17.8: Ejercicios de salvia

1

Considera el polinomio\(x^3-3x+4\text{.}\) Calcula la factorización más completa de este polinomio sobre cada uno de los siguientes campos: (a) el campo finito\({\mathbb Z}_5\text{,}\) (b) un campo finito con 125 elementos, (c) los racionales, (d) los números reales y (e) los números complejos. Para ello, construya el anillo polinomio apropiado, y construya el polinomio como miembro de este anillo, y use el método .factor ().

2

Los “polinomios de Conway” son polinomios irreducibles sobre los\({\mathbb Z}_p\) que Sage (y otro software) utiliza para construir ideales máximos en anillos polinómicos, y por lo tanto anillos cocientes que son campos. En términos generales, son opciones “canónicas” para cada grado y cada primo. El comando conway_polynomial (p, n) devolverá una entrada de base de datos que es un polinomio irreducible de grado\(n\) sobre\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

Ejecuta el comando conway_polinomio (5, 4) para obtener un polinomio supuestamente irreducible de grado 4 sobre\({\mathbb Z}_5\text{:}\)\(p = x^{4} + 4x^{2} + 4x + 2\text{.}\) Construye el anillo polinomio derecho (es decir, en el indeterminado\(x\)) y verificar que p es realmente un elemento de tu anillo polinomio.

Primero determinar que p no tiene factores lineales. La única posibilidad que queda es que p factoriza como dos polinomios cuadráticos sobre\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Usar una comprensión de lista con tres para declaraciones para crear todos los polinomios cuadráticos posibles sobre\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Ahora usa esta lista para crear todos los posibles productos de dos polinomios cuadráticos y verificar para ver si p está en esta lista.

Más sobre los polinomios de Conway está disponible en el sitio de Frank Lübeck.

3

Construir un campo finito de orden\(729\) como cociente de un anillo polinómico por un ideal principal generado con un polinomio de Conway.

4

Definir los polinomios\(p = x^3 + 2x^2 + 2x + 4\) y\(q = x^4 + 2x^2\) como polinomios con coeficientes a partir de los enteros. Calcular gcd (p, q) y verificar que el resultado divida tanto p como q (solo forma una fracción en Sage y ver que simplifica limpiamente, o usa el método .quo_rem ()).

Proposición\(17.10\) dice que hay polinomios\(r(x)\) y\(s(x)\) tal que el mayor divisor común es igual\(r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}\) si los coeficientes provienen de un campo. Ya que aquí tenemos dos polinomios sobre los enteros, investigamos los resultados devueltos por Sage para el gcd extendido, xgcd (p, q). En particular, mostrar que el primer resultado del triple devuelto es un múltiplo del gcd. Después verificar la propiedad “combinación lineal” del resultado.

5

Para un anillo polinómico sobre un campo, cada ideal es principal. Comienza con el anillo de polinomios sobre los racionales. Experimente con la construcción de ideales usando dos generadores y luego vea que Sage convierte el ideal en un ideal principal con un solo generador. (Puede obtener este generador con el método ideal .gen ().) ¿Puedes explicar cómo se calcula este generador único?