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18.2: Factorización en Dominios Integrales

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    Los bloques de construcción de los números enteros son los números primos. Si\(F\) es un campo, entonces los polinomios irreducibles en\(F[x]\) juego un papel que es muy similar al de los números primos en el anillo de enteros. Dado un dominio integral arbitrario, nos llevan a la siguiente serie de definiciones.

    Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad, y dejar\(a\) y\(b\) ser elementos en\(R\text{.}\) Decimos que\(a\) divide\(b\text{,}\) y escribe\(a \mid b\text{,}\) si existe un elemento\(c \in R\) tal que\(b = ac\text{.}\) Una unidad en \(R\)es un elemento que tiene un inverso multiplicativo. Dos elementos\(a\) y\(b\) en\(R\) se dice que son asociados si existe una unidad\(u\) en\(R\) tal que\(a = ub\text{.}\)

    Seamos\(D\) un dominio integral. Se dice\(p \in D\) que un elemento distinto de cero que no es una unidad es irreducible siempre que\(p = ab\text{,}\) sea\(a\) o\(b\) sea una unidad. Además,\(p\) es primo si cada vez que\(p \mid ab\) cualquiera\(p \mid a\) o\(p \mid b\text{.}\)

    Ejemplo\(18.8\)

    Es importante notar que los elementos primos e irreducibles no siempre coinciden. \(R\)Sea el subring (con identidad) de\({\mathbb Q}[x, y]\) generado por\(x^2\text{,}\)\(y^2\text{,}\) y\(xy\text{.}\)

    Solución

    Cada uno de estos elementos es irreducible en\(R\text{;}\) sin embargo, no\(xy\) es primo, ya que\(xy\) divide\(x^2 y^2\) pero no divide\(x^2\) ni\(y^2\text{.}\)

    El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que cada entero positivo\(n \gt 1\) puede ser factorizado en un producto de números primos\(p_1 \cdots p_k\text{,}\) donde los\(p_i\)'s no son necesariamente distintos. También sabemos que tales factorizaciones son únicas hasta el orden\(p_i\) de los 's. podemos extender fácilmente este resultado a los enteros. Se plantea la cuestión de si tales factorizaciones son posibles o no en otros anillos. Generalizando esta definición, decimos que un dominio integral\(D\) es un dominio de factorización único, o UFD, si\(D\) satisface los siguientes criterios.

    1. Que\(a \in D\) tal eso\(a \neq 0\) y no\(a\) sea una unidad. Entonces se\(a\) puede escribir como producto de elementos irreducibles en\(D\text{.}\)
    2. Dejemos\(a = p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s\text{,}\) donde los\(p_i\)'s y los\(q_i\)'s son irreducibles. Entonces\(r=s\) y hay\(\pi \in S_r\) tal que\(p_i\) y\(q_{\pi(j)}\) son asociados para\(j = 1, \ldots, r\text{.}\)

    Ejemplo\(18.9\)

    Los enteros son un dominio de factorización único según el Teorema Fundamental de la Aritmética.

    Ejemplo\(18.10\)

    No todos los dominios integrales son un dominio de factorización único. El subring\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i\}\) de los números complejos es un dominio integral (Ejercicio\(16.7.12\), Capítulo 16). Dejar\(z = a + b \sqrt{3}\, i\) y definir\(\nu : {\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] \rightarrow {\mathbb N} \cup \{ 0 \}\) por\(\nu( z) = |z|^2 = a^2 + 3 b^2\text{.}\)

    Solución

    Es claro que\(\nu(z) \geq 0\) con igualdad cuando\(z = 0\text{.}\) También, de nuestro conocimiento de números complejos sabemos que\(\nu(z w) = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) es fácil demostrar que si\(\nu(z) = 1\text{,}\) entonces\(z\) es una unidad, y que las únicas unidades de\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) son\(1\) y\(-1\text{.}\)

    Afirmamos que\(4\) tiene dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles:

    \[ 4 = 2 \cdot 2 = (1 - \sqrt{3}\, i) (1 + \sqrt{3}\, i)\text{.} \nonumber \]

    Debemos demostrar que cada uno de estos factores es un elemento irreducible en\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\text{.}\) Si no\(2\) es irreducible, entonces\(2 = z w\) para los elementos\(z, w\) en\({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) donde\(\nu( z) = \nu(w) = 2\text{.}\) Sin embargo, no existe un elemento\(z\) en\({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i ]\) tal que\(\nu(z) = 2\) porque la ecuación \(a^2 + 3 b^2 = 2\)no tiene soluciones enteras. Por lo tanto,\(2\) debe ser irreducible. Un argumento similar muestra que ambos\(1 - \sqrt{3}\, i\) y\(1 + \sqrt{3}\, i\) son irreducibles. Dado que no\(2\) es un múltiplo unitario de cualquiera\(1 - \sqrt{3}\, i\) o\(1 + \sqrt{3}\, i\text{,}\)\(4\) tiene al menos dos factorizaciones distintas en elementos irreducibles.

    Principales Dominios Ideal

    \(R\)Déjese ser un anillo conmutativo con identidad. Recordemos que un ideal principal generado por\(a \in R\) es un ideal de la forma\(\langle a \rangle = \{ ra : r \in R \}\text{.}\) Un dominio integral en el que cada ideal es principal se denomina dominio ideal principal, o PID.

    Lema\(18.11\)

    Dejemos\(D\) ser un dominio integral y dejar que\(a, b \in D\text{.}\) Entonces

    1. \(a \mid b\)si y solo si\(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\)
    2. \(a\)y\(b\) son asociados si y solo si\(\langle b \rangle = \langle a \rangle\text{.}\)
    3. \(a\)es una unidad en\(D\) si y solo si\(\langle a \rangle = D\text{.}\)
    Prueba

    (1) Supongamos que\(a \mid b\text{.}\) Entonces\(b = ax\) para algunos\(x \in D\text{.}\) Por lo tanto, para cada\(r\) en\(D\text{,}\)\(br =(ax)r = a(xr)\) e\(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Inversamente, supongamos que\(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Entonces\(b \in \langle a \rangle\text{.}\) Consecuentemente,\(b =a x\) para algunos\(x \in D\text{.}\) Así,\(a \mid b\text{.}\)

    (2) Dado que\(a\) y\(b\) son asociados, existe una unidad\(u\) tal que\(a = u b\text{.}\) Por lo tanto,\(b \mid a\) y\(\langle a \rangle \subset \langle b \rangle\text{.}\) De igual manera,\(\langle b \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) se deduce que\(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Por el contrario, supongamos que\(\langle a \rangle = \langle b \rangle\text{.}\) Por la parte (1),\(a \mid b\) y\(b \mid a\text{.}\) Entonces\(a = bx\) y\(b = ay\) para algunos\(x, y \in D\text{.}\) Por lo tanto,\(a = bx = ayx\text{.}\) ya\(x y = 1\text{;}\) que\(D\) es un dominio integral, es decir,\(x\) y\(y\) son unidades y\(a\) y\(b\) son asociados.

    (3) Un elemento\(a \in D\) es una unidad si y solo si\(a\) es un asociado de\(1\text{.}\) Sin embargo,\(a\) es un asociado de\(1\) si y solo si\(\langle a \rangle = \langle 1 \rangle = D\text{.}\)

    Teorema\(18.12\)

    Dejar\(D\) ser un PID y\(\langle p \rangle\) ser un ideal distinto de cero en\(D\text{.}\) Entonces\(\langle p \rangle\) es un ideal máximo si y solo si\(p\) es irreducible.

    Prueba

    Supongamos que\(\langle p \rangle\) es un ideal máximo. Si algún elemento\(a\) en\(D\) divide\(p\text{,}\) entonces\(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle\text{.}\) Since\(\langle p \rangle\) es máximo, cualquiera\(D = \langle a \rangle\) o\(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) Consecuentemente, cualquiera\(a\) y\(p\) son asociados o\(a\) es una unidad. Por lo tanto,\(p\) es irreducible.

    Por el contrario, dejemos\(p\) ser irreducibles. Si\(\langle a \rangle\) es un ideal en\(D\) tal que\(\langle p \rangle \subset \langle a \rangle \subset D\text{,}\) entonces\(a \mid p\text{.}\) Since\(p\) es irreducible, o bien\(a\) debe ser una unidad o\(a\) y\(p\) son asociados. Por lo tanto, cualquiera\(D = \langle a \rangle\) o\(\langle p \rangle = \langle a \rangle\text{.}\) Así,\(\langle p \rangle\) es un ideal máximo.

    Corolario\(18.13\)

    Déjese\(D\) ser un PID. Si\(p\) es irreducible, entonces\(p\) es primo.

    Prueba

    Seamos\(p\) irreducibles y supongamos que\(p \mid ab\text{.}\) Entonces\(\langle ab \rangle \subset \langle p \rangle\text{.}\) Por Corolario\(16.40\), ya que\(\langle p \rangle\) es un ideal máximo, también\(\langle p \rangle\) debe ser un ideal primordial. Así, ya sea\(a \in \langle p \rangle\) o\(b \in \langle p \rangle\text{.}\) Por lo tanto, ya sea\(p \mid a \) o\(p \mid b\text{.}\)

    Lema\(18.14\)

    Déjese\(D\) ser un PID. Que\(I_1, I_2, \ldots\) sea un conjunto de ideales tales que\(I_1 \subset I_2 \subset \cdots\text{.}\) Entonces exista un entero\(N\) tal que\(I_n = I_N\) para todos\(n \geq N\text{.}\)

    Prueba

    Afirmamos que\(I= \bigcup_{i = 1}^\infty I_i\) es un ideal de\(D\text{.}\) Ciertamente no\(I\) está vacío, ya que\(I_1 \subset I\) y\(0 \in I\text{.}\) Si\(a, b \in I\text{,}\) entonces\(a \in I_i\) y\(b \in I_j\) para algunos\(i\) y\(j\) en\({\mathbb N}\text{.}\) Sin pérdida de generalidad podemos suponer que\(i \leq j\text{.}\) De ahí,\(a\) y \(b\)están ambos en\(I_j\) y así también\(a - b\) está en\(I_j\text{.}\) Ahora vamos\(r \in D\) y\(a \in I\text{.}\) Otra vez, observamos que\(a \in I_i\) para algún entero positivo\(i\text{.}\) ya que\(I_i\) es un ideal,\(ra \in I_i\) y por lo tanto debe estar en\(I\text{.}\) Por lo tanto, hemos demostrado que\(I\) es un ideal en\(D\text{.}\)

    Ya que\(D\) es un dominio ideal principal, existe un elemento\(\overline{a} \in D\) que genera\(I\text{.}\) Ya que\(\overline{a}\) está en\(I_N\) para algunos\(N \in {\mathbb N}\text{,}\) sabemos que\(I_N = I = \langle \overline{a} \rangle\text{.}\) Consecuentemente,\(I_n = I_N\) para\(n \geq N\text{.}\)

    Se dice que cualquier anillo conmutativo que satisfaga la condición en Lemma\(18.14\) satisface la condición de cadena ascendente, o ACC. Tales anillos se llaman anillos noeterianos, después del Emmy Noether.

    Teorema\(18.15\)

    Cada PID es un UFD.

    Prueba

    Existencia de una factorización. Dejar\(D\) ser un PID y\(a\) ser un elemento distinto de cero en\(D\) que no es una unidad. Si\(a\) es irreducible, entonces ya terminamos. Si no, entonces existe una factorización\(a = a_1 b_1\text{,}\) donde ni\(a_1\) ni\(b_1\) hay una unidad. De ahí que,\(\langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle\text{.}\) Por Lemma\(18.11\), sabemos que de\(\langle a \rangle \neq \langle a_1 \rangle\text{;}\) otra manera,\(a\) y\(a_1\) serían asociados y\(b_1\) sería una unidad, lo que contradiría nuestra suposición. Ahora supongamos que\(a_1 = a_2 b_2\text{,}\) donde ni\(a_2\) ni\(b_2\) es una unidad. Por el mismo argumento que antes,\(\langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle\text{.}\) podemos continuar con esta construcción para obtener una cadena ascendente de ideales

    \[ \langle a \rangle \subset \langle a_1 \rangle \subset \langle a_2 \rangle \subset \cdots\text{.} \nonumber \]

    Por Lema\(18.14\), existe un entero positivo\(N\) tal que\(\langle a_n \rangle = \langle a_N \rangle\) para todos\(n \geq N\text{.}\) Consecuentemente,\(a_N\) debe ser irreducible. Ahora hemos demostrado que\(a\) es producto de dos elementos, uno de los cuales debe ser irreducible.

    Ahora supongamos que\(a = c_1 p_1\text{,}\) donde\(p_1\) es irreducible. Si no\(c_1\) es una unidad, podemos repetir el argumento anterior para concluir que\(\langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle\text{.}\) Cualquiera\(c_1\) es irreducible o\(c_1 = c_2 p_2\text{,}\) donde\(p_2\) es irreducible y no\(c_2\) es una unidad. Continuando de esta manera, obtenemos otra cadena de ideales

    \[ \langle a \rangle \subset \langle c_1 \rangle \subset \langle c_2 \rangle \subset \cdots\text{.} \nonumber \]

    Esta cadena debe satisfacer la condición de cadena ascendente; por lo tanto,

    \[ a = p_1 p_2 \cdots p_r \nonumber \]

    para elementos irreducibles\(p_1, \ldots, p_r\text{.}\)

    Singularidad de la factorización. Para mostrar singularidad, vamos

    \[ a = p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s\text{,} \nonumber \]

    donde cada uno\(p_i\) y cada uno\(q_i\) es irreducible. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que\(r \lt s\text{.}\) Dado que\(p_1\) divide\(q_1 q_2 \cdots q_s\text{,}\) por Corolario\(18.13\) debe dividir algunos\(q_i\text{.}\) Al reordenar los\(q_i\)'s, podemos suponer que de\(p_1 \mid q_1\text{;}\) ahí,\(q_1 = u_1 p_1\) para alguna unidad\(u_1\) en\(D\text{.}\) Por lo tanto,

    \[ a = p_1 p_2 \cdots p_r = u_1 p_1 q_2 \cdots q_s \nonumber \]

    o

    \[ p_2 \cdots p_r = u_1 q_2 \cdots q_s\text{.} \nonumber \]

    Continuando de esta manera, podemos arreglar los\(q_i\)'s de tal manera que\(p_2 = q_2, p_3 = q_3, \ldots, p_r = q_r\text{,}\) para obtener

    \[ u_1 u_2 \cdots u_r q_{r + 1} \cdots q_s = 1\text{.} \nonumber \]

    En este caso\(q_{r + 1} \cdots q_s\) es una unidad, lo que contradice el hecho de que\(q_{r + 1}, \ldots, q_s\) son irreducibles. Por lo tanto,\(r = s\) y la factorización de\(a\) es única.

    Corolario\(18.16\)

    Que\(F\) sea un campo. Entonces\(F[x]\) es un UFD

    Ejemplo\(18.17\)

    Cada PID es un UFD, pero no es el caso de que cada UFD sea un PID. En Corolario 18.31, vamos a demostrar que\({\mathbb Z}[x]\) es una UFD. Sin embargo, no\({\mathbb Z}[x]\) es un PID. Vamos\(I = \{ 5 f(x) + x g(x) : f(x), g(x) \in {\mathbb Z}[x] \}\text{.}\) Podemos demostrar fácilmente que\(I\) es un ideal de\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Supongamos que\(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\)

    Solución

    Ya que\(5 \in I\text{,}\)\(5 = f(x) p(x)\text{.}\) en este caso\(p(x) = p\) debe ser una constante. Ya que\(x \in I\text{,}\)\(x = p g(x)\text{;}\) consecuentemente,\(p = \pm 1\text{.}\) Sin embargo, se deduce de este hecho que\(\langle p(x) \rangle = {\mathbb Z}[x]\text{.}\) Pero esto significaría que\(3\) está en\(I\text{.}\) Por lo tanto, podemos escribir\(3 = 5 f(x) + x g(x)\) para algunos\(f(x)\) y\(g(x)\) en\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Examinando el término constante de este polinomio, vemos que \(3 = 5 f(x)\text{,}\)lo cual es imposible.

    Dominios Euclideanos

    Hemos utilizado repetidamente el algoritmo de división al probar resultados sobre uno\({\mathbb Z}\) o\(F[x]\text{,}\) dónde\(F\) está un campo. Ahora deberíamos preguntar cuándo hay disponible un algoritmo de división para un dominio integral.

    \(D\)Sea un dominio integral tal que haya una función que\(\nu : D \setminus \{0\} \to \mathbb N\) satisfaga las siguientes condiciones.

    1. Si\(a\) y\(b\) son elementos distintos de cero en\(D\text{,}\) entonces\(\nu(a) \leq \nu(ab)\text{.}\)
    2. Dejemos\(a, b \in D\) y supongamos que\(b \neq 0\text{.}\) Entonces existen elementos\(q, r \in D\) tales que\(a = bq + r\) y\(r = 0\) o\(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\)

    Entonces\(D\) se llama dominio euclidiano y\(\nu\) se llama valuación euclidiana.

    Ejemplo\(18.18\)

    El valor absoluto on\({\mathbb Z}\) es una valoración euclidiana.

    Ejemplo\(18.19\)

    \(F\)Déjese ser un campo. Entonces

    Solución

    el grado de un polinomio en\(F[x]\) es una valoración euclidiana.

    Ejemplo\(18.20\)

    Recordemos que los enteros gaussianos en Ejemplo\(16.12\) del Capítulo 16 están definidos por

    \[ {\mathbb Z}[i] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.} \nonumber \]

    Normalmente medimos el tamaño de un número complejo\(a + bi\) por su valor absoluto,\(|a + bi| = \sqrt{ a^2 + b^2}\text{;}\) sin embargo,\(\sqrt{a^2 + b^2}\) puede que no sea un entero. Para nuestra valoración vamos\(\nu(a + bi) = a^2 + b^2\) a dejar que nos aseguremos de que tenemos un entero.

    Afirmamos que\(\nu( a+ bi) = a^2 + b^2\) es una valoración euclidiana sobre\({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Let\(z, w \in {\mathbb Z}[i]\text{.}\) Then\(\nu( zw) = |zw|^2 = |z|^2 |w|^2 = \nu(z) \nu(w)\text{.}\) Since\(\nu(z) \geq 1\) por cada distinto de cero\(z \in {\mathbb Z}[i]\text{,}\)\(\nu( z) \leq \nu(z) \nu(w)\text{.}\)

    Solución

    A continuación, debemos demostrar que para cualquiera\(z= a+bi\) y\(w = c+di\)\({\mathbb Z}[i]\) con\(w \neq 0\text{,}\) ello existen elementos\(q\) y\(r\) en\({\mathbb Z}[i]\) tal que\(z = qw + r\) con cualquiera\(r=0\) o\(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) Podemos ver\(z\) y\(w\) como elementos en\({\mathbb Q}(i) = \{ p + qi : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{,}\) el campo de fracciones de \({\mathbb Z}[i]\text{.}\)Observe que

    \ begin {alinear*} z w^ {-1} & = (a +b i)\ frac {c -d i} {c^2 + d^2}\\ & =\ frac {ac + b d} {c^2 + d^2} +\ frac {b c -ad} {c^2 + d^2} i\\ & =\ left (m_1 +\ frac {n_1} {c^2 + d^2}\ derecha) +\ izquierda (m_2 +\ frac {n_2} {c^2 + d^2}\ derecha) i\\ & = (m_1 + m_2 i) +\ izquierda (\ frac {n_1} {c^2 + d^2} +\ frac {n_2} {c^2 + d^2} i\ derecha)\\ & = (m_1 + m_2 i) + (s + ti)\ end {alinear*}

    en\({\mathbb Q}(i)\text{.}\) En los últimos pasos estamos escribiendo las partes real e imaginaria como un entero más una fracción propia. Es decir, tomamos el entero más cercano de\(m_i\) tal manera que la parte fraccionaria satisface\(|n_i / (a^2 + b^2)| \leq 1/2\text{.}\) Por ejemplo, escribimos

    \ begin {align*}\ frac {9} {8} & = 1 +\ frac {1} {8}\\ frac {15} {8} & = 2 -\ frac {1} {8}\ text {.} \ end {alinear*}

    Así,\(s\) y\(t\) son las “partes fraccionarias” de También\(z w^{-1} = (m_1 + m_2 i) + (s + ti)\text{.}\) sabemos que\(s^2 + t^2 \leq 1/4 + 1/4 = 1/2\text{.}\) Multiplicando por\(w\text{,}\) tenemos

    \[ z = z w^{-1} w = w (m_1 + m_2 i) + w (s + ti) = q w + r\text{,} \nonumber \]

    donde\(q = m_1 + m_2 i\) y\(r = w (s + ti)\text{.}\) Desde\(z\) y\(qw\) están en\({\mathbb Z}[i]\text{,}\)\(r\) debe estar en\({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Por último, tenemos que demostrar que cualquiera\(r = 0\) o\(\nu(r) \lt \nu(w)\text{.}\) Sin embargo,

    \[ \nu(r) = \nu(w) \nu(s + ti) \leq \frac{1}{2} \nu(w) \lt \nu(w)\text{.} \nonumber \]

    Teorema\(18.21\)

    Cada dominio euclidiano es un dominio ideal principal.

    Prueba

    Let\(D\) be a euclidean domain and let\(\nu\) be a euclidean valuation on\(D\text{.}\) Supongamos que\(I\) es un ideal no trivial en\(D\) y elige un elemento distinto de cero\(b \in I\) tal que\(\nu(b)\) sea mínimo para todos\(a \in I\text{.}\) Dado que\(D\) es un dominio euclidiano, existen elementos \(q\)y\(r\) en\(D\) tal que\(a = bq + r\) y ya sea\(r = 0\) o\(\nu(r) \lt \nu(b)\text{.}\) Pero\(r = a - bq\) está en\(I\) ya que\(I\) es un ideal; por lo tanto,\(r = 0\) por la minimalidad de\(b\text{.}\) Se deduce que\(a = bq\) y\(I = \langle b \rangle\text{.}\)

    Corolario\(18.22\)

    Cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único

    Factorización en\(D\lbrack x \rbrack\)

    Uno de los anillos polinomiales más importantes es\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Una de las primeras preguntas que me vienen a la mente\({\mathbb Z}[x]\) es si se trata o no de un UFD. Vamos a probar aquí una declaración más general. Nuestra primera tarea es obtener una versión más general del Lema (Teorema\(17.14\)) de Gauss.

    \(D\)Sea un dominio de factorización único y supongamos que

    \[ p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 \nonumber \]

    en\(D[x]\text{.}\) Entonces el contenido de\(p(x)\) es el mayor divisor común de\(a_0, \ldots, a_n\text{.}\) Decimos que\(p(x)\) es primitivo si\(\gcd(a_0, \ldots, a_n ) = 1\text{.}\)

    Ejemplo\(18.23\)

    En\({\mathbb Z}[x]\) el polinomio\(p(x)= 5 x^4 - 3 x^3 + x -4\) es un polinomio primitivo ya que el mayor divisor común de los coeficientes es,\(1\text{;}\) sin embargo,

    Solución

    el polinomio no\(q(x) = 4 x^2 - 6 x + 8\) es primitivo ya que el contenido de\(q(x)\) es\(2\text{.}\)

    Teorema\(18.24\). Gauss's Lemma

    Dejar\(D\) ser una UFD y dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser polinomios primitivos en\(D[x]\text{.}\) Entonces\(f(x) g(x)\) es primitivo.

    Prueba

    Let\(f(x) = \sum_{i=0}^{m} a_i x^i\) y\(g(x) = \sum_{i=0}^{n} b_i x^i\text{.}\) Supongamos que\(p\) es un primo dividiendo los coeficientes de\(f(x) g(x)\text{.}\) Let\(r\) ser el entero más pequeño tal que\(p \notdivide a_r\) y\(s\) ser el entero más pequeño tal que\(p \notdivide b_s\text{.}\) El coeficiente de\(x^{r+s}\) in\(f(x) g(x)\) es

    \[ c_{r + s} = a_0 b_{r + s} + a_1 b_{r + s - 1} + \cdots + a_{r + s - 1} b_1 + a_{r + s} b_0\text{.} \nonumber \]

    Ya que\(p\) divide\(a_0, \ldots, a_{r-1}\) y\(b_0, \ldots, b_{s-1}\text{,}\)\(p\) divide cada término de\(c_{r+s}\) excepto el término\(a_r b_s\text{.}\) Sin embargo, ya que\(p \mid c_{r+s}\text{,}\) o\(p\) divide\(a_r\) o\(p\) divide\(b_s\text{.}\) Pero esto es imposible.

    Lema\(18.25\)

    Dejar\(D\) ser un UFD,\(p(x)\) y dejar y\(q(x)\) estar en\(D[x]\text{.}\) Entonces el contenido de\(p(x) q(x)\) es igual al producto de los contenidos de\(p(x)\) y\(q(x)\text{.}\)

    Prueba

    Let\(p(x) = c p_1(x)\) y\(q(x) = d q_1(x)\text{,}\) donde\(c\) y\(d\) son los contenidos de\(p(x)\) y\(q(x)\text{,}\) respectivamente. Entonces\(p_1(x)\) y\(q_1(x)\) son primitivos. Ahora podemos escribir\(p(x) q(x) = c d p_1(x) q_1(x)\text{.}\) Dado que\(p_1(x) q_1(x)\) es primitivo, el contenido de\(p(x) q(x)\) debe ser\(cd\text{.}\)

    Teorema\(18.26\)

    Dejar\(D\) ser una UFD y\(F\) su campo de fracciones. Supongamos que\(p(x) \in D[x]\) \(f(x)\)y\(p(x) = f(x) g(x)\text{,}\) dónde y\(g(x)\) están en\(F[x]\text{.}\) Entonces\(p(x) = f_1(x) g_1(x)\text{,}\) dónde\(f_1(x)\) y\(g_1(x)\) están en\(D[x]\text{.}\) Además,\(\deg f(x) = \deg f_1(x)\) y\(\deg g(x) = \deg g_1(x)\text{.}\)

    Prueba

    Dejar\(a\) y\(b\) ser elementos distintos de cero de\(D\) tales que\(a f(x), b g(x)\) están en\(D[x]\text{.}\) Podemos encontrar\(a_1, b_1 \in D\) tales que\(a f(x) = a_1 f_1(x)\) y\(b g(x) = b_1 g_1(x)\text{,}\) donde\(f_1(x)\) y\(g_1(x)\) son polinomios primitivos en\(D[x]\text{.}\) Por lo tanto,\(a b p(x) = (a_1 f_1(x))( b_1 g_1(x))\text{.}\) Desde\(f_1(x)\) y\(g_1(x)\) son polinomios primitivos, debe darse el caso que\(ab \mid a_1 b_1\) por Lemma de Gauss. Así existe\(c \in D\) tal que\(p(x) = c f_1(x) g_1(x)\text{.}\) Claramente,\(\deg f(x) = \deg f_1(x)\) y\(\deg g(x) = \deg g_1(x)\text{.}\)

    Los siguientes corolarios son consecuencias directas de Lemma\(18.26\).

    Corolario\(18.27\)

    Dejar\(D\) ser una UFD y\(F\) su campo de fracciones. Un polinomio primitivo\(p(x)\) en\(D[x]\) es irreducible en\(F[x]\) si y solo si es irreducible en\ (D [x]\ text { . }\

    Corolario\(18.28\)

    Dejar\(D\) ser una UFD y\(F\) su campo de fracciones. Si\(p(x)\) es un polinomio monico en\(D[x]\) con\(p(x) = f(x) g(x)\) en\(F[x]\text{,}\) entonces\(p(x) = f_1(x) g_1(x)\text{,}\) donde\(f_1(x)\) y\(g_1(x)\) están en\(D[x]\text{.}\) Además,\(\deg f(x) = \deg f_1(x)\) y \(\deg g(x) = \deg g_1(x)\text{.}\)

    Teorema\(18.29\)

    Si\(D\) es un UFD, entonces\(D[x]\) es un UFD.

    Prueba

    Dejar\(p(x)\) ser un polinomio distinto de cero en\(D[x]\text{.}\) Si\(p(x)\) es un polinomio constante, entonces debe tener una factorización única ya que\(D\) es un UFD. Ahora supongamos que\(p(x)\) es un polinomio de grado positivo en\(D[x]\text{.}\) Let\(F\) be el campo de fracciones de\(D\text{,}\) y let\(p(x) = f_1(x) f_2(x) \cdots f_n(x)\) por una factorización de\(p(x)\text{,}\) donde cada uno\(f_i(x)\) es irreducible. Elige\(a_i \in D\) tal que\(a_i f_i(x)\) está en\(D[x]\text{.}\) Existe\(b_1, \ldots, b_n \in D\) tal que\(a_i f_i(x) = b_i g_i(x)\text{,}\) donde\(g_i(x)\) está un polinomio primitivo en\(D[x]\text{.}\) Por Corolario\(18.27\), cada uno\(g_i(x)\) es irreducible en\(D[x]\text{.}\) Consecuentemente, podemos escribir

    \[ a_1 \cdots a_n p(x) = b_1 \cdots b_n g_1(x) \cdots g_n(x)\text{.} \nonumber \]

    Let\(b = b_1 \cdots b_n\text{.}\)\(g_1(x) \cdots g_n(x)\) Since es primitivo,\(a_1 \cdots a_n\) divide\(b\text{.}\) Por lo tanto,\(p(x) = a g_1(x) \cdots g_n(x)\text{,}\) donde\(a \in D\text{.}\) Since\(D\) es un UFD, podemos factorizar\(a\) como\(u c_1 \cdots c_k\text{,}\) donde\(u\) es una unidad y cada uno de los\(c_i\)'s es irreducible en\(D\text{.}\)

    Ahora mostraremos la singularidad de esta factorización. Let

    \[ p(x) = a_1 \cdots a_m f_1(x) \cdots f_n(x) = b_1 \cdots b_r g_1(x) \cdots g_s(x) \nonumber \]

    ser dos factorizaciones de\(p(x)\text{,}\) donde todos los factores son irreducibles en\(D[x]\text{.}\) Por Corolario\(18.27\), cada uno de los\(f_i\)'s y\(g_i\)'s es irreducible en\(F[x]\text{.}\) Los\(a_i\)'s y los\(b_i\)'s son unidades en\(F\text{.}\) Dado que\(F[x]\) es un PID, es un UFD; por lo tanto,\(n=s\text{.}\) Ahora reorganizar los\(g_i(x)\)'s para que\(f_i(x)\) y\(g_i(x)\) sean asociados para\(i = 1, \ldots, n\text{.}\) Entonces existen\(c_1, \ldots, c_n\) y\(d_1, \ldots, d_n\) en\(D\) tal que\((c_i / d_i) f_i(x) = g_i(x)\) o\(c_i f_i(x) = d_i g_i(x)\text{.}\) Los polinomios\(f_i(x)\) y\(g_i(x)\) son primitivos; por lo tanto,\(c_i\) y\(d_i\) son asociados en\(D\text{.}\) Así,\(a_1 \cdots a_m = u b_1 \cdots b_r\) en\(D\text{,}\) donde\(u\) se encuentra una unidad en\(D\text{.}\) Dado que\(D\) es un dominio de factorización único,\(m = s\text{.}\) Finalmente, podemos reordenar los\(b_i\)'s para que\(a_i\) y\(b_i\) sean asociados para cada uno\(i\text{.}\) Esto completa la parte de singularidad de la prueba.

    El teorema que acabamos de probar tiene varios corolarios obvios pero importantes.

    Corolario\(18.30\)

    Que\(F\) sea un campo. Entonces\(F[x]\) es un UFD

    Corolario\(18.31\)

    El anillo de polinomios sobre los enteros,\({\mathbb Z}[x]\text{,}\) es un UFD

    Corolario\(18.32\)

    \(D\)Déjese ser una UFD. Entonces\(D[x_1, \ldots, x_n]\) es un UFD

    Observación\(18.33\)

    Es importante notar que cada dominio euclidiano es un PID y cada PID es un UFD. No obstante, como lo demuestran nuestros ejemplos, fracasa lo contrario de cada una de estas afirmaciones. Hay dominios ideales principales que no son dominios euclidianos, y hay dominios de factorización únicos que no son dominios ideales principales (\({\mathbb Z}[x]\)).

    Nota Histórica

    Karl Friedrich Gauss, nacido en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777, es considerado como uno de los mayores matemáticos que jamás haya existido. Gauss era verdaderamente un niño prodigio. A los tres años pudo detectar errores en los libros del negocio de su padre. Gauss ingresó a la universidad a los 15 años. Antes de los 20 años, Gauss pudo construir un polígono\(17\) de lados regulares con una regla y una brújula. Esta fue la primera nueva construcción de un polígono\(n\) de lados regulares desde la época de los antiguos griegos. Gauss logró demostrar que si\(N= 2^{2^n} + 1\) era primo, entonces era posible construir un polígono\(N\) de lados regulares.

    Gauss obtuvo su doctorado en 1799 bajo la dirección de Pfaff en la Universidad de Helmstedt. En su disertación dio la primera prueba completa del Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que cada polinomio con coeficientes reales puede ser factorizado en factores lineales sobre los números complejos. La aceptación de números complejos fue propiciada por Gauss, quien fue la primera persona en utilizar la notación de\(i\) for\(\sqrt{-1}\text{.}\)

    Gauss luego volvió su atención hacia la teoría de números; en 1801, publicó su famoso libro sobre teoría de números, Disquisitiones Aritmeticae. A lo largo de su vida Gauss estuvo intrigado con esta rama de las matemáticas. Una vez escribió: “Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de los números es la reina de las matemáticas”.

    En 1807, Gauss fue nombrado director del Observatorio de la Universidad de Gotinga, cargo que ocupó hasta su muerte. Esta posición le requirió estudiar aplicaciones de las matemáticas a las ciencias. Logró hacer contribuciones a campos como la astronomía, la mecánica, la óptica, la geodesia y el magnetismo. Junto con Wilhelm Weber, coinventó el primer telégrafo eléctrico práctico algunos años antes de que Samuel F. B. Morse inventara una mejor versión.

    Gauss fue claramente el matemático más destacado del mundo a principios del siglo XIX. Su estatus naturalmente hizo que sus descubrimientos fueran sometidos a un intenso escrutinio. La personalidad fría y lejana de Gauss muchas veces lo llevó a ignorar la obra de sus contemporáneos, convirtiéndolo en muchos enemigos. No disfrutaba mucho enseñando, y los jóvenes matemáticos que lo buscaban para animarlo a menudo fueron despreciados. Sin embargo, tuvo muchos estudiantes sobresalientes, entre ellos Eisenstein, Riemann, Kummer, Dirichlet y Dedekind. Gauss también ofreció un gran estímulo a Sophie Germain (1776—1831), quien superó los muchos obstáculos que enfrentaban las mujeres en su época para convertirse en una matemática muy destacada. Gauss murió a la edad de 78 años en Gotinga el 23 de febrero de 1855.


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