21.8: Ejercicio de salvia

1

Crear el polinomio\(p(x)=x^5+2x^4+1\) sobre\({\mathbb Z}_3\text{.}\) Verificar que no tenga ningún factor lineal evaluando\(p(x)\) con cada elemento de\({\mathbb Z}_3\text{,}\) y luego verificar que\(p(x)\) sea irreducible.

Cree un campo finito de orden\(3^5\) con el comando finiteField (), pero incluya la palabra clave modulus establecida en el polinomio\(p(x)\) para anular la elección predeterminada.

Recrear\(p(x)\) como polinomio sobre este campo. Verifique cada uno de los\(3^5 = 243\) elementos del campo para ver si son raíces del polinomio y enumere todos los elementos que son raíces. Por último, solicita que Sage dé una factorización de\(p(x)\) over the field, y comente sobre la relación entre tu lista de raíces y tu factorización.

2

Este problema continúa el anterior. Construye el anillo de polinomios sobre\({\mathbb Z}_3\) y dentro de este anillo\(p(x)\) para generar un ideal principal. Finalmente construir el cociente del anillo polinómico por el ideal. Dado que el polinomio es irreducible, este anillo de cociente es un campo, y por Proposición\(21.12\) este anillo de cociente es isomórfico al campo numérico en el problema anterior.

Tomando prestado de tus resultados en la pregunta anterior, construye cinco raíces del polinomio\(p(x)\) dentro de este anillo de cociente, pero ahora como expresiones en el generador del anillo de cociente (que técnicamente es un coconjunto). Usa Sage para verificar que efectivamente son raíces. Esto demuestra el uso de un anillo de cociente para crear un campo de división para un polinomio irreducible sobre un campo finito.

3

La subsección Elementos algebraicos se basa en técnicas de álgebra lineal y contiene Teorema\(21.15\): cada extensión finita es una extensión algebraica. Este ejercicio te ayudará a entender esta prueba.

El polinomio\(r(x)=x^4+2x+2\) es irreducible sobre los racionales (criterio de Eisenstein con prime\(p=2\)). Crear un campo numérico que contenga una raíz de\(r(x)\text{.}\) Por teorema\(21.15\), y la observación siguiente, cada elemento de esta extensión de campo finito es un número algebraico, y por lo tanto satisface algún polinomio sobre el campo base (es este polinomio que Sage producirá con el .minpoly () método). Este ejercicio mostrará cómo podemos usar solo álgebra lineal para determinar este polinomio mínimo.

Supongamos que a es el generador del campo numérico con el que acabas de crear\(r(x)\text{.}\) Entonces determinaremos el polinomio mínimo de t = 3a + 1 usando solo álgebra lineal. Según la prueba, los cinco primeros poderes de t (empezar a contar desde cero) serán linealmente dependientes. (¿Por qué?) Entonces una relación no trivial de dependencia lineal de estas potencias proporcionará los coeficientes de un polinomio con t como raíz. Calcular estas cinco potencias, luego construir el sistema lineal correcto para determinar los coeficientes del polinomio mínimo, resolver el sistema e interpretar adecuadamente sus soluciones.

Consejos: Los comandos vector () y matrix () crearán vectores y matrices, y el método .solve_right () para matrices se puede usar para encontrar soluciones. Dado un elemento del campo numérico, que necesariamente será un polinomio en el generador a, el método .vector () del elemento proporcionará los coeficientes de este polinomio en una lista.

4

Construir el campo de división\(s(x)=x^4+x^2+1\) y encontrar una factorización de\(s(x)\) sobre este campo en factores lineales.

5

Forma el campo numérico,\(K\text{,}\) que contiene una raíz del polinomio irreducible\(q(x)=x^3+3x^2+3x-2\text{.}\) Nombra tu raíz a. Verificar que\(q(x)\) los factores, pero no se divida, sobre\(K\text{.}\) Con\(K\) ahora como el campo base, forman una extensión de\(K\) donde el factor cuadrático de\(q(x)\) tiene una raíz. Nombra esta raíz b, y llama a esta segunda extensión de la torre\(L\text{.}\)

Utilice M. = L.Absolute_field () <c>para formar la torre aplanada que es el campo de número absoluto M. Encuentra el polinomio definitorio de M con el método.polinomio (). A partir de este polinomio, que debe tener el generador c como raíz, deberías poder usar álgebra elemental para escribir el generador como una expresión bastante simple.

\(M\)debería ser el campo de división de\(q(x)\text{.}\) Para ver esto, empezar de nuevo, y construir desde cero un nuevo campo numérico,\(P\text{,}\) usando la expresión simple para c que acabas de encontrar. Usa d como nombre de la raíz utilizada para construir P. Dado que d es una raíz del polinomio mínimo simple para c, deberías poder escribir una expresión para d que un estudiante de pre-cálculo reconocería.

Ahora factorizar el polinomio original\(q(x)\) (con coeficientes racionales) sobre\(P\text{,}\) para ver la división polinómica (como se esperaba). Usando esta factorización, y su expresión simple para d escribir expresiones simplificadas para las tres raíces de\(q(x)\text{.}\) Vea si puede convertir entre las dos versiones de las raíces “a mano”, y sin usar los isomorfismos proporcionados por el método .structure () en M.