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21.5: Ejercicios

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1

Demostrar que cada uno de los siguientes números es algebraico sobre$${\mathbb Q}$$ encontrando el polinomio mínimo del número sobre$${\mathbb Q}\text{.}$$

1. $$\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }$$
2. $$\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}$$
3. $$\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i$$
4. $$\cos \theta + i \sin \theta$$para$$\theta = 2 \pi /n$$ con$$n \in {\mathbb N}$$
5. $$\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }$$

2

Encuentre una base para cada una de las siguientes extensiones de campo. ¿Cuál es el grado de cada extensión?

1. $${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )$$sobre$${\mathbb Q}$$
2. $${\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )$$sobre$${\mathbb Q}$$
3. $${\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)$$sobre$${\mathbb Q}$$
4. $${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )$$sobre$${\mathbb Q}$$
5. $${\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )$$sobre$${\mathbb Q}$$
6. $${\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )$$sobre$${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )$$
7. $${\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )$$sobre$${\mathbb Q}$$
8. $${\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )$$sobre$${\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )$$
9. $${\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )$$sobre$${\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )$$

3

Encuentra el campo de división para cada uno de los siguientes polinomios.

1. $$x^4 - 10 x^2 + 21$$sobre$${\mathbb Q}$$
2. $$x^4 + 1$$sobre$${\mathbb Q}$$
3. $$x^3 + 2x + 2$$sobre$${\mathbb Z}_3$$
4. $$x^3 - 3$$sobre$${\mathbb Q}$$

4

Considere la extensión de campo$${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$$ sobre$$\mathbb Q\text{.}$$

1. Encuentre una base para la extensión de campo$${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$$ sobre$$\mathbb Q\text{.}$$ Concluir que$$[{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}$$
2. Encuentra todos los subcampos$$F$$ de$${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$$ tal manera que$$[F:\mathbb Q] = 2\text{.}$$
3. Encuentra todos los subcampos$$F$$ de$${\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )$$ tal manera que$$[F:\mathbb Q] = 4\text{.}$$

5

Demostrar que$${\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle$$ es un campo con ocho elementos. Construir una tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo del campo.

6

Demuestre que el$$9$$ -gon regular no es construible con una recta y brújula, sino que el$$20$$ -gon regular es construible.

7

Demostrar que el coseno de un grado ($$\cos 1^\circ$$) es algebraico sobre$${\mathbb Q}$$ pero no edificable.

8

¿Se puede construir un cubo con tres veces el volumen de un cubo dado?

9

Demostrar que$${\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )$$ es una extensión algebraica de$${\mathbb Q}$$ pero no una extensión finita.

10

Demostrar o desmentir:$$\pi$$ es algebraico sobre$${\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}$$

11

Dejar$$p(x)$$ ser un polinomio no constante de grado$$n$$ en$$F[x]\text{.}$$ Demostrar que existe un campo de división$$E$$ para$$p(x)$$ tal que$$[E : F] \leq n!\text{.}$$

12

Demostrar o desacreditar:$${\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}$$

13

Demostrar que los campos$${\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )$$ y$${\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)$$ son isomórficos pero no iguales.

14

Dejar$$K$$ ser una extensión algebraica de$$E\text{,}$$ y$$E$$ una extensión algebraica de$$F\text{.}$$ Prove que$$K$$ es algebraica sobre$$F\text{.}$$ [Precaución: No asuma que las extensiones son finitas.]

15

Demostrar o desmentir:$${\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle$$ es un campo.

16

Dejar$$F$$ ser un campo de características$$p\text{.}$$ Demostrar que$$p(x) = x^p - a$$ o bien es irreducible sobre$$F$$ o se divide en$$F\text{.}$$

17

$$E$$Sea el cierre algebraico de un campo$$F\text{.}$$ Demostrar que cada polinomio$$p(x)$$ en$$F[x]$$ divisiones en$$E\text{.}$$

18

Si cada polinomio irreducible$$p(x)$$ en$$F[x]$$ es lineal, mostrar que$$F$$ es un campo algebraicamente cerrado.

19

Demostrar que si$$\alpha$$ y$$\beta$$ son números constructibles de tal manera que$$\beta \neq 0\text{,}$$ entonces así es$$\alpha / \beta\text{.}$$

20

Mostrar que el conjunto de todos los elementos en los$${\mathbb R}$$ que son algebraicas sobre$${\mathbb Q}$$ forman una extensión de campo de$${\mathbb Q}$$ que no es finito.

21

Dejar$$E$$ ser una extensión algebraica de un campo$$F\text{,}$$ y dejar$$\sigma$$ ser un automorfismo de$$E$$ dejar$$F$$ fijo. Let$$\alpha \in E\text{.}$$ Show que$$\sigma$$ induce una permutación del conjunto de todos los ceros del polinomio mínimo de$$\alpha$$ que se encuentran en$$E\text{.}$$

22

Demuestre que$${\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}$$ Amplíe su prueba para demostrar que$${\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}$$ dónde$$a \neq b$$ y$$a$$ ni ni$$b$$ es una plaza perfecta.

23

Dejar$$E$$ ser una extensión finita de un campo$$F\text{.}$$ Si$$[E:F] = 2\text{,}$$ mostrar que$$E$$ es un campo de división de$$F$$ para algún polinomio$$f(x) \in F[x]\text{.}$$

24

Demostrar o desmentir: Dado un polinomio$$p(x)$$ en$${\mathbb Z}_6[x]\text{,}$$ él es posible construir un anillo$$R$$ tal que$$p(x)$$ tenga una raíz en$$R\text{.}$$

25

Let$$E$$ Ser una extensión de campo de$$F$$ y$$\alpha \in E\text{.}$$ Determinar$$[F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}$$

26

Seamos$$\alpha, \beta$$ trascendentales sobre$${\mathbb Q}\text{.}$$ Demostrar eso$$\alpha \beta$$ o también$$\alpha + \beta$$ es trascendental.

27

$$E$$Sea un campo de extensión$$F$$ y$$\alpha \in E$$ sea trascendental sobre$$F\text{.}$$ Demostrar que cada elemento en$$F(\alpha)$$ lo que no está en$$F$$ es también trascendental sobre$$F\text{.}$$

28

$$\alpha$$Sea una raíz de un polinomio monico irreducible$$p(x) \in F[x]\text{,}$$ con$$\deg p = n\text{.}$$ Probarlo$$[F(\alpha) : F] = n\text{.}$$

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