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# 20.5: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Si$$F$$ es un campo, mostrar que$$F[x]$$ es un espacio vectorial sobre$$F\text{,}$$ donde los vectores en$$F[x]$$ son polinomios. La adición de vectores es la adición polinómica, y la multiplicación escalar se define por$$\alpha p(x)$$ para$$\alpha \in F\text{.}$$

## 2

Demostrar que$${\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )$$ es un espacio vectorial.

## 3

Dejar$${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )$$ ser el campo generado por elementos de la forma$$a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}$$ donde$$a, b, c, d$$ están en$${\mathbb Q}\text{.}$$ Demostrar que$${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )$$ es un espacio vectorial de dimensión$$4$$ sobre$${\mathbb Q}\text{.}$$ Buscar una base para$${\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}$$

## 4

Demostrar que los números complejos son un espacio vectorial de dimensión$$2$$ sobre$${\mathbb R}\text{.}$$

## 5

Demostrar que el conjunto$$P_n$$ de todos los polinomios de grado menor que$$n$$ forman un subespacio del espacio vectorial$$F[x]\text{.}$$ Encontrar una base para$$P_n$$ y calcular la dimensión de$$P_n\text{.}$$

## 6

Dejar$$F$$ ser un campo y denotar el conjunto de$$n$$ -tuplas de$$F$$ por vectores$$F^n\text{.}$$ dados$$u = (u_1, \ldots, u_n)$$ y$$v = (v_1, \ldots, v_n)$$ en$$F^n$$ y$$\alpha$$ en$$F\text{,}$$ definir la adición de vectores por

$u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \nonumber$

y multiplicación escalar por

$\alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \nonumber$

Demostrar que$$F^n$$ es un espacio vectorial de dimensión$$n$$ bajo estas operaciones.

## 7

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de$${\mathbb R}^3\text{?}$$ Si el conjunto es efectivamente un subespacio, encontrar una base para el subespacio y calcular su dimensión.

1. $$\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}$$
2. $$\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$$
3. $$\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}$$
4. $$\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}$$

## 8

Mostrar que el conjunto de todas las soluciones posibles$$(x, y, z) \in {\mathbb R}^3$$ de las ecuaciones

\ comenzar {alinear*} Ax + B y + C z & = 0\\ D x + E y + C z & = 0\ final {alinear*}

formar un subespacio de$${\mathbb R}^3\text{.}$$

## 9

Dejar$$W$$ ser el subconjunto de funciones continuas sobre$$[0, 1]$$ tal que$$f(0) = 0\text{.}$$ Demostrar que$$W$$ es un subespacio de$$C[0, 1]\text{.}$$

## 10

Dejar$$V$$ ser un espacio vectorial sobre$$F\text{.}$$ Demostrar eso$$-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)$$ para todos$$\alpha \in F$$ y para todos$$v \in V\text{.}$$

## 11

Dejar$$V$$ ser un espacio vectorial de dimensión$$n\text{.}$$ Probar cada una de las siguientes afirmaciones.

1. Si$$S = \{v_1, \ldots, v_n \}$$ es un conjunto de vectores linealmente independientes para$$V\text{,}$$ entonces$$S$$ es una base para$$V\text{.}$$
2. Si se$$S = \{v_1, \ldots, v_n \}$$ extiende$$V\text{,}$$ entonces$$S$$ es una base para$$V\text{.}$$
3. Si$$S = \{v_1, \ldots, v_k \}$$ es un conjunto de vectores linealmente independientes para$$V$$ con$$k \lt n\text{,}$$ entonces existen vectores$$v_{k + 1}, \ldots, v_n$$ tales que

$\{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \nonumber$

es una base para$$V\text{.}$$

## 12

Demostrar que cualquier conjunto de vectores que contiene$${\mathbf 0}$$ es linealmente dependiente.

## 13

Dejar$$V$$ ser un espacio vectorial. Mostrar que$$\{ {\mathbf 0} \}$$ es un subespacio de$$V$$ de dimensión cero.

## 14

Si un espacio vectorial$$V$$ está abarcado por$$n$$ vectores, muestre que cualquier conjunto de$$m$$ vectores$$V$$ debe ser linealmente dependiente para$$m \gt n\text{.}$$

## 15. Transformaciones lineales

Dejar$$V$$ y$$W$$ ser espacios vectoriales sobre un campo$$F\text{,}$$ de dimensiones$$m$$ y$$n\text{,}$$ respectivamente. Si$$T: V \rightarrow W$$ es un mapa satisfactorio

\ comenzar {alinear*} T (u+ v) & = T (u) + T (v)\\ T (\ alfa v) & =\ alfa T (v)\ final {alinear*}

para todos$$\alpha \in F$$ y para todos$$u, v \in V\text{,}$$ entonces$$T$$ se llama una transformación lineal de$$V$$ a$$W\text{.}$$

1. Demostrar que el núcleo de$$T\text{,}$$$$\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}$$ es un subespacio de$$V\text{.}$$ El núcleo de a veces$$T$$ se llama el espacio nulo de$$T\text{.}$$
2. Demostrar que el espacio de alcance o rango de$$T\text{,}$$$$R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ for some } v \in V \}\text{,}$$ es un subespacio de$$W\text{.}$$
3. Demostrar que$$T : V \rightarrow W$$ es inyectivo si y solo si$$\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}$$
4. Seamos$$\{ v_1, \ldots, v_k \}$$ una base para el espacio nulo de$$T\text{.}$$ Podemos extender esta base para ser una base$$\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}$$ de$$V\text{.}$$ ¿Por qué? Demostrar que$$\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}$$ es una base para el rango de$$T\text{.}$$ Concluir que el rango de$$T$$ tiene dimensión$$m - k\text{.}$$
5. Dejar$$\dim V = \dim W\text{.}$$ Mostrar que una transformación lineal$$T : V \rightarrow W$$ es inyectiva si y sólo si es suryectiva.

## 16

Dejar$$V$$ y$$W$$ ser espacios vectoriales dimensionales finitos de dimensión$$n$$ sobre un campo$$F\text{.}$$ Supongamos que$$T: V \rightarrow W$$ es un isomorfismo espacial vectorial. Si$$\{ v_1, \ldots, v_n \}$$ es una base de$$V\text{,}$$ espectáculo que$$\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}$$ es una base de$$W\text{.}$$ Concluir que cualquier espacio vectorial sobre un campo$$F$$ de dimensión$$n$$ es isomórfico a$$F^n\text{.}$$

## 17. Sumas Directas

Dejar$$U$$ y$$V$$ ser subespacios de un espacio vectorial$$W\text{.}$$ La suma de$$U$$ y$$V\text{,}$$ denotado$$U + V\text{,}$$ se define como el conjunto de todos los vectores de la forma$$u + v\text{,}$$ donde$$u \in U$$ y$$v \in V\text{.}$$

1. Demostrar que$$U + V$$ y$$U \cap V$$ son subespacios de$$W\text{.}$$
2. Si$$U + V = W$$ y$$U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}$$ entonces$$W$$ se dice que es la suma directa. En este caso, escribimos$$W = U \oplus V\text{.}$$ Mostrar que cada elemento$$w \in W$$ puede escribirse de manera única como$$w = u + v\text{,}$$ dónde$$u \in U$$ y$$v \in V\text{.}$$
3. $$U$$Sea un subespacio de dimensión$$k$$ de un espacio vectorial$$W$$ de dimensión$$n\text{.}$$ Demostrar que existe un subespacio$$V$$ de dimensión$$n-k$$ tal que ¿$$W = U \oplus V\text{.}$$Es el subespacio$$V$$ único?
4. Si$$U$$ y$$V$$ son subespacios arbitrarios de un espacio vectorial$$W\text{,}$$ muestran que

$\dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V)\text{.} \nonumber$

## 18. Espacios Duales

Dejar$$V$$ y$$W$$ ser espacios vectoriales dimensionales finitos sobre un campo$$F\text{.}$$

1. Mostrar que el conjunto de todas las transformaciones lineales de$$V$$ hacia$$W\text{,}$$ denotado por$$\Hom(V, W)\text{,}$$ es un espacio vectorial sobre$$F\text{,}$$ donde definimos la adición de vectores de la siguiente manera:

\ comenzar {alinear*} (S + T) (v) & = S (v) +T (v)\\ (\ alfa S) (v) & =\ alfa S (v)\ texto {,}\ final {alinear*}

dónde$$S, T \in \Hom(V, W)\text{,}$$$$\alpha \in F\text{,}$$ y$$v \in V\text{.}$$

2. Dejar$$V$$ ser un espacio$$F$$ -vector. Definir el espacio dual de$$V$$ ser$$V^* = \Hom(V, F)\text{.}$$ Los elementos en el espacio dual de se$$V$$ denominan funcionales lineales. Dejar$$v_1, \ldots, v_n$$ ser una base ordenada para$$V\text{.}$$ Si$$v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n$$ es cualquier vector en$$V\text{,}$$ definir un funcional lineal$$\phi_i : V \rightarrow F$$ por$$\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}$$ Mostrar que los$$\phi_i$$'s forman una base para$$V^*\text{.}$$ Esta base se llama la base dual de$$v_1, \ldots, v_n$$ (o simplemente la base dual si el contexto deja claro el significado).
3. Considerar la base$$\{ (3, 1), (2, -2) \}$$ para$${\mathbb R}^2\text{.}$$ ¿Cuál es la base dual para$$({\mathbb R}^2)^*\text{?}$$
4. Dejar$$V$$ ser un espacio vectorial de dimensión$$n$$ sobre un campo$$F$$ y dejar$$V^{* *}$$ ser el espacio dual de$$V^*\text{.}$$ Mostrar que cada elemento$$v \in V$$ da lugar a un elemento$$\lambda_v$$ en$$V^{**}$$ y que el mapa$$v \mapsto \lambda_v$$ es un isomorfismo de$$V$$ con$$V^{**}\text{.}$$

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