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# 17.6: Ejercicios adicionales - Resolver las ecuaciones cúbicas y cuárticas

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## 1

$ax^2 + bx + c = 0 \nonumber$

para obtener

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \nonumber$

El discriminante de la ecuación cuadrática$$\Delta = b^2 - 4ac$$ determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación. Si$$\Delta \gt 0\text{,}$$ la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si$$\Delta = 0\text{,}$$ la ecuación tiene una sola raíz real repetida. Si$$\Delta \lt 0\text{,}$$ hay dos soluciones imaginarias distintas.

## 2

Mostrar que cualquier ecuación cúbica de la forma

$x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber$

se puede reducir a la forma$$y^3 + py + q = 0$$ haciendo la sustitución$$x = y - b/3\text{.}$$

## 3

Demostrar que las raíces cúbicas de 1 están dadas por

\ begin {alinear*}\ omega & =\ frac {-1+ i\ sqrt {3}} {2}\\\ omega^2 & =\ frac {-1- i\ sqrt {3}} {2}\\\ omega^3 & = 1\ texto {.} \ end {alinear*}

## 4

Hacer la sustitución

$y = z - \frac{p}{3 z} \nonumber$

para$$y$$ en la ecuación$$y^3 + py + q = 0$$ y obtener dos soluciones$$A$$ y$$B$$ para$$z^3\text{.}$$

## 5

Demostrar que el producto de las soluciones obtenidas en (4) está$$-p^3/27\text{,}$$ deduciendo que$$\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}$$

## 6

Demostrar que las posibles soluciones para$$z$$ in (4) son dadas por

$\sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B} \nonumber$

y utilizar este resultado para demostrar que las tres posibles soluciones para$$y$$ son

$\omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }\text{,} \nonumber$

donde$$i = 0, 1, 2\text{.}$$

## 7

El discriminante de la ecuación cúbica es

$\Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$y^3 + py + q=0$$

1. tiene tres raíces reales, al menos dos de las cuales son iguales, si$$\Delta = 0\text{.}$$
2. tiene una raíz real y dos raíces imaginarias conjugadas si$$\Delta \gt 0\text{.}$$
3. tiene tres raíces reales distintas si$$\Delta \lt 0\text{.}$$

## 8

Resuelve las siguientes ecuaciones cúbicas.

1. $$\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0$$
2. $$\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0$$
3. $$\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0$$
4. $$\displaystyle x^3 + x + 3 = 0$$

## 9

Demostrar que la ecuación cuartica general

$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \nonumber$

se puede reducir a

$y^4 + py^2 + qy + r = 0 \nonumber$

mediante el uso de la sustitución$$x = y - a/4\text{.}$$

## 10

Demostrar que

$\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right)\text{.} \nonumber$

## 11

Demostrar que el lado derecho de Ejercicio se$$17.6.10$$ puede poner en la forma$$(my + k)^2$$ si y solo si

$q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0\text{.} \nonumber$

## 12

De Ejercicio$$17.6.11$$ obtener la ecuación cúbica resolvent

$z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0\text{.} \nonumber$

Resolviendo la ecuación cúbica resolvent, pon la ecuación encontrada en el Ejercicio 17.6.10 en la forma

$\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2 \nonumber$

para obtener la solución de la ecuación cuártica.

## 13

Utilice este método para resolver las siguientes ecuaciones cuárticas.

1. $$\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0$$
2. $$\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0$$
3. $$\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0$$
4. $$\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0$$

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