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17.7: Salvia

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    El sabio es particularmente experto en la construcción, análisis y manipulación de anillos polinomiales. Hemos visto algo de esto en el capítulo anterior. Comencemos creando tres anillos polinomiales y comprobando algunas de sus propiedades básicas. Hay varias formas de construir anillos polinomiales, pero la sintaxis utilizada aquí es la más sencilla.

    Anillos polinomiales y sus elementos

    Las propiedades básicas de los anillos están disponibles para estos ejemplos.

    Con la sintaxis de construcción utilizada anteriormente, las variables se pueden usar para crear elementos del anillo polinómico sin coerción explícita (aunque hay que tener cuidado con los polinomios constantes).

    Los polinomios se pueden evaluar como son funciones, por lo que podemos imitar el homomorfismo de evaluación.

    Observe que p es un polinomio grado dos, sin embargo a través de un examen de fuerza bruta vemos que el polinomio solo tiene una raíz, contrario a nuestras expectativas habituales. Puede ser aún más inusual.

    Sage puede crear y manipular anillos de polinomios en más de una variable, aunque no tendremos mucha ocasión de utilizar esta funcionalidad en este curso.

    Polinomios irreducibles

    Sea o no un polinomio factores, tomando en consideración el anillo utilizado para sus coeficientes, es un tema importante en este capítulo y muchos de los capítulos siguientes. La salvia puede factorizar y determinar la irreductibilidad sobre los enteros, los racionales y los campos finitos.

    Primero, sobre los racionales.

    Factorizar sobre los enteros no es realmente diferente a factorizar sobre los racionales. Este es el contenido del Teorema\(17.14\) — encontrar una factorización sobre los enteros se puede convertir en encontrar una factorización sobre los racionales. Así es con Sage, hay poca diferencia entre trabajar sobre los racionales y los enteros. Es un poco diferente trabajar sobre un campo finito. El comentario sigue.

    Para verificar estas factorizaciones, necesitamos calcular en el campo finito, F, y así necesitamos saber cómo se comporta el símbolo a. Este símbolo es considerado como una raíz de un polinomio grado dos sobre los enteros mod 5, que podemos obtener con el método .modulus ().

    Entonces\(a^2+4a+2=0\text{,}\) o\(a^2=-4a-3=a+2\text{.}\) Entonces al verificar las factorizaciones, cada vez que\(a^2\) veas una puedes reemplazarlo por\(a+2\text{.}\) Observe que por Corolario\(17.8\) podríamos encontrar el factor lineal uno de r, y los cuatro factores lineales de s, a través de una búsqueda de fuerza bruta de raíces. Esto es factible porque el campo es finito.

    Sin embargo, q factoriza en un par de polinomios de grado 2, por lo que ninguna cantidad de pruebas para raíces descubrirá un factor.

    Con el Criterio de Eisenstein, podemos crear polinomios irreducibles, como en Ejemplo\(17.18\).

    Sobre el campo\({\mathbb Z}_p\text{,}\) el campo de enteros mod a prime Los polinomios de\(p\text{,}\) Conway son elecciones canónicas de un polinomio de grado\(n\) que es irreducible sobre\({\mathbb Z}_p\text{.}\) Ver los ejercicios para más información sobre estos polinomios.

    Polinomios sobre Campos

    Si\(F\) es un campo, entonces cada ideal de\(F[x]\) es principal (Teorema\(17.20\)). Nada te impide darle a Sage dos (o más) generadores para construir un ideal, pero Sage determinará el elemento a usar en una descripción del ideal como ideal principal.

    El teorema\(17.22\) es el hecho clave que nos permite construir fácilmente campos finitos. Aquí hay una construcción de un campo finito de orden\(7^5=16\,807\text{.}\) Todo lo que necesitamos es un polinomio de grado\(5\) que sea irreducible sobre\({\mathbb Z}_7\text{.}\)

    El símbolo xbar es un generador del campo, pero en estos momentos no es accesible. xbar es el coset\(x + \langle x^5+ x + 4\rangle\text{.}\) Una mejor construcción incluiría especificar este generador.


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