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# 17.2: El algoritmo de división

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Recordemos que el algoritmo de división para enteros (Teorema 2.9) dice que si$$a$$ y$$b$$ son enteros con$$b \gt 0\text{,}$$ entonces existen enteros únicos$$q$$ y$$r$$ tal que$$a = bq + r\text{,}$$ donde$$0 \leq r \lt b\text{.}$$ El algoritmo por el que$$r$$ se encuentran$$q$$ y es simplemente largo división. Un teorema similar existe para los polinomios. El algoritmo de división para polinomios tiene varias consecuencias importantes. Dado que su prueba es muy similar a la prueba correspondiente para enteros, vale la pena revisar el Teorema 2.9 en este punto.

Teorema$$17.6$$. Division Algorithm

Dejar$$f(x)$$ y$$g(x)$$ ser polinomios en$$F[x]\text{,}$$ donde$$F$$ es un campo y$$g(x)$$ es un polinomio distinto de cero. Entonces existen polinomios únicos de$$q(x), r(x) \in F[x]$$ tal manera que

$f(x) = g(x) q(x) + r(x)\text{,} \nonumber$

donde cualquiera$$\deg r(x) \lt \deg g(x)$$ o$$r(x)$$ es el polinomio cero.

Prueba

Primero consideraremos la existencia de$$q(x)$$ y$$r(x)\text{.}$$ Si$$f(x)$$ es el polinomio cero, entonces

$0 = 0 \cdot g(x) + 0; \nonumber$

de ahí que ambos$$q$$ y también$$r$$ deben ser el polinomio cero. Ahora supongamos que no$$f(x)$$ es el polinomio cero y eso$$\deg f(x) = n$$ y$$\deg g(x) = m\text{.}$$ si$$m \gt n\text{,}$$ entonces podemos dejar$$q(x) = 0$$ y$$r(x) = f(x)\text{.}$$ por lo tanto, podemos suponer que$$m \leq n$$ y proceder por inducción en$$n\text{.}$$ Si

\ begin {alinear*} f (x) & = a_n x^n + a_ {n-1} x^ {n - 1} +\ cdots + a_1 x + a_0\\ g (x) & = b_m x^m + b_ {m-1} x^ {m - 1} +\ cdots + b_1 x + b_0\ end {align*}

el polinomio

$f'(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n - m} g(x) \nonumber$

tiene grado menor$$n$$ o es el polinomio cero. Por inducción, existen polinomios$$q'(x)$$ y$$r(x)$$ tal que

$f'(x) = q'(x) g(x) + r(x)\text{,} \nonumber$

donde$$r(x) = 0$$ o el grado de$$r(x)$$ es menor que el grado de$$g(x)\text{.}$$ Ahora vamos

$q(x) = q'(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n - m}\text{.} \nonumber$

Entonces

$f(x) = g(x) q(x) + r(x)\text{,} \nonumber$

con$$r(x)$$ el polinomio cero o$$\deg r(x) \lt \deg g(x)\text{.}$$

Para demostrar eso$$q(x)$$ y$$r(x)$$ son únicos, supongamos que existen otros dos polinomios$$q_1(x)$$ y$$r_1(x)$$ tal que$$f(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)$$ con$$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$$ o$$r_1(x) = 0\text{,}$$ para que

$f(x) = g(x) q(x) + r(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\text{,} \nonumber$

y

$g(x) [q(x) - q_1(x) ] = r_1(x) - r(x)\text{.} \nonumber$

Si no$$q(x) - q_1(x)$$ es el polinomio cero, entonces

$\deg( g(x) [q(x) - q_1(x) ] )= \deg( r_1(x) - r(x) ) \geq \deg g(x)\text{.} \nonumber$

Sin embargo, los grados de ambos$$r(x)$$ y$$r_1(x)$$ son estrictamente menores que el grado de$$g(x)\text{;}$$ por lo tanto,$$r(x) = r_1(x)$$ y$$q(x) = q_1(x)\text{.}$$

Ejemplo$$17.7$$

El algoritmo de división simplemente formaliza la división larga de polinomios, una tarea que conocemos desde la secundaria.

Solución

Por ejemplo, supongamos que dividimos$$x^3 - x^2 + 2 x - 3$$ por$$x - 2\text{.}$$

 $$x^2$$ $$+$$ $$x$$ $$+$$ $$4$$ $$x$$ $$-$$ $$2$$ $$x^3$$ $$-$$ $$x^2$$ $$+$$ $$2x$$ $$-$$ $$3$$ $$x^3$$ $$-$$ $$2x^2$$ $$x^2$$ $$+$$ $$2x$$ $$-$$ $$3$$ $$x^2$$ $$-$$ $$2x$$ $$4x$$ $$-$$ $$3$$ $$4x$$ $$-$$ $$8$$ $$5$$

Por lo tanto,$$x^3 - x^2 + 2 x - 3 = (x - 2) (x^2 + x + 4 ) + 5\text{.}$$

Que$$p(x)$$ sea un polinomio en$$F[x]$$ y$$\alpha \in F\text{.}$$ Decimos que$$\alpha$$ es un cero o raíz de$$p(x)$$ si$$p(x)$$ está en el núcleo de la evaluación homomorfismo$$\phi_{\alpha}\text{.}$$ Todo lo que realmente estamos diciendo aquí es que$$\alpha$$ es un cero de$$p(x)$$ si$$p(\alpha) = 0\text{.}$$

Corolario$$17.8$$

$$F$$Déjese ser un campo. Un elemento$$\alpha \in F$$ es un cero de$$p(x) \in F[x]$$ si y solo si$$x - \alpha$$ es un factor de$$p(x)$$ in$$F[x]\text{.}$$

Prueba

Supongamos que$$\alpha \in F$$ y$$p( \alpha ) = 0\text{.}$$ Por el algoritmo de división, existen polinomios$$q(x)$$ y$$r(x)$$ tal que

$p(x) = (x -\alpha) q(x) + r(x) \nonumber$

y el grado de$$r(x)$$ debe ser menor que el grado de$$x -\alpha\text{.}$$ Dado que el grado de$$r(x)$$ es inferior a 1,$$r(x) = a$$ por$$a \in F\text{;}$$ lo tanto,

$p(x) = (x -\alpha) q(x) + a\text{.} \nonumber$

Pero

$0 = p(\alpha) = 0 \cdot q(\alpha) + a = a; \nonumber$

en consecuencia,$$p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{,}$$ y$$x - \alpha$$ es un factor de$$p(x)\text{.}$$

Por el contrario, supongamos que$$x - \alpha$$ es un factor de$$p(x)\text{;}$$ decir$$p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{.}$$ Entonces$$p( \alpha ) = 0 \cdot q(\alpha) = 0\text{.}$$

Corolario$$17.9$$

$$F$$Déjese ser un campo. Un polinomio distinto de cero$$p(x)$$ de grado$$n$$ en$$F[x]$$ puede tener como máximo ceros$$n$$ distintos en$$F\text{.}$$

Prueba

Utilizaremos inducción en el grado de$$p(x)\text{.}$$ Si$$\deg p(x) = 0\text{,}$$ entonces$$p(x)$$ es un polinomio constante y no tiene ceros. Vamos$$\deg p(x) = 1\text{.}$$ Entonces$$p(x) = ax + b$$ para algunos$$a$$ y$$b$$ en$$F\text{.}$$ Si$$\alpha_1$$ y$$\alpha_2$$ son ceros de$$p(x)\text{,}$$ entonces$$a\alpha_1 + b = a\alpha_2 +b$$ o$$\alpha_1 = \alpha_2\text{.}$$

Ahora supongamos que$$\deg p(x) \gt 1\text{.}$$ si$$p(x)$$ no tiene un cero en$$F\text{,}$$ entonces ya estamos hechos. Por otro lado, si$$\alpha$$ es un cero de$$p(x)\text{,}$$ entonces$$p(x) = (x - \alpha ) q(x)$$ para algunos$$q(x) \in F[x]$$ por Corolario 17.8. El grado de$$q(x)$$ es$$n-1$$ por la Proposición 17.4. $$\beta$$Sea algún otro cero de$$p(x)$$ eso es distinto de$$\alpha\text{.}$$ Entonces$$p(\beta) = (\beta - \alpha) q(\beta) = 0\text{.}$$ Desde$$\alpha \neq \beta$$ y$$F$$ es un campo,$$q(\beta ) = 0\text{.}$$ Por nuestra hipótesis de inducción,$$q(x)$$ puede tener a lo sumo$$n - 1$$ ceros en$$F$$ que son distintos de$$\alpha\text{.}$$ Por lo tanto, $$p(x)$$tiene como máximo ceros$$n$$ distintos en$$F\text{.}$$

$$F$$Déjese ser un campo. Un polinomio monico$$d(x)$$ es un mayor divisor común de polinomios$$p(x), q(x) \in F[x]$$ si divide$$d(x)$$ uniformemente ambos$$p(x)$$ y$$q(x)\text{;}$$ y, si para cualquier otro polinomio$$d'(x)$$ dividiendo ambos$$p(x)$$ y$$q(x)\text{,}$$$$d'(x) \mid d(x)\text{.}$$ escribimos$$d(x) = \gcd( p(x), q( x))\text{.}$$ Dos polinomios$$p(x)$$ y$$q(x)$$ son relativamente primos si$$\gcd(p(x), q(x) ) = 1\text{.}$$

Proposición$$17.10$$

$$F$$Sea un campo y supongamos que$$d(x)$$ es un mayor divisor común de dos polinomios$$p(x)$$ y$$q(x)$$ en$$F[x]\text{.}$$ Entonces existen polinomios$$r(x)$$ y$$s(x)$$ de tal manera que

$d(x) = r(x) p(x) + s(x) q(x)\text{.} \nonumber$

Además, el divisor más común de dos polinomios es único.

Prueba

Dejar$$d(x)$$ ser el polinomio mónico de menor grado en el conjunto

$S = \{ f(x) p(x) + g(x) q(x) : f(x), g(x) \in F[x] \}\text{.} \nonumber$

Podemos escribir$$d(x) = r(x) p(x) + s(x) q(x)$$ para dos polinomios$$r(x)$$ y$$s(x)$$ en$$F[x]\text{.}$$ Necesitamos mostrar que$$d(x)$$ divide ambos$$p(x)$$ y Primero$$q(x)\text{.}$$ mostraremos que$$d(x)$$ divide$$p(x)\text{.}$$ Por el algoritmo de división, existen polinomios$$a(x)$$ y$$b(x)$$ tal que $$p(x) = a(x) d(x) + b(x)\text{,}$$donde$$b(x)$$ es el polinomio cero o$$\deg b(x) \lt \deg d(x)\text{.}$$ Por lo tanto,

\ begin {alinear*} b (x) & = p (x) - a (x) d (x)\ & = p (x) - a (x) (r (x) p (x) + s (x) q (x))\\ & = p (x) - a (x) r (x) p (x) - a (x) s (x) q (x)\ & = p (x) (1 - a (x) r (x)) + q (x) (- a (x) s (x))\ final {alinear*}

es una combinación lineal de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ y por lo tanto debe estar en$$S\text{.}$$ Sin embargo,$$b(x)$$ debe ser el polinomio cero ya que$$d(x)$$ fue elegido para ser de menor grado; consecuentemente,$$d(x)$$ divide$$p(x)\text{.}$$ Un argumento simétrico muestra que también$$d(x)$$ debe dividir$$q(x)\text{;}$$ por lo tanto,$$d(x)$$ es un divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{.}$$

Para demostrar que$$d(x)$$ es un mayor divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{,}$$ supongamos que$$d'(x)$$ es otro divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{.}$$ Mostraremos que$$d'(x) \mid d(x)\text{.}$$ Desde$$d'(x)$$ es un divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{,}$$ existen polinomios$$u(x)$$ y $$v(x)$$tal que$$p(x) = u(x) d'(x)$$ y$$q(x) = v(x) d'(x)\text{.}$$ Por lo tanto,

\ begin {alinear*} d (x) & = r (x) p (x) + s (x) q (x)\\ & = r (x) u (x) d' (x) + s (x) v (x) d' (x)\ & = d' (x) [r (x) u (x) + s (x) v (x)]\ texto {.} \ end {alinear*}

Dado que$$d'(x) \mid d(x)\text{,}$$$$d(x)$$ es un mayor divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{.}$$

Por último, debemos demostrar que el mayor divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)$$ es único. Supongamos que$$d'(x)$$ es otro mayor divisor común de$$p(x)$$ y$$q(x)\text{.}$$ acabamos de demostrar que existen polinomios$$u(x)$$ y$$v(x)$$ en$$F[x]$$ tal que$$d(x) = d'(x)[r(x) u(x) + s(x) v(x)]\text{.}$$ Desde

$\deg d(x) = \deg d'(x) + \deg[r(x) u(x) + s(x) v(x)] \nonumber$

y$$d(x)$$ y$$d'(x)$$ son ambos mayores divisores comunes,$$\deg d(x) = \deg d'(x)\text{.}$$ ya que$$d(x)$$ y$$d'(x)$$ son ambos polinomios monicos del mismo grado, debe darse el caso que$$d(x) = d'(x)\text{.}$$

Observe la similitud entre la prueba de Proposición$$17.10$$ y la prueba del Teorema$$2.10$$.

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