Saltar al contenido principal

# 19.9: Ejercicios de salvia

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Usa R = posets.RandomPoSet (30,0.05) para construir un poset aleatorio. Usa R.plot () para hacerte una idea de lo que has construido.

1. Ilustrar el uso de los métodos poset: .is_lequal (), .is_less_than (), .is_gequal () y .is_greater_than () para determinar si dos elementos específicos (de su elección) están relacionados o incomparables.
2. Usa .minimal_elements () y .maximal_elements () para encontrar los elementos más pequeños y más grandes de tu poset.
3. Utilice LatticEpoSet (R) para ver si el poset R es una celosía al intentar convertirlo en una celosía.
4. Encuentra una extensión lineal de tu poset. Confirme que cualquier par de elementos que sean comparables en el poset será igualmente comparable en la extensión lineal.

## 2

Construir el poset sobre los divisores positivos de$$72=2^3\cdot 3^2$$ con la divisiblidad como la relación, y luego convertirlo en una celosía.

1. Determine el elemento uno y cero usando .top () y .bottom ().
2. Determine todos los pares de elementos de la celosía que son complementos entre sí sin usar el método .complemento (), sino simplemente usar los métodos .meet () y .join (). Crédito extra si puedes generar cada par solo una vez.
3. Determine si la red es distributiva usando solo los métodos .meet () y .join (), y no el método .is_distributive ().

## 3

Construir varias celosías de diamante específicas con posets.DiamondPoset (n) variando el valor de n. Una vez que sientas que tienes suficiente evidencia empírica, da respuestas, con justificaciones, a las siguientes preguntas para valores generales de$$n\text{,}$$ basados en observaciones obtenidas de tus experimentos con Sage.

1. ¿Qué elementos tienen complementos y cuáles no, y por qué?
2. Lee la documentación del método.antichains () para saber qué es una anticadena. ¿Cuántas anticadena hay?
3. ¿La celosía es distributiva?

## 4

Utilice Posets.BooleanLattice (4) para construir una instancia del álgebra booleana prototípica en$$16$$ elementos (es decir, todos los subconjuntos de un$$4$$ -set).

Luego usa posets.IntegerComposiciones (5) para construir el poset cuyos$$16$$ elementos son las composiciones del entero$$5\text{.}$$ Hemos visto anteriormente que la composición entera enrejada es distributiva y complementada, convirtiéndola en un álgebra booleana. Y por Teorema$$19.23$$ podemos concluir que estas dos álgebras booleanas son isomórficas.

Utilice el método.plot () para ver la similitud visualmente. Luego usa el método .hasse_diagram () en cada poset para obtener una gráfica dirigida (que también puedes trazar, aunque la incrustación en el plano puede no ser tan informativa). Emplee el método graph .is_isomorphic () para ver que los dos diagramas de Hasse son realmente los “mismos”.

## 5

(Avanzado) Para la pregunta anterior, construir un isomorfismo explícito entre los dos álgebras booleanas. Esta sería una función biyectiva (construida con el comando def) que convierte las composiciones en conjuntos (o si, eliges, sets en composiciones) y que respeta las operaciones meet y join. Puedes probar e ilustrar tu función por su interacción con elementos específicos evaluados en las operaciones meet and join, como se describe en la definición de un isomorfismo de álgebras booleanas.

This page titled 19.9: Ejercicios de salvia is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Thomas W. Judson (Abstract Algebra: Theory and Applications) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.