21.5: Ejercicios

1

Demostrar que cada uno de los siguientes números es algebraico sobre\({\mathbb Q}\) encontrando el polinomio mínimo del número sobre\({\mathbb Q}\text{.}\)

1. \(\displaystyle \sqrt{ 1/3 + \sqrt{7} }\)
2. \(\displaystyle \sqrt{ 3} + \sqrt[3]{5}\)
3. \(\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}\, i\)
4. \(\cos \theta + i \sin \theta\)para\(\theta = 2 \pi /n\) con\(n \in {\mathbb N}\)
5. \(\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{2} - i }\)

2

Encuentre una base para cada una de las siguientes extensiones de campo. ¿Cuál es el grado de cada extensión?

1. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{6}\, )\)sobre\({\mathbb Q}\)
2. \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\, )\)sobre\({\mathbb Q}\)
3. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, i)\)sobre\({\mathbb Q}\)
4. \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}\, )\)sobre\({\mathbb Q}\)
5. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \root 3 \of{2}\, )\)sobre\({\mathbb Q}\)
6. \({\mathbb Q}( \sqrt{8}\, )\)sobre\({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\)
7. \({\mathbb Q}(i, \sqrt{2} +i, \sqrt{3} + i )\)sobre\({\mathbb Q}\)
8. \({\mathbb Q}( \sqrt{2} + \sqrt{5}\, )\)sobre\({\mathbb Q} ( \sqrt{5}\, )\)
9. \({\mathbb Q}( \sqrt{2}, \sqrt{6} + \sqrt{10}\, )\)sobre\({\mathbb Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\)

3

Encuentra el campo de división para cada uno de los siguientes polinomios.

1. \(x^4 - 10 x^2 + 21\)sobre\({\mathbb Q}\)
2. \(x^4 + 1\)sobre\({\mathbb Q}\)
3. \(x^3 + 2x + 2\)sobre\({\mathbb Z}_3\)
4. \(x^3 - 3\)sobre\({\mathbb Q}\)

4

Considere la extensión de campo\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre\(\mathbb Q\text{.}\)

1. Encuentre una base para la extensión de campo\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) sobre\(\mathbb Q\text{.}\) Concluir que\([{\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i ): \mathbb Q] = 8\text{.}\)
2. Encuentra todos los subcampos\(F\) de\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal manera que\([F:\mathbb Q] = 2\text{.}\)
3. Encuentra todos los subcampos\(F\) de\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{3}, i )\) tal manera que\([F:\mathbb Q] = 4\text{.}\)

5

Demostrar que\({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) es un campo con ocho elementos. Construir una tabla de multiplicación para el grupo multiplicativo del campo.

6

Demuestre que el\(9\) -gon regular no es construible con una recta y brújula, sino que el\(20\) -gon regular es construible.

7

Demostrar que el coseno de un grado (\(\cos 1^\circ\)) es algebraico sobre\({\mathbb Q}\) pero no edificable.

8

¿Se puede construir un cubo con tres veces el volumen de un cubo dado?

9

Demostrar que\({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt[4]{3}, \sqrt[8]{3}, \ldots )\) es una extensión algebraica de\({\mathbb Q}\) pero no una extensión finita.

10

Demostrar o desmentir:\(\pi\) es algebraico sobre\({\mathbb Q}(\pi^3)\text{.}\)

11

Dejar\(p(x)\) ser un polinomio no constante de grado\(n\) en\(F[x]\text{.}\) Demostrar que existe un campo de división\(E\) para\(p(x)\) tal que\([E : F] \leq n!\text{.}\)

12

Demostrar o desacreditar:\({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) \cong {\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\)

13

Demostrar que los campos\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, )\) y\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{3}\, i)\) son isomórficos pero no iguales.

14

Dejar\(K\) ser una extensión algebraica de\(E\text{,}\) y\(E\) una extensión algebraica de\(F\text{.}\) Prove que\(K\) es algebraica sobre\(F\text{.}\) [Precaución: No asuma que las extensiones son finitas.]

15

Demostrar o desmentir:\({\mathbb Z}[x] / \langle x^3 -2 \rangle\) es un campo.

16

Dejar\(F\) ser un campo de características\(p\text{.}\) Demostrar que\(p(x) = x^p - a\) o bien es irreducible sobre\(F\) o se divide en\(F\text{.}\)

17

\(E\)Sea el cierre algebraico de un campo\(F\text{.}\) Demostrar que cada polinomio\(p(x)\) en\(F[x]\) divisiones en\(E\text{.}\)

18

Si cada polinomio irreducible\(p(x)\) en\(F[x]\) es lineal, mostrar que\(F\) es un campo algebraicamente cerrado.

19

Demostrar que si\(\alpha\) y\(\beta\) son números constructibles de tal manera que\(\beta \neq 0\text{,}\) entonces así es\(\alpha / \beta\text{.}\)

20

Mostrar que el conjunto de todos los elementos en los\({\mathbb R}\) que son algebraicas sobre\({\mathbb Q}\) forman una extensión de campo de\({\mathbb Q}\) que no es finito.

21

Dejar\(E\) ser una extensión algebraica de un campo\(F\text{,}\) y dejar\(\sigma\) ser un automorfismo de\(E\) dejar\(F\) fijo. Let\(\alpha \in E\text{.}\) Show que\(\sigma\) induce una permutación del conjunto de todos los ceros del polinomio mínimo de\(\alpha\) que se encuentran en\(E\text{.}\)

22

Demuestre que\({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{7}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{7}\, )\text{.}\) Amplíe su prueba para demostrar que\({\mathbb Q}( \sqrt{a}, \sqrt{b}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{a} + \sqrt{b}\, )\text{,}\) dónde\(a \neq b\) y\(a\) ni ni\(b\) es una plaza perfecta.

23

Dejar\(E\) ser una extensión finita de un campo\(F\text{.}\) Si\([E:F] = 2\text{,}\) mostrar que\(E\) es un campo de división de\(F\) para algún polinomio\(f(x) \in F[x]\text{.}\)

24

Demostrar o desmentir: Dado un polinomio\(p(x)\) en\({\mathbb Z}_6[x]\text{,}\) él es posible construir un anillo\(R\) tal que\(p(x)\) tenga una raíz en\(R\text{.}\)

25

Let\(E\) Ser una extensión de campo de\(F\) y\(\alpha \in E\text{.}\) Determinar\([F(\alpha): F(\alpha^3)]\text{.}\)

26

Seamos\(\alpha, \beta\) trascendentales sobre\({\mathbb Q}\text{.}\) Demostrar eso\(\alpha \beta\) o también\(\alpha + \beta\) es trascendental.

27

\(E\)Sea un campo de extensión\(F\) y\(\alpha \in E\) sea trascendental sobre\(F\text{.}\) Demostrar que cada elemento en\(F(\alpha)\) lo que no está en\(F\) es también trascendental sobre\(F\text{.}\)

28

\(\alpha\)Sea una raíz de un polinomio monico irreducible\(p(x) \in F[x]\text{,}\) con\(\deg p = n\text{.}\) Probarlo\([F(\alpha) : F] = n\text{.}\)