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# 22.1: Estructura de un Campo Finito

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Recordemos que un campo$$F$$ tiene característica$$p$$ si$$p$$ es el entero positivo más pequeño tal que por cada elemento distinto de cero$$\alpha$$ en$$F\text{,}$$ tenemos$$p \alpha = 0\text{.}$$ Si no existe tal entero, entonces$$F$$ tiene característica$$0\text{.}$$ Del Teorema $$16.19$$sabemos que$$p$$ debe ser prime. Supongamos que$$F$$ es un campo finito con$$n$$ elementos. Entonces$$n \alpha = 0$$ para todos$$\alpha$$ en$$F\text{.}$$ Consecuentemente, la característica de$$F$$ debe ser$$p\text{,}$$ donde$$p$$ es un primo dividiendo$$n\text{.}$$ Esta discusión se resume en la siguiente proposición.

Proposición$$22.1$$.

Si$$F$$ es un campo finito, entonces la característica de$$F$$ es$$p\text{,}$$ donde$$p$$ es primo.

A lo largo de este capítulo asumiremos que$$p$$ es un número primo a menos que se indique lo contrario.

Proposición$$22.2$$.

Si$$F$$ es un campo finito de característica$$p\text{,}$$ entonces el orden de$$F$$ es$$p^n$$ para algunos$$n \in {\mathbb N}\text{.}$$

Prueba

Dejar$$\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F$$ ser el homomorfismo anular definido por$$\phi(n) = n \cdot 1\text{.}$$ Dado que la característica de$$F$$ es$$p\text{,}$$ el núcleo de$$\phi$$ debe ser$$p {\mathbb Z}$$ y la imagen de$$\phi$$ debe ser un subcampo de$$F$$ isomórfico a$${\mathbb Z}_p\text{.}$$ Denotaremos este subcampo por$$K\text{.}$$ Desde $$F$$es un campo finito, debe ser una extensión finita de$$K$$ y, por lo tanto, una extensión algebraica de$$K\text{.}$$ Supongamos que$$[F : K] = n$$ es la dimensión de$$F\text{,}$$ donde$$F$$ es un espacio$$K$$ vectorial. Deben existir elementos$$\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F$$ tales que cualquier elemento$$\alpha$$ en$$F$$ pueda escribirse de manera única en la forma

$\alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n\text{,} \nonumber$

donde están los$$a_i$$'s en$$K\text{.}$$ Dado que hay$$p$$ elementos en$$K\text{,}$$ hay$$p^n$$ posibles combinaciones lineales de los s.$$\alpha_i$$ por lo tanto, el orden de$$F$$ debe ser$$p^n\text{.}$$

Lema$$22.3$$. Freshman's Dream

$$p$$Sea primo y$$D$$ sea un dominio integral de característica$$p\text{.}$$ Entonces

$a^{p^n} + b^{p^n} = (a + b)^{p^n} \nonumber$

para todos los enteros positivos$$n\text{.}$$

Prueba

Vamos a probar este lema usando inducción matemática en$$n\text{.}$$ Podemos usar la fórmula binomial (ver Capítulo 2, Ejemplo$$2.4$$) para verificar el caso para$$n = 1\text{;}$$ eso es,

$(a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}\text{.} \nonumber$

Si$$0 \lt k \lt p\text{,}$$ entonces

$\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!} \nonumber$

debe ser divisible por$$p\text{,}$$ ya que$$p$$ no se puede dividir$$k!(p - k)!\text{.}$$ Tenga en cuenta que$$D$$ es un dominio integral de característica$$p\text{,}$$ por lo que todos menos el primer y último términos en la suma deben ser cero. Por lo tanto,$$(a + b)^p = a^p + b^p\text{.}$$

Ahora supongamos que el resultado se mantiene para todos$$k\text{,}$$ donde$$1 \leq k \leq n\text{.}$$ Por la hipótesis de inducción,

$(a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}\text{.} \nonumber$

Por lo tanto, el lema es cierto$$n + 1$$ y la prueba está completa.

Que$$F$$ sea un campo. Un polinomio$$f(x) \in F[x]$$ de grado$$n$$ es separable si tiene raíces$$n$$ distintas en el campo de división de es$$f(x)\text{;}$$ decir,$$f(x)$$ es separable cuando se facciona en distintos factores lineales sobre el campo de división de$$f\text{.}$$ Una extensión$$E$$ de $$F$$es una extensión separable de$$F$$ si cada elemento en$$E$$ es la raíz de un polinomio separable en$$F[x]\text{.}$$

Ejemplo$$22.4$$.

El polinomio$$x^2 - 2$$ es separable$${\mathbb Q}$$ ya que tiene$$(x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}$$ en cuenta como De hecho,$${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )$$ es una extensión separable de$${\mathbb Q}\text{.}$$ Let$$\alpha = a + b \sqrt{2}$$ be any element in$${\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}$$ If$$b = 0\text{,}$$ then

Solución

$$\alpha$$es una raíz de$$x - a\text{.}$$ Si$$b \neq 0\text{,}$$ entonces$$\alpha$$ es la raíz del polinomio separable

$x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, ))\text{.} \nonumber$

Afortunadamente, tenemos una prueba fácil para determinar la separabilidad de cualquier polinomio. Vamos

$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \nonumber$

ser cualquier polinomio en$$F[x]\text{.}$$ Definir la derivada$$f(x)$$ de ser

$f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\text{.} \nonumber$

Lema$$22.5$$.

Dejar$$F$$ ser un campo y$$f(x) \in F[x]\text{.}$$ Entonces$$f(x)$$ es separable si y solo si$$f(x)$$ y$$f'(x)$$ son relativamente primos.

Prueba

Que$$f(x)$$ sean separables. Luego$$f(x)$$ factores sobre algún campo de extensión de$$F$$ como$$f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}$$ dónde$$\alpha_i \neq \alpha_j$$ para$$i \neq j\text{.}$$ Tomando la derivada de$$f(x)\text{,}$$ vemos que

\ begin {align*} f' (x) & = (x -\ alpha_2)\ cdots (x -\ alpha_n)\\ & + (x -\ alpha_1) (x -\ alpha_3)\ cdots (x -\ alpha_n)\\ & +\ cdots + (x -\ alpha_1)\ cdots (x -\ alpha_ {n - 1})\ texto {.} \ end {align*}

De ahí,$$f(x)$$ y no$$f'(x)$$ pueden tener factores comunes.

Para probar lo contrario, demostraremos que lo contrapositivo de la afirmación es cierto. Supongamos que$$f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}$$ donde$$k \gt 1\text{.}$$ Diferenciar, tenemos

$f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x)\text{.} \nonumber$

Por lo tanto,$$f(x)$$ y$$f'(x)$$ tienen un factor común.

Teorema$$22.6$$.

Por cada primo$$p$$ y cada entero positivo$$n\text{,}$$ existe un campo finito$$F$$ con$$p^n$$ elementos. Además, cualquier campo de orden$$p^n$$ es isomórfico al campo de división de$$x^{p^n} -x$$ más de$${\mathbb Z}_p\text{.}$$

Prueba

Dejar$$f(x) = x^{p^n} - x$$ y dejar$$F$$ ser el campo de división de$$f(x)\text{.}$$ Entonces por Lema 22.5,$$f(x)$$ tiene ceros$$p^n$$ distintos en$$F\text{,}$$ ya que$$f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1$$ es relativamente primo a$$f(x)\text{.}$$ Afirmamos que las raíces de$$f(x)$$ forman un subcampo de$$F\text{.}$$ Ciertamente 0 y 1 son ceros de $$f(x)\text{.}$$Si$$\alpha$$ y$$\beta$$ son ceros de$$f(x)\text{,}$$ entonces$$\alpha + \beta$$ y también$$\alpha \beta$$ son ceros de$$f(x)\text{,}$$ desde$$\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}$$ y También$$\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}$$ necesitamos demostrar que la inversa aditiva y la inversa multiplicativa de cada raíz de$$f(x)$$ son raíces de$$f(x)\text{.}$$ Para cualquier cero$$\alpha$$ de$$f(x)\text{,}$$ sabemos que también$$-\alpha$$ es un cero de$$f(x)\text{,}$$ desde

$f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0\text{,} \nonumber$

siempre que$$p$$ sea impar. Si$$p = 2\text{,}$$ entonces

$f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0\text{.} \nonumber$

Si$$\alpha \neq 0\text{,}$$ entonces$$(\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}$$ Dado que los ceros$$f(x)$$ forman un subcampo de$$F$$ y$$f(x)$$ se divide en este subcampo, el subcampo debe ser todo de$$F\text{.}$$

Dejar$$E$$ ser cualquier otro campo de orden$$p^n\text{.}$$ Para mostrar que$$E$$ es isomórfico a$$F\text{,}$$ debemos demostrar que cada elemento en$$E$$ es una raíz de$$f(x)\text{.}$$ Ciertamente 0 es una raíz de$$f(x)\text{.}$$ Let$$\alpha$$ be un elemento distinto de cero de$$E\text{.}$$ El orden del grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de$$E$$ es$$p^n-1\text{;}$$ por lo tanto,$$\alpha^{p^n-1} =1$$ o$$\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}$$ Dado que$$E$$ contiene$$p^n$$ elementos,$$E$$ debe ser un campo de división de$$f(x)\text{;}$$ sin embargo, por Corolario 21.36, el campo de división de cualquier polinomio es único hasta el isomorfismo.

El campo finito único con$$p^n$$ elementos se llama el campo de orden Galois$$p^n\text{.}$$ Denotaremos este campo por$$\gf(p^n)\text{.}$$

Teorema$$22.7$$.

Cada subcampo del campo Galois$$\gf(p^n)$$ tiene$$p^m$$ elementos, donde$$m$$ divide$$n\text{.}$$ Por el contrario, si$$m \mid n$$ para$$m \gt 0\text{,}$$ entonces existe un subcampo único de$$\gf(p^n)$$ isomórfico a$$\gf(p^m)\text{.}$$

Prueba

Dejar$$F$$ ser un subcampo de$$E = \gf(p^n)\text{.}$$ Entonces$$F$$ debe ser una extensión de campo de$$K$$ que contenga$$p^m$$ elementos, donde$$K$$ es isomórfico a$${\mathbb Z}_p\text{.}$$ Entonces$$m \mid n\text{,}$$ desde$$[E:K] = [E:F][F:K]\text{.}$$

Para probar lo contrario, supongamos que$$m \mid n$$ para algunos$$m \gt 0\text{.}$$ Entonces$$p^m -1$$ divide$$p^n -1\text{.}$$ Consecuentemente,$$x^{p^m -1} - 1$$ divide$$x^{p^n -1} -1\text{.}$$ Por lo tanto,$$x^{p^m} - x$$ debe dividir$$x^{p^n} - x\text{,}$$ y cada cero de$$x^{p^m} - x$$ es también un cero de$$x^{p^n} - x\text{.}$$ Así,$$\gf(p^n)$$ contiene, como subcampo, un campo de división de$$x^{p^m} - x\text{,}$$ los cuales debe ser isomórfico a$$\gf(p^m)\text{.}$$

Ejemplo$$22.8$$.

La celosía de los subcampos de$$\gf(p^{24})$$ se da en la Figura$$22.9$$.

Solución

$$Figure \text { } 22.9.$$Subcampos de$$\gf(p^{24})$$

Con cada campo$$F$$ tenemos un grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de los$$F$$ cuales denotaremos por$$F^*\text{.}$$ El grupo multiplicativo de cualquier campo finito es cíclico. Este resultado se desprende del resultado más general que probaremos en el próximo teorema.

Teorema$$22.10$$.

Si$$G$$ es un subgrupo finito$$F^\ast\text{,}$$ del grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo$$F\text{,}$$ entonces$$G$$ es cíclico.

Prueba

$$G$$Sea un subgrupo finito$$F^\ast$$ de orden$$n\text{.}$$ Por el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos (Teorema$$13.4$$),

$G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{,} \nonumber$

donde$$n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$$ y los$$p_1, \ldots, p_k$$ son (no necesariamente distintos) primos. Dejar$$m$$ ser el mínimo común múltiplo de$$p_1^{e_1}, \ldots, p_k^{e_k}\text{.}$$ Entonces$$G$$ contiene un elemento de orden$$m\text{.}$$ Ya que cada$$\alpha$$ en$$G$$ satisface$$x^r - 1$$ para alguna$$r$$ división también$$m\text{,}$$$$\alpha$$ debe ser una raíz de$$x^m - 1\text{.}$$ Desde$$x^m -1$$ tiene a lo sumo $$m$$raíces$$F\text{,}$$$$n \leq m\text{.}$$ en Por otro lado, sabemos que$$m \leq |G|\text{;}$$ por lo tanto,$$m = n\text{.}$$ Así,$$G$$ contiene un elemento de orden$$n$$ y debe ser cíclico.

Corolario$$22.11$$.

El grupo multiplicativo de todos los elementos distintos de cero de un campo finito es cíclico.

Corolario$$22.12$$.

Cada extensión finita$$E$$ de un campo finito$$F$$ es una extensión simple de$$F\text{.}$$

Prueba

Dejar$$\alpha$$ ser un generador para el grupo cíclico$$E^{\ast}$$ de elementos distintos de cero de$$E\text{.}$$ Entonces$$E = F( \alpha )\text{.}$$

Ejemplo$$22.13$$.

El campo finito$$\gf(2^4)$$ es isomórfico al campo$${\mathbb Z}_2/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}$$ Por lo tanto, los elementos de$$\gf(2^4)$$ pueden tomarse para ser

$\{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ and } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}\text{.} \nonumber$

Solución

Recordando que$$1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}$$ sumamos y multiplicamos elementos de$$\gf(2^4)$$ exactamente como sumamos y multiplicamos polinomios. El grupo multiplicativo de$$\gf(2^4)$$ es isomórfico a$${\mathbb Z}_{15}$$ con generador$$\alpha\text{:}$$

\ begin {alinear*} &\ alfa^1 =\ alfa y &\ alfa^6 =\ alfa^2 +\ alfa^3 & &\ alfa^ {11} =\ alfa +\ alfa^2 +\ alfa^3 &\\ &\ alfa^2 =\ alfa^2 & &\ alfa^7 = 1 +\ alfa +\ alfa^3 &\ alfa^ {12} = 1 + alfa\ +\ alfa^2 +\ alfa^3 &\\ &\ alfa^3 =\ alfa^3 & &\ alfa^8 = 1 +\ alfa^2 & &\ alfa^ {13} = 1 +\ alfa^2 +\ alfa^3 &\\ &\ alfa^4 = 1 +\ alfa & &\ alfa^9 =\ alfa +\ alfa^3 &\ alfa^4 = 1 +\ alfa^3 &\\ alfa^5 = alfa +\ alfa^2 & alfa^2 & alfa^^ {10} = 1 +\ alfa +\ alfa^2 & &\ alfa^ {15} = 1. &\ end {alinear*}

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