20.5: Ejercicios

1

Si\(F\) es un campo, mostrar que\(F[x]\) es un espacio vectorial sobre\(F\text{,}\) donde los vectores en\(F[x]\) son polinomios. La adición de vectores es la adición polinómica, y la multiplicación escalar se define por\(\alpha p(x)\) para\(\alpha \in F\text{.}\)

2

Demostrar que\({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) es un espacio vectorial.

3

Dejar\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) ser el campo generado por elementos de la forma\(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) donde\(a, b, c, d\) están en\({\mathbb Q}\text{.}\) Demostrar que\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) es un espacio vectorial de dimensión\(4\) sobre\({\mathbb Q}\text{.}\) Buscar una base para\({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)

4

Demostrar que los números complejos son un espacio vectorial de dimensión\(2\) sobre\({\mathbb R}\text{.}\)

5

Demostrar que el conjunto\(P_n\) de todos los polinomios de grado menor que\(n\) forman un subespacio del espacio vectorial\(F[x]\text{.}\) Encontrar una base para\(P_n\) y calcular la dimensión de\(P_n\text{.}\)

6

Dejar\(F\) ser un campo y denotar el conjunto de\(n\) -tuplas de\(F\) por vectores\(F^n\text{.}\) dados\(u = (u_1, \ldots, u_n)\) y\(v = (v_1, \ldots, v_n)\) en\(F^n\) y\(\alpha\) en\(F\text{,}\) definir la adición de vectores por

\[ u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \nonumber \]

y multiplicación escalar por

\[ \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \nonumber \]

Demostrar que\(F^n\) es un espacio vectorial de dimensión\(n\) bajo estas operaciones.

7

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de\({\mathbb R}^3\text{?}\) Si el conjunto es efectivamente un subespacio, encontrar una base para el subespacio y calcular su dimensión.

1. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}\)
2. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}\)
3. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}\)
4. \(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}\)

8

Mostrar que el conjunto de todas las soluciones posibles\((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) de las ecuaciones

\ comenzar {alinear*} Ax + B y + C z & = 0\\ D x + E y + C z & = 0\ final {alinear*}

formar un subespacio de\({\mathbb R}^3\text{.}\)

9

Dejar\(W\) ser el subconjunto de funciones continuas sobre\([0, 1]\) tal que\(f(0) = 0\text{.}\) Demostrar que\(W\) es un subespacio de\(C[0, 1]\text{.}\)

10

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial sobre\(F\text{.}\) Demostrar eso\(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) para todos\(\alpha \in F\) y para todos\(v \in V\text{.}\)

11

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de dimensión\(n\text{.}\) Probar cada una de las siguientes afirmaciones.

1. Si\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes para\(V\text{,}\) entonces\(S\) es una base para\(V\text{.}\)
2. Si se\(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) extiende\(V\text{,}\) entonces\(S\) es una base para\(V\text{.}\)
3. Si\(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes para\(V\) con\(k \lt n\text{,}\) entonces existen vectores\(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) tales que

   \[ \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \nonumber \]

   es una base para\(V\text{.}\)

12

Demostrar que cualquier conjunto de vectores que contiene\({\mathbf 0}\) es linealmente dependiente.

13

Dejar\(V\) ser un espacio vectorial. Mostrar que\(\{ {\mathbf 0} \}\) es un subespacio de\(V\) de dimensión cero.

14

Si un espacio vectorial\(V\) está abarcado por\(n\) vectores, muestre que cualquier conjunto de\(m\) vectores\(V\) debe ser linealmente dependiente para\(m \gt n\text{.}\)

15. Transformaciones lineales

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales sobre un campo\(F\text{,}\) de dimensiones\(m\) y\(n\text{,}\) respectivamente. Si\(T: V \rightarrow W\) es un mapa satisfactorio

\ comenzar {alinear*} T (u+ v) & = T (u) + T (v)\\ T (\ alfa v) & =\ alfa T (v)\ final {alinear*}

para todos\(\alpha \in F\) y para todos\(u, v \in V\text{,}\) entonces\(T\) se llama una transformación lineal de\(V\) a\(W\text{.}\)

1. Demostrar que el núcleo de\(T\text{,}\)\(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) es un subespacio de\(V\text{.}\) El núcleo de a veces\(T\) se llama el espacio nulo de\(T\text{.}\)
2. Demostrar que el espacio de alcance o rango de\(T\text{,}\)\(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}\) es un subespacio de\(W\text{.}\)
3. Demostrar que\(T : V \rightarrow W\) es inyectivo si y solo si\(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)
4. Seamos\(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) una base para el espacio nulo de\(T\text{.}\) Podemos extender esta base para ser una base\(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) de\(V\text{.}\) ¿Por qué? Demostrar que\(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) es una base para el rango de\(T\text{.}\) Concluir que el rango de\(T\) tiene dimensión\(m - k\text{.}\)
5. Dejar\(\dim V = \dim W\text{.}\) Mostrar que una transformación lineal\(T : V \rightarrow W\) es inyectiva si y sólo si es suryectiva.

16

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales dimensionales finitos de dimensión\(n\) sobre un campo\(F\text{.}\) Supongamos que\(T: V \rightarrow W\) es un isomorfismo espacial vectorial. Si\(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) es una base de\(V\text{,}\) espectáculo que\(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) es una base de\(W\text{.}\) Concluir que cualquier espacio vectorial sobre un campo\(F\) de dimensión\(n\) es isomórfico a\(F^n\text{.}\)

17. Sumas Directas

Dejar\(U\) y\(V\) ser subespacios de un espacio vectorial\(W\text{.}\) La suma de\(U\) y\(V\text{,}\) denotado\(U + V\text{,}\) se define como el conjunto de todos los vectores de la forma\(u + v\text{,}\) donde\(u \in U\) y\(v \in V\text{.}\)

1. Demostrar que\(U + V\) y\(U \cap V\) son subespacios de\(W\text{.}\)
2. Si\(U + V = W\) y\(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) entonces\(W\) se dice que es la suma directa. En este caso, escribimos\(W = U \oplus V\text{.}\) Mostrar que cada elemento\(w \in W\) puede escribirse de manera única como\(w = u + v\text{,}\) dónde\(u \in U\) y\(v \in V\text{.}\)
3. \(U\)Sea un subespacio de dimensión\(k\) de un espacio vectorial\(W\) de dimensión\(n\text{.}\) Demostrar que existe un subespacio\(V\) de dimensión\(n-k\) tal que ¿\(W = U \oplus V\text{.}\)Es el subespacio\(V\) único?
4. Si\(U\) y\(V\) son subespacios arbitrarios de un espacio vectorial\(W\text{,}\) muestran que

   \[ \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V)\text{.} \nonumber \]

18. Espacios Duales

Dejar\(V\) y\(W\) ser espacios vectoriales dimensionales finitos sobre un campo\(F\text{.}\)

1. Mostrar que el conjunto de todas las transformaciones lineales de\(V\) hacia\(W\text{,}\) denotado por\(\Hom(V, W)\text{,}\) es un espacio vectorial sobre\(F\text{,}\) donde definimos la adición de vectores de la siguiente manera:

   \ comenzar {alinear*} (S + T) (v) & = S (v) +T (v)\\ (\ alfa S) (v) & =\ alfa S (v)\ texto {,}\ final {alinear*}

   dónde\(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\)\(\alpha \in F\text{,}\) y\(v \in V\text{.}\)

2. Dejar\(V\) ser un espacio\(F\) -vector. Definir el espacio dual de\(V\) ser\(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Los elementos en el espacio dual de se\(V\) denominan funcionales lineales. Dejar\(v_1, \ldots, v_n\) ser una base ordenada para\(V\text{.}\) Si\(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) es cualquier vector en\(V\text{,}\) definir un funcional lineal\(\phi_i : V \rightarrow F\) por\(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Mostrar que los\(\phi_i\)'s forman una base para\(V^*\text{.}\) Esta base se llama la base dual de\(v_1, \ldots, v_n\) (o simplemente la base dual si el contexto deja claro el significado).
3. Considerar la base\(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) para\({\mathbb R}^2\text{.}\) ¿Cuál es la base dual para\(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)
4. Dejar\(V\) ser un espacio vectorial de dimensión\(n\) sobre un campo\(F\) y dejar\(V^{* *}\) ser el espacio dual de\(V^*\text{.}\) Mostrar que cada elemento\(v \in V\) da lugar a un elemento\(\lambda_v\) en\(V^{**}\) y que el mapa\(v \mapsto \lambda_v\) es un isomorfismo de\(V\) con\(V^{**}\text{.}\)