \nonumber \]

son polinomios en\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Si el coeficiente de algún término en un polinomio es cero, entonces usualmente simplemente omitimos ese término.

Solución

En este caso escribiríamos\(p(x) = 3 + 2 x^3\) y\(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) La suma de estos dos polinomios es

\[ p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4\text{.} \nonumber \]

El producto,

\[ p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7\text{,} \nonumber \]

se puede calcular ya sea determinando la\(c_i\) s en la definición o simplemente multiplicando polinomios de la misma manera que siempre lo hemos hecho.

Ejemplo\(17.2\)

Vamos

\[ p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{and} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \nonumber \]

ser polinomios en\({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\)

Solución

La suma de\(p(x)\) y\(q(x)\) es\(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) El producto de los dos polinomios es el polinomio cero. Este ejemplo nos dice que no podemos\(R[x]\) esperar ser un dominio integral si no\(R\) es un dominio integral.

Teorema\(17.3\)

Que\(R\) sea un anillo conmutativo con identidad. Entonces\(R[x]\) es un anillo conmutativo con identidad.

Prueba

Nuestra primera tarea es demostrar que\(R[x]\) es un grupo abeliano bajo adición polinómica. El polinomio cero,\(f(x) = 0\text{,}\) es la identidad aditiva. Dado un polinomio,\(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) la inversa de\(p(x)\) se verifica fácilmente como\(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) Conmutatividad y la asociatividad se derivan inmediatamente de la definición de adición polinómica y del hecho de que la adición en\(R\) es a la vez conmutativa y asociativa.

Para demostrar que la multiplicación polinómica es asociativa, vamos

\ begin {alinear*} p (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i,\\ q (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i,\\ r (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ texto {.} \ end {align*}

Entonces

\ begin {align*} [p (x) q (x)] r (x) & =\ izquierda [\ izquierda (\ suma_ {i=0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda (\ suma_ {i=0} ^ {n} b_i x^i\ derecha)\ derecha]\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i ^i\ derecha)\\ & = izquierda [\ suma_ {i = 0} ^ {m+n}\ izquierda (\ suma_ {j = 0} ^ {i} a_j b_ {i - j}\ derecha) x^i\ derecha]\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ derecha)\\ & = \ suma_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda [\ suma_ {j = 0} ^ {i}\ izquierda (\ suma_ {k=0} ^j a_k b_ {j-k}\ derecha) c_ {i-j}\ derecha] x^i\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda (\ sum_ {j + k + l = i} a_j b_k c_l\ derecha) x^i\\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m+n+p}\ izquierda [\ suma_ {j = 0} ^ {i} a_j\ izquierda (\ suma_ {k = 0} ^ {i - j} b_k c_ {i - j - k}\ derecha)\ derecha ] x^i\\ & =\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda [\ sum_ {i = 0} ^ {n + p}\ izquierda (\ suma_ {j = 0} ^ {i} b_j c_ {i - j}\ derecha) x^i\ derecha]\\ & = izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i\ derecha)\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ derecha)\ derecha]\\ & = p (x) [q (x) r (x) ]\ end {alinear*}

Las propiedades de conmutatividad y distribución de la multiplicación polinómica se demuestran de manera similar. Dejaremos como ejercicio las pruebas de estas propiedades.

Proposición\(17.4\)

Dejar\(p(x)\) y\(q(x)\) ser polinomios en\(R[x]\text{,}\) donde\(R\) es un dominio integral. Entonces\(\deg p(x) + \deg q(x) = \deg( p(x) q(x) )\text{.}\) Además,\(R[x]\) es un dominio integral.

Prueba

Supongamos que tenemos dos polinomios distintos de cero

\[ p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \nonumber \]

y

\[ q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \nonumber \]

con\(a_m \neq 0\) y\(b_n \neq 0\text{.}\) Los grados de\(p(x)\) y\(q(x)\) son\(m\) y\(n\text{,}\) respectivamente. El término principal de\(p(x) q(x)\) es el\(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) que no puede ser cero ya que\(R\) es un dominio integral; de ahí, el grado de\(p(x) q(x)\) es\(m + n\text{,}\)\(p(x) \neq 0\) y\(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Desde e\(q(x) \neq 0\) implica que\(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) sabemos que también\(R[x]\) debe ser un dominio integral.

También queremos considerar polinomios en dos o más variables, como\(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\) Let\(R\) be a ring y supongamos que se nos dan dos indeterminados\(x\) y\(y\text{.}\) Ciertamente podemos formar el anillo\((R[x])[y]\text{.}\) Es sencillo pero quizás tedioso demostrar que\((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) vamos a identificar estos dos anillos por este isomorfismo y simplemente escribir\(R[x,y]\text{.}\) El anillo\(R[x, y]\) se llama el anillo de polinomios en dos indeterminados\(x\) y\(y\) con coeficientes en\(R\text{.}\) Podemos definir el anillo de polinomios en\(n\) indeterminados con coeficientes de manera\(R\) similar. Denotaremos este anillo por\(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)

Teorema\(17.5\)

Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad y\(\alpha \in R\text{.}\) luego tenemos un homomorfismo de anillo\(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) definido por

\[ \phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0\text{,} \nonumber \]

donde\(p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}\)

Prueba

Dejar\(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) y\(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Es fácil demostrar que Para mostrar que\(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) la multiplicación se conserva bajo el mapa\(\phi_{\alpha}\text{,}\) observe que

\ begin {align*}\ phi_ {\ alpha} (p (x))\ phi_ {\ alpha} (q (x)) & = p (\ alpha) q (\ alpha) q (\ alpha)\\ & =\ left (\ sum_ {i = 0} ^n a_i\ alfa^i\ derecha)\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^m b_i\ alpha^i\ derecha)\\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m + n}\ izquierda (\ suma_ {k = 0} ^i a_k b_ {i - k}\ derecha)\ alpha^i\\ & =\ phi_ {\ alpha} (p (x) q (x))\ text {.} \ end {align*}

El mapa\(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) se llama el homomorfismo de evaluación en\(\alpha\text{.}\)