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# 17.1: Anillos polinomiales

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A lo largo de este capítulo asumiremos que$$R$$ es un anillo conmutativo con identidad. Cualquier expresión de la forma

$f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,} \nonumber$

donde$$a_i \in R$$ y$$a_n \neq 0\text{,}$$ se llama polinomio sobre$$R$$ con indeterminado$$x\text{.}$$$$a_0, a_1, \ldots, a_n$$ Los elementos se llaman los coeficientes de$$f\text{.}$$ El coeficiente$$a_n$$ se llama el coeficiente principal. Un polinomio se llama monico si el coeficiente principal es 1. Si$$n$$ es el mayor número no negativo para el que$$a_n \neq 0\text{,}$$ decimos que el grado de$$f$$ es$$n$$ y escribimos$$\deg f(x) = n\text{.}$$ Si no$$n$$ existe tal, es decir, si$$f=0$$ es el polinomio cero, entonces el grado de$$f$$ se define como $$-\infty\text{.}$$Denotaremos el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un anillo$$R$$ por$$R[x]\text{.}$$ Dos polinomios son iguales exactamente cuando sus coeficientes correspondientes son iguales; es decir, si dejamos

\ begin {align*} p (x) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\\ [4pt] q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x^m\ text {,}\ end {align*}

entonces$$p(x) = q(x)$$ si y solo si$$a_i = b_i$$ por todos$$i \geq 0\text{.}$$

Para demostrar que el conjunto de todos los polinomios forma un anillo, primero debemos definir suma y multiplicación. Definimos la suma de dos polinomios de la siguiente manera. Vamos

\ begin {alinear*} p (x) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\\ q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x^m\ texto {.} \ end {align*}

Entonces la suma de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ es

$p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k\text{,} \nonumber$

donde$$c_i = a_i + b_i$$ para cada$$i\text{.}$$ Definimos el producto de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ ser

$p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}\text{,} \nonumber$

donde

$c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \nonumber$

para cada$$i\text{.}$$ Aviso que en cada caso algunos de los coeficientes pueden ser cero.

Ejemplo$$17.1$$

Supongamos que

$p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \nonumber$

y

$q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \nonumber$

son polinomios en$${\mathbb Z}[x]\text{.}$$ Si el coeficiente de algún término en un polinomio es cero, entonces usualmente simplemente omitimos ese término.

Solución

En este caso escribiríamos$$p(x) = 3 + 2 x^3$$ y$$q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}$$ La suma de estos dos polinomios es

$p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4\text{.} \nonumber$

El producto,

$p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7\text{,} \nonumber$

se puede calcular ya sea determinando la$$c_i$$ s en la definición o simplemente multiplicando polinomios de la misma manera que siempre lo hemos hecho.

Ejemplo$$17.2$$

Vamos

$p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{and} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \nonumber$

ser polinomios en$${\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}$$

Solución

La suma de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ es$$7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}$$ El producto de los dos polinomios es el polinomio cero. Este ejemplo nos dice que no podemos$$R[x]$$ esperar ser un dominio integral si no$$R$$ es un dominio integral.

Teorema$$17.3$$

Que$$R$$ sea un anillo conmutativo con identidad. Entonces$$R[x]$$ es un anillo conmutativo con identidad.

Prueba

Nuestra primera tarea es demostrar que$$R[x]$$ es un grupo abeliano bajo adición polinómica. El polinomio cero,$$f(x) = 0\text{,}$$ es la identidad aditiva. Dado un polinomio,$$p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}$$ la inversa de$$p(x)$$ se verifica fácilmente como$$-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}$$ Conmutatividad y la asociatividad se derivan inmediatamente de la definición de adición polinómica y del hecho de que la adición en$$R$$ es a la vez conmutativa y asociativa.

Para demostrar que la multiplicación polinómica es asociativa, vamos

\ begin {alinear*} p (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i,\\ q (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i,\\ r (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ texto {.} \ end {align*}

Entonces

\ begin {align*} [p (x) q (x)] r (x) & =\ izquierda [\ izquierda (\ suma_ {i=0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda (\ suma_ {i=0} ^ {n} b_i x^i\ derecha)\ derecha]\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i ^i\ derecha)\\ & = izquierda [\ suma_ {i = 0} ^ {m+n}\ izquierda (\ suma_ {j = 0} ^ {i} a_j b_ {i - j}\ derecha) x^i\ derecha]\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ derecha)\\ & = \ suma_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda [\ suma_ {j = 0} ^ {i}\ izquierda (\ suma_ {k=0} ^j a_k b_ {j-k}\ derecha) c_ {i-j}\ derecha] x^i\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ izquierda (\ sum_ {j + k + l = i} a_j b_k c_l\ derecha) x^i\\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m+n+p}\ izquierda [\ suma_ {j = 0} ^ {i} a_j\ izquierda (\ suma_ {k = 0} ^ {i - j} b_k c_ {i - j - k}\ derecha)\ derecha ] x^i\\ & =\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda [\ sum_ {i = 0} ^ {n + p}\ izquierda (\ suma_ {j = 0} ^ {i} b_j c_ {i - j}\ derecha) x^i\ derecha]\\ & = izquierda (\ sum_ {i = 0} ^ {m} a_i x^i\ derecha)\ izquierda [\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i\ derecha)\ izquierda (\ suma_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ derecha)\ derecha]\\ & = p (x) [q (x) r (x) ]\ end {alinear*}

Las propiedades de conmutatividad y distribución de la multiplicación polinómica se demuestran de manera similar. Dejaremos como ejercicio las pruebas de estas propiedades.

Proposición$$17.4$$

Dejar$$p(x)$$ y$$q(x)$$ ser polinomios en$$R[x]\text{,}$$ donde$$R$$ es un dominio integral. Entonces$$\deg p(x) + \deg q(x) = \deg( p(x) q(x) )\text{.}$$ Además,$$R[x]$$ es un dominio integral.

Prueba

Supongamos que tenemos dos polinomios distintos de cero

$p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \nonumber$

y

$q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \nonumber$

con$$a_m \neq 0$$ y$$b_n \neq 0\text{.}$$ Los grados de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ son$$m$$ y$$n\text{,}$$ respectivamente. El término principal de$$p(x) q(x)$$ es el$$a_m b_n x^{m + n}\text{,}$$ que no puede ser cero ya que$$R$$ es un dominio integral; de ahí, el grado de$$p(x) q(x)$$ es$$m + n\text{,}$$$$p(x) \neq 0$$ y$$p(x)q(x) \neq 0\text{.}$$ Desde e$$q(x) \neq 0$$ implica que$$p(x)q(x) \neq 0\text{,}$$ sabemos que también$$R[x]$$ debe ser un dominio integral.

También queremos considerar polinomios en dos o más variables, como$$x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}$$ Let$$R$$ be a ring y supongamos que se nos dan dos indeterminados$$x$$ y$$y\text{.}$$ Ciertamente podemos formar el anillo$$(R[x])[y]\text{.}$$ Es sencillo pero quizás tedioso demostrar que$$(R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}$$ vamos a identificar estos dos anillos por este isomorfismo y simplemente escribir$$R[x,y]\text{.}$$ El anillo$$R[x, y]$$ se llama el anillo de polinomios en dos indeterminados$$x$$ y$$y$$ con coeficientes en$$R\text{.}$$ Podemos definir el anillo de polinomios en$$n$$ indeterminados con coeficientes de manera$$R$$ similar. Denotaremos este anillo por$$R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}$$

Teorema$$17.5$$

Dejar$$R$$ ser un anillo conmutativo con identidad y$$\alpha \in R\text{.}$$ luego tenemos un homomorfismo de anillo$$\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R$$ definido por

$\phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0\text{,} \nonumber$

donde$$p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}$$

Prueba

Dejar$$p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i$$ y$$q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}$$ Es fácil demostrar que Para mostrar que$$\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}$$ la multiplicación se conserva bajo el mapa$$\phi_{\alpha}\text{,}$$ observe que

\ begin {align*}\ phi_ {\ alpha} (p (x))\ phi_ {\ alpha} (q (x)) & = p (\ alpha) q (\ alpha) q (\ alpha)\\ & =\ left (\ sum_ {i = 0} ^n a_i\ alfa^i\ derecha)\ izquierda (\ sum_ {i = 0} ^m b_i\ alpha^i\ derecha)\\ & =\ suma_ {i = 0} ^ {m + n}\ izquierda (\ suma_ {k = 0} ^i a_k b_ {i - k}\ derecha)\ alpha^i\\ & =\ phi_ {\ alpha} (p (x) q (x))\ text {.} \ end {align*}

El mapa$$\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R$$ se llama el homomorfismo de evaluación en$$\alpha\text{.}$$

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