17.6: Ejercicios adicionales - Resolver las ecuaciones cúbicas y cuárticas

1

Resolver la ecuación cuadrática general

\[ ax^2 + bx + c = 0 \nonumber \]

para obtener

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \nonumber \]

El discriminante de la ecuación cuadrática\(\Delta = b^2 - 4ac\) determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si\(\Delta \gt 0\text{,}\) la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si\(\Delta = 0\text{,}\) la ecuación tiene una sola raíz real repetida. Si\(\Delta \lt 0\text{,}\) hay dos soluciones imaginarias distintas.

2

Mostrar que cualquier ecuación cúbica de la forma

\[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber \]

se puede reducir a la forma\(y^3 + py + q = 0\) haciendo la sustitución\(x = y - b/3\text{.}\)

3

Demostrar que las raíces cúbicas de 1 están dadas por

\ begin {alinear*}\ omega & =\ frac {-1+ i\ sqrt {3}} {2}\\\ omega^2 & =\ frac {-1- i\ sqrt {3}} {2}\\\ omega^3 & = 1\ texto {.} \ end {alinear*}

4

Hacer la sustitución

\[ y = z - \frac{p}{3 z} \nonumber \]

para\(y\) en la ecuación\(y^3 + py + q = 0\) y obtener dos soluciones\(A\) y\(B\) para\(z^3\text{.}\)

5

Demostrar que el producto de las soluciones obtenidas en (4) está\(-p^3/27\text{,}\) deduciendo que\(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)

6

Demostrar que las posibles soluciones para\(z\) in (4) son dadas por

\[ \sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \nonumber \]

y utilizar este resultado para demostrar que las tres posibles soluciones para\(y\) son

\[ \omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }\text{,} \nonumber \]

donde\(i = 0, 1, 2\text{.}\)

7

El discriminante de la ecuación cúbica es

\[ \Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}\text{.} \nonumber \]

Demostrar que\(y^3 + py + q=0\)

1. tiene tres raíces reales, al menos dos de las cuales son iguales, si\(\Delta = 0\text{.}\)
2. tiene una raíz real y dos raíces imaginarias conjugadas si\(\Delta \gt 0\text{.}\)
3. tiene tres raíces reales distintas si\(\Delta \lt 0\text{.}\)

8

Resuelve las siguientes ecuaciones cúbicas.

1. \(\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)
2. \(\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0\)
3. \(\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0\)
4. \(\displaystyle x^3 + x + 3 = 0\)

9

Demostrar que la ecuación cuartica general

\[ x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber \]

se puede reducir a

\[ y^4 + py^2 + qy + r = 0 \nonumber \]

mediante el uso de la sustitución\(x = y - a/4\text{.}\)

10

Demostrar que

\[ \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right)\text{.} \nonumber \]

11

Demostrar que el lado derecho de Ejercicio se\(17.6.10\) puede poner en la forma\((my + k)^2\) si y solo si

\[ q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0\text{.} \nonumber \]

12

De Ejercicio\(17.6.11\) obtener la ecuación cúbica resolvent

\[ z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0\text{.} \nonumber \]

Resolviendo la ecuación cúbica resolvent, pon la ecuación encontrada en el Ejercicio 17.6.10 en la forma

\[ \left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \nonumber \]

para obtener la solución de la ecuación cuártica.

13

Utilice este método para resolver las siguientes ecuaciones cuárticas.

1. \(\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)
2. \(\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)
3. \(\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)
4. \(\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)